高考数学数列放缩法技巧全总结

高考数学备考之 放缩技巧
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
一、裂项放缩 例1.(1)求∑=-n
k k
1
2
142
的值; (2)求证:
351
1
2
<
∑=n
k k
.
解析:(1)因为121121)12)(12(21
42
2
+--=+-=
-n n n n n
,所以122121114212
+=+-=-∑=n n n k n k
(2)因为⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+--=-=
-
<121121
2144
4
1112
22
n n n n n ,所以
353211211215
1
31211
1
2
=
+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k
n
k
奇巧积累:(1)⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--=-<=121121
2144441222n n n n n (2)
)
1(1
)1(1)1()1(212
11
+--=-+=+n n n n n n n C C n n
(3))2(1
11)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅
=+r r r r r r n r n r n n C T r r
r
n r
(4)25
)1(123112111)11(<
-++⨯+⨯++<+n n n
n
&
(5)n
n n
n
2
1
121)12(21--=- (6)
n n n -+<+221
(7))
1(21)1(2--<<
-+n n n
n n (8)
n n n n n n n 2)32(12)12(12
13211221
⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-
(9)
⎪
⎭⎫
⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1
(10) !
)1(1
!1!)1(+-
=+n n n n (11)
2
1
2121
21222)1212(21
-++
=
-++=
--+<n n n n n n n
(11) )2(121
121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(211
12≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n
(12) 1
11)1(1)1(1)1)(1(1112
3
--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-
-=+-<
⋅=n n n n n n n n n n n n
1
1
112111111
+--<-++⋅
⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=n n n n n n n
(13) 3
212132122)12(332)13(2221n
n n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+
(14)
!
)2(1
!)1(1)!2()!1(!2+-
+=+++++k k k k k k (15)
)
2(1)
1(1
≥--<+n n n n n
(15) 1
1
1)
11)((112
2
2
22
222<++
++=
++
+--=
-+-+j i j i j i j i j i j i j i
,
例2.(1)求证:
)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++
n n n
(2)求证:n n 41
214136
1161412-
<++++
(3)求证:1122642)
12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n n
(4) 求证：
)
112(213
12
11)11(2-+<+
++
+
<-+n n
n
解析:(1)因为⎪⎭⎫
⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)
12(12
n n n n n ,所以
)
1
21
31(211)12131(211)
12(1
1
2
--+>+-+>-∑=n n i n
i
(2))
1
11(41)1211(414136
116141222n n n -+<+++=++++ (3)先运用分式放缩法证明出
1
212642)
12(531+<
⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n
n ,再结合
n
n n -+<+22
1进行裂项,最
后就可以得到答案
(4)首先
n
n n n n
++=
-+>12)1(21
,所以容易经过裂项得到
n
n 13
12
11)11(2+
++
+
<-+
再证2
12121
2122
2)1212(21
-++
=
-++=
--+<n n n n n n n
而由均值不等式知道这是显然成立的，
所以
)
112(213
12
11-+<+
++
+
n n
<
例
3.求证:35
191411)
12)(1(62<
++++≤++n n n n 解析: 一方面: 因为⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+--=-=
-
<121121
2144
4
1112
2
2
n n n n n ,所以
353211211215
1
31211
1
2
=
+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k
n
k
另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++
n n
n n n n
当3≥n 时,
)
12)(1(61++>
+n n n
n n ,当1=n 时,2
1
91411)
12)(1(6n n n n ++++=++ ,
当2=n 时,2
1
91411)
12)(1(6n n n n ++++<++ ,
所以综上有35
191411)
12)(1(62<
++++≤++n n n n
例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}n
a 满足1
01a <<.1
()
n n a
f a +=.
设1
(1)
b a ∈，，整数11ln a b k a b
-≥
.证明:1
k a
b
+>.
\
解析: 由数学归纳法可以证明{}n
a 是递增数列,
故 若存在正整数k m ≤, 使b
a m
≥, 则b
a a
k k ≥>+1
,
若
)
(k m b a m ≤<,则由
1
01<<≤<b a a m 知
ln ln ln 11<<≤b a a a a a m m m ,
∑=+-=-=k
m m
m k k k k a a a a a a a 111ln ln ,
因为)
ln (ln 11
b a k a a
k
m m m
<∑=,于是b
a b a b a k a a
k =-+≥+>+)(|ln |11111
例5.已知m
m m m m n S x N
m n ++++=->∈+
321,1,,,求证:
1
)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .
解析:首先可以证明:nx
x n
+≥+1)
1(
∑=++++++++--=-++---+--=n k m m m m m m m m k k n n n n n 1
11111111]
)1([01)2()1()1( 所以要证
1
)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:
∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n k m m m m m m m m m n
k m n k m m k k n n n n n k m k k 1
11111111111
1
11]
)1[(2)1()1(1)1()1(])1([
故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--n
k m m n k m n k m m k k k m k k 1
111
1
11]
)1[()1(])1([,
#
即等价于m
m m m m k k k m k k -+<+<--+++111
)1()1()1(,
即等价于11)1
1(11,)11(11++-<+-+<++
m m k
k m k k m 而正是成立的,所以原命题成立.
例6.已知n
n n a 24-=,
n
n n a a a T +++=
212,求证:
2
3321<
++++n T T T T .
解析:)
21(2)14(3
421)21(241)41(4)222(444421321n n
n n n n n T -+-=-----=
+++-++++=
所以
1
23)2(222322342323
23422234342)21(2)14(3
422
111111
+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=
-+-=
++++++n n n
n n n n n n n n n n n
n
n T
⎪⎭
⎫
⎝⎛---=--⋅⋅=
+12112123)12)(122(2231n n n
n n
从而2
3
1211217131311231321<
⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=
+++++n n n T T T T
例7.已知
11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==)
,2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证:
*)
)(11(21
1
1
4
1
224
5
44
3
2N n n x x x x x x n n ∈-+>+
+⋅+
⋅+
￥
证明:
n
n
n n n n x x n n 222141
141
)
12)(12(1
1
4
2
4
24
4
1
22=
⋅=
>
-=
+-=
+,
因为 1
2++<n n n ,所以
)
1(21
2221
4
1
22n n n n n
x x n n -+=++>
>
+
所以
*)
)(11(21
1
14
1
224
5
44
3
2N n n x x x x x x n n ∈-+>+
+⋅+
⋅+
二、函数放缩 例
8.求证：)
(66
5333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ .
解析:先构造函数有x
x x x x 1
1ln 1ln -≤⇒
-≤,从而
)3
1
3121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++
cause
⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 311212
1
9181716151413121313121 6533323279189936365111n
n n n n =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---
所以66
53651333ln 4
4ln 33ln 22ln +-
=--<++++n n n n n n
~
例
9.求证:(1))
2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα
解析:构造函数x
x
x f ln )(=
,得到
2
2
ln ln n
n
n n ≤αα,再进行裂项
)1(1
111ln 22
2+-<-≤n n n
n n ,求和后可以得到答
案
函数构造形式: 1ln -≤x x ,)2(1ln ≥-≤αα
αn n
例
10.求证:n n n 1211)1ln(113
121+
++<+<++++ 解析:提示:
2ln 1ln 1ln 1211ln
)1ln(++-++=⋅⋅-⋅+=+ n n
n n n n n n n
函数构造形式:
x
x x x 1
1ln ,ln -
><
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数x
x f 1)(=
,
首先:
⎰-<n
i
n ABCF
x S 1
,从而,)ln(ln |ln 1
1i n n x x i n n i n n
i
n --==<⋅--⎰
~
取1=i 有,
)1ln(ln 1
--<n n n
,
所以有
2ln 2
1
<,
2ln 3ln 3
1
-<,…,
)1ln(ln 1
--<n n n
,
n n n ln )1ln(1
1
-+<+,相加后可以得到:
)1ln(1
13121+<++++n n 另一方面⎰->n
i n ABDE
x S 1
,从而有
)ln(ln |ln 1
1i n n x x
i i n n i n n
i n --==>⋅---⎰
取1=i 有,)1ln(ln 1
1
-->-n n n ,
所以有n
n 1211)1ln(+++
<+ ,所以综上有n
n n 1
211)1ln(113121+++<+<++++
例11.求证:e n <+⋅⋅++
)!
1
1()!311)(!211( 和
e
n <+⋅⋅++)3
1
1()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明
例
12.求证:3
2)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n
解析:
1
)1(3
2]1)1(ln[++-
>++n n n n ,叠加之后就可
以得到答案
函数构造形式:)0(1
3
)1ln(1)0(13
2)1ln(>+>++⇔
>+->+x x x x x x x (加强命题)
-
例13.证明:
)1*,(4
)
1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n
解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:
1
2111)('--=--=
x x
x x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('
<x f 有2>x ,
所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12
+=n x 有,1ln 22-≤n n
所以2
1
1ln -≤+n n n ,所以
)1*,(4
)
1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n
例14. 已知112
11
1,(1).2
n n n a a a n n +==+
++证明2
n
a
e <.
解析:
n
n n n n a n n a n n a )21
)1(11(2
1))1(11(1+++<+++
=+,
然后两边取自然对数,可以得到
n
n n a n n a ln )2
1
)1(11ln(ln 1++++
<+
—
然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案)
放缩思路：
⇒+++
≤+n n
n a n n a )21
11(21⇒++++
≤+n n
n a n n a ln )21
11ln(ln 21
n
n n n a 2
1
1ln 2
+++
≤。

于是
n
n n n n a a 2
1
1ln ln 2
1++≤
-+，
.
221122
11)21
(111ln ln )211()ln (ln 1
121
1
11
1
<--=--+
-≤-⇒++≤---=+-=∑
∑
n n n i
n i i i n i n n a a i i a a
即.
2ln ln 21e a a a n n <⇒<-
注：题目所给条件ln(1)x x +<（0x >）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论)2)(1(2≥->n n n n
来放缩：
⇒-+-+
≤+)
1(1
))1(11(1n n a n n a n n ⇒
+-+
≤++)1)()
1(1
1(11n n a n n a
.
)
1(1
))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+≤+-++n n n n a a n n 11
1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([21
2
11
2
<-<+-+⇒-<+-+⇒∑
∑-=+-=n
a a i i a a n n i i i n i ，
即.
133ln 1)1ln(2
e e a a
n n
<-<⇒+<+
\
例
16.(2008年福州市质检)已知函数
.
ln )(x x x f =若
).()(2ln )()(:,0,0b f b a f b a a f b a -+≥++>>证明
解析:设函数()()(),
(0)g x f x f k x k =+->
()ln ,()ln ()ln(),0.
()ln 1ln()1ln
,2()0,10.2f x x x g x x x k x k x x x k g x x k x k x
x x k k g x x k k x k x =∴=+--'∴<<=+---=--'>>⇒>⇒<<--令则有
∴
函数
k k x g ,2[)(在）上单调递增，在]
2,0(k 上单调递减.∴)(x g 的最小值为)
2(k
g ，即总
有
).
2()(k
g x g ≥
而,
2ln )()2ln (ln 2ln )2()2()2(k k f k k k
k k k f k f k g -=-==-+=
,2ln )()(k k f x g -≥∴
即.2ln )()()(k k f x k f x f -≥-+
令,,b x k a x =-=则.b a k +=
.2ln )()()()(b a b a f b f a f +-+≥+∴
).()(2ln )()(b f b a f b a a f -+≥++∴
@
例15.(2008年厦门市质检) 已知函数)(x f 是在),0(+∞上处处可导的函数,若)()('x f x f x >⋅在0>x 上恒成立.
(I)求证：函数),0()
()(+∞=
在x
x f x g 上是增函数；
(II)当)
()()(:,0,0212121
x x f x f x f x x
+<+>>证明时；
(III)已知不等式01)1ln(≠-><+x x x x 且在时恒成立，
求证：
).
()2)(1(2)1ln()
1(14ln 413ln 312ln 21*22
222222N n n n n n n ∈++>++++++
解析:(I)
)
()(')('2
>-=
x x f x x f x g ,所以函数
),0()
()(+∞=
在x
x f x g 上是增函数
(II)因为),0()
()(+∞=
在x
x f x g 上是增函数,所以
)()()()(212
11
1212111x x f x x x x f x x x x f x x f +⋅+<⇒++<
)()()()(212
122212122x x f x x x x f x x x x f x x f +⋅+<⇒++<
两式相加后可以得到)()()(21
2
1
x x
f x f x f +<+
@
(3)
)()()()(21211
1212111n n
n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++⋅+++<⇒++++++<
)()()()(21212
2212122n n
n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++⋅+++<⇒++++++< …… )()()()(21212121n n
n
n n n n n x x x f x x x x x f x x x x x x f x x f +++⋅+++<⇒++++++< 相加后可以得到:
)
()()()(2121n n x x x f x f x f x f +++<+++
所以)
ln()(ln ln ln ln 2121332211
n n n n x x x x x x x x x x x x x x ++++++<++++
令
2
)1(1n x n +=
,有
<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++-22222222)1ln()1(14ln 413ln 312ln 21n n ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++2222222)1(13121ln )1(1413121n n
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯+⨯⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++<n n n )1(12
31121ln )1(13121222 )2)(1(2212111++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<n n n n n
所以).
()2)(1(2)1ln()
1(14ln 413ln 312ln 21*22
222222N n n n n n n ∈++>++++++
(方法二)
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+=++≥+++>++2111
4ln )2)(1(4ln )2)(1()1ln()1()1ln(22
2n n n n n n n n n
所以
)
2(24ln 21214ln )1ln()1(14ln 413ln 312ln 2122222222+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+->++++++n n n n n
%
又1
1
14ln +>
>n ,所以
).
()2)(1(2)1ln()
1(14ln 413ln 312ln 21*22
222222N n n n n n n ∈++>++++++
三、分式放缩
姐妹不等式:)0,0(>>>++>m a b m a m
b a b 和)
0,0(>>>++<m b a m a m b a b
记忆口诀”小者小,大者大”
解释:看b,若b 小,则不等号是小于号,反之. 例19. 姐妹不等式:
1
2)1
21
1()511)(311)(11(+>-++++n n 和
1
21)21
1()611)(411)(211(+<
+---n n
也可以表示
成为
1
2)
12(5312642+>-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n n
和
1
212642)
12(531+<
⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n n
n
解析: 利用假分数的一个性质
)0,0(>>>++>m a b m
a m
b a b 可得
>-⋅⋅122563412n n
=+⋅⋅n n 212674523 )12(212654321+⋅-⋅⋅n n n
⇒1
2)122563412(2
+>-⋅⋅n n n 即.12)1211()511)(311)(11(+>-++++n n
、
例
20.证明:.
13)2311()711)(411)(11(3+>-++++n n
解析: 运用两次次分式放缩:
1
338956.232313784512-⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅n n
n n (加1)
n
n n n 31
391067.342313784512+⋅⋅⋅⋅>--⋅⋅⋅⋅ (加2)
相乘,可以得到:
)13(1323875421131381057.2423137
8
45122
+⋅--⋅⋅⋅⋅=-+⋅
⋅⋅⋅>⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅⋅⋅⋅n n n n n n n
所以有
.
13)2
31
1()711)(411)(11(3+>-++++n n
四、分类放缩
；
例21.求证:212131211n
n >-++++
解析:
+++++++++>-++++
)21212121()4141(211121312113333n
2)2
11(221)212121(
n
n n n n n n
>-+=-+++ 例22.(2004年全国高中数学联赛加试改编) 在平面直角坐标系xoy 中, y 轴正半轴上的点列{}n
A 与曲线x
y 2=
（x ≥0）上的点列{}n
B 满足
n
OB OA n n 1
=
=，直线n n B A 在x 轴
上的截距为n a .点n B 的横坐标为n b ,*
∈N n .
(1)证明n a >1
+n a >4，*
∈N n ; (2)证明有*
∈N
n
，使得对0
n n >∀都有
n
n n n b b b b b b b b 1123
12+-++++ <2008-n .
解析:(1) 依题设有：(()10,,,0n n n n A B b b n ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，由
1n OB n
=
得：
2*212,1,n n n b b b n N n +=
∴∈,又直线n
n
A B 在x 轴上的截距为n a 满足
(
)()
11000n n a b n n ⎫⎛⎫
-=--⎪ ⎪⎭⎝⎭
n a 2222
1
210,2n n n n
n b n b b n b =->+=
(
2211212n n n n n b a b n b n b +∴===+-
1n a 显然，对于
11
01
n n >>+，有*
14,n
n a
a n N +>>∈
【
(2)证明：设
*1
1,n n n
b c n N b +=-
∈，则
(
)
()()
22222
11121121
2121n c n n n n n n n ⎛- +⎝⎛⎫ ⎪++ > ++ ⎝ ()()()
2
*
1
212210,,2n n n n n c n N n ++-+=>∴>
∈+
设
*
12,n n S c c c n N =+++∈，则当
()
*221k n k N =->∈时，
23111
11111
11
1342123421
221
2n k
k k k S -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
>++
+
+=++++
+++ ⎪ ⎪
⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
21231111
22222
22k k k -->⋅
+⋅++⋅
=。

所以，取
4009022
n =-，对0
n n ∀>都有：
2008214017111012312=->>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n n S S b b b b b b
故有
n
n n n b b b b b b b b 1123
12+-++++ <2008-n 成立。

例23.(2007年泉州市高三质检) 已知函数),1()(2R c b c bx x x f ∈≥++=，若)(x f 的定义域
为[－1，0]，值域也为[－1，0].若数列
}
{n b 满足
)()
(*3N n n
n f b n ∈=
，记数列}{n
b 的前n 项和
为n T ，问是否存在正常数A ，使得对于任意正整数n 都有A
T
n
<并证明你的结论。

{
解析:首先求出x
x
x f 2)(2
+=,∵
n
n n n n n f b n 1
2)(323>+==
∴
n b b b b T n n 131211321++++
>++++= ,∵214124131=⨯>+,218148
1716151=⨯>+++, (212122122112)
111
1
=⨯>++++
+---k k k k k ,故当k
n 2>时,12+>k
T n , 因此，对任何常数A ，设m 是不小于A 的最小正整数， 则当2
22
->m n 时,必有
A m m T n >=+->
12
2
2.
故不存在常数A 使A
T
n
<对所有2≥n 的正整数恒成立.
例24.(2008年中学教学参考)设不等式组⎪⎩⎪
⎨⎧+-≤>>n nx y y x 3,
0,0表示的平面区域为n
D ,
设n
D 内整数坐标点的个数为n a .设
n
n n n a a a S 22
1
111+
++=
++ , 当2≥n 时,求
证:
36
11711112321+≥++++n a a a a n .
解析:容易得到n
a
n
3=,所以,要证
36
11
711112321+≥++++n a a a a n 只要证
1211
721312112+≥++++
=n S n n ,因为
n n n n S 2
1
221121()81716151()4131(211112++++++++++++++
=-- 12117)1(12723211121222+=
-+≥+++++=-n n T T T n ,所以原命题
得证
{
五、迭代放缩
例25. 已知
1,1
4
11=++=
+x x x x n n n ,求证:当
2
≥n 时,
n
n
i i
x
-=-≤-∑11
22|2|
解析:通过迭代的方法得到1
212-≤
-n n x ,然后相加就可以得到结论
例26. 设n n n S 2
!
sin 2!2sin 2!1sin 21+++=
,求证:对任意的正整数k,若k≥n 恒有:|S n+k －S n |<1
n
解析:
|2)
sin(2)!2sin(2)!1sin(|
||2
1k
n n n n k n k n n n S S ++++++++++=-
k
n n n k n n n k n n n +++++++++≤++++++≤2
12121|2)sin(||2)!2sin(||2)!1sin(|
2121
n k n k n
2
1)211(21)212121(212<-⋅=+++=
又n
C C C n
n n n n n >+++=+= 10)11(2 所以
n
S S n n k n 1
21||<<
-+
六、借助数列递推关系
~
例27.求证:1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n n 解析: 设
n
n a n 2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=
则
n
n n n n a na a n a n n a +=+⇒++=
++2)1(2)
1(21
211,从而
n
n n na a n a 2)1(21-+=+,相加后就可以得到
1
2
21)22(13
21)1(22)1(21121-+⋅
+<-+⋅
+<-+=++++n n n n a a n a a a n n
所以
1222642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n
n
例28. 求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n
n
解析: 设
n
n a n 2642)12(531⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=
则
1
11)12(]1)1(2[)
1(21
2+++++=++⇒++=
n n n n n a a n a n a n n a ,从而
}
n
n n a n a n a )12(]1)1(2[11+-++=++,相加后就可以得到
1122
3
1
21)12(3)12(1121-+<-
+⋅
+<-+=++++n n n a a n a a a n n
例29. 若1
,111+=⋅=+n a a a n n ,求证:
)11(211121-+≥+++n a a a n
解析:
n
n n n n n n a a a a a n a a -=⇒+⋅=+=⋅+++++21
112112
所以就有21221
111211211
21-+=-≥--++=+++++n a a a a a a a a a a a n n n n n
七、分类讨论 例30.已知数列
}
{n a 的前n
项和n S 满足
.
1,)1(2≥-+=n a S n n n 证明：对任意的整数4>m ，有
8
7
11154<+++m a a a
解析:容易得到[]
.)1(23
212
---+=
n n n a , #
由于通项中含有n
)1(-，很难直接放缩，考虑分项讨论：
当3≥n 且n 为奇数时1
2222
223)121121(231121321
2121--++⋅=-++=+-------+n n n n n n n n n a a
)2
121(2322
223123
21
2
-----+⋅=
+⋅<
n n n n n （减项放缩），于是
①当4>m 且m 为偶数时
=+++m
a a a 11154 )11()11(11654m m a a a a a +++++-
.87
8321)2
11(412321)212121(23214243=+<-⋅⋅+=++++<
--m m
②当4>m 且m 为奇数时
<+++m a a a 1
1154 1
541111+++++m m a a a a （添项放缩）由①知.8
7
11111
5
4
<++
+++m m
a a a
a 由①②得证。

八、线性规划型放缩 例31. 设函数221()2
x f x x +=
+.若对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤，求a b -的最大值。

解析:由
22
22
1(2)(1)(())((1)1)22(2)x x f x f x -+-+-=
+知
1
(())((1)1)0
2
f x f +-≤ 即
1
()12
f x -≤≤
@
由此再由
()
f x 的单调性可以知道
()f x 的最小值为1
2-，最大值为1
因此对一切x R ∈，3()3af x b -≤+≤的充要条件是，
133
233a b a b ⎧
-≤-+≤⎪⎨
⎪-≤+≤⎩
即a ，b 满足约束条
件3
31
321
32
a b a b a b a b +≥-⎧⎪+≤⎪⎪⎨-+≥-⎪⎪-+≤⎪⎩，
由线性规划得，a b -的最大值为5．
九、均值不等式放缩 例32.设
.
)1(3221+++⋅+⋅=n n S n 求证
.2
)1(2)1(2
+<<+n S n n n
解析: 此数列的通项为.
,,2,1,)1(n k k k a
k
=+=
2
1
21)1(+=++<
+<k k k k k k ，
)
21
(1
1∑∑==+<<∴n
k n n k k S k ，
即.2
)
1(22)1(2)1(2
+<++<<+n n n n S n n n
注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2
b
a a
b +≤
，
若放成1)1(+<+k k k 则得2
)
1(2)3)(1()1(2
1
+>
++=
+<∑=n n n k S n
k n ，就放过“度”了！ (
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
n
a a n a a a a a a n
n
n
n n n
2
211111
1++≤++≤
≤++
其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。

例33.已知函数
bx
a x f 211)(⋅+=
，若
5
4)1(=
f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为2
1，求证：
.2
12
1)()2()1(1
-+
>++++n n n f f f
解析:
)221
1()()1()0(2
2114111414)(⨯->++⇒≠•->+-=+=
n f f x x f x
x x x
.21
2
1)21211(41)2211()2211(112-+=+++-=⨯-++⨯-
++-n n n
n n
例34.已知b a ,为正数，且1
1
1=+b a ，试证：对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a .
解析: 由
111=+b
a 得
b a ab +=，又4
2)11)((≥++=++a b
b a b a b a ，故4≥+=b a ab ，而
n
n n r r n r n n n n n n b
C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110)(，
(
令n
n n b a b a n f --+=)()(，则)(n f =1111----++++n n n r r n r n n n ab C b a C b a C ，因为i n n
i
n C C -=，倒序相
加得)(2n f =)()()(1
111
1
1b a ab C b a b a C ab b a C n n n n r
n r
r
r
n r n
n n n
-------+++++++ ，
而12
1
1
1
1
2422+------=⋅≥≥+==+==+n n n
n
n n r
n r r r
n n n b a b a
ab
b
a b a
ab
b a
，
则)(2n f =
))(22())((11r r n r n r n r r n r n r n n r n n b a b a b a b a C C C -----+-=+++++ ⋅
-≥)22(n 1
2+n ，所以
)(n f ⋅-≥)22(n n
2，即对每一个*∈N n ，1222)(+-≥--+n n n n n b a b a .
例35.求证),1(2
2
1321N n n n C C C C
n n n
n n n
∈>⋅>++++-
解析: 不等式左=++++n n
n
n
n
C C C
C 3211
2
2
22112-++++=-n n
n n n 1
22
221-⋅⋅⋅⋅⋅> =2
12-⋅n n ，
原结论成立. 例36.已知x
x
e
e x
f -+=)(,求证:2
1
)
1()()3()2()1(n n e
n f f f f +>⋅⋅⋅⋅+
解析:11)1()1()()(212112212
1221121+>⋅+++=+⋅+
=⋅++x x x x x x x x x x x x x x e e
e e e e e e e e e e x
f x f。

经过倒序相乘,就可以得到2
1
)
1()()3()2()1(n n e n f f f f +>⋅⋅⋅⋅+
例37.已知x
x x f 1)(+
=,求证:n
n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>⋅⋅⋅⋅
解析:
2
)12(2)
12(11212)12()12112)(1(+-+>-++-++-++-+=-++-++k n k n k k k n k n k k n k k n k n k k
其中:n k 2,,3,2,1 =,因为n k n k k n k n k k n k 2)12(0)2)(1(2)1(2≥-+⇒≥--=--+⋅ 所以
2
2)121
12)(1(+≥-++-++n k
n k n k k
从而n n n f f f f 22
)22()]2()3()2()1([+>⋅⋅⋅⋅ ,所以n n n n f f f f )1(2)2()3()2()1(+>⋅⋅⋅⋅ .
例38.若7>k ,求证:
23
1121111>-++++++=
nk n n n S n .
解析:
)
111()3121()2111()111(2n nk nk n nk n nk n S n +-++-+++-+++-+= —
因为当0,0>>y x 时,xy
y x xy y x 2
11,
2≥+≥+,所以4)11)((≥++y x y x ,所以y
x y x +≥
+4
11,当
且仅当y x =时取到等号.
所以1
)
1(414324214142-+-=
-+++-+++-+++-+>
nk n k n nk n nk n nk n nk n S n
所以23
1421)1(211)1(2>+-=+->-+->
k k k n
k k S n 所以
2
31121111>-++++++=
nk n n n S n
例39.已知))(()(21x x x x a x f --=,求证:16)1()0(2
a f f ≤⋅.
解析:
16
)]1()][1([)1()0(2
22112a x x x x a f f ≤
--=⋅.
例40.已知函数f(x)=x 2－(－1)k ·2lnx(k ∈N*).k 是奇数, n ∈N*时, 求证: [f’(x)]n －2n －1·f’(x n )≥2n (2n －2). 解析: 由已知得)0(2
2)(>+
='x x
x x f ，
(1)当n=1时，左式=22(2)(2)0
x x x x +-+=右式=0.∴
不等式成立.
—
(2)2n ≥,
左式=
)
2
2(2)22()(2)]([11n n n n n n n x x x x x f x f +⋅-+='⋅-'-- ).
11(22
1
4
2
4221------++++=n n n
n n n
n n n n n x C x
C x C x C
令
1224
214
2
11n n n n n n n
n
n n S C x C x C C x
x
------=++
++
由倒序相加法得：
)1(
)1()1(222
1
4
42
2
21
-------++++
++
=n n n n n n n n n n x x C x
x C x
x C S )
22(2)(2121-=+++≥-n n n
n n C C C ，
所以).22
(-≥n
S
所以.)22(2)(2)]([1成立-≥'⋅-'-n n n n n x f x f 综上，当
k 是奇数，N n +
∈时，命题成立
例41. （2007年东北三校）已知函数)
1()(>-=a x a
x f x
（1）求函数)(x f 的最小值，并求最小值小于0时的a 取值范围；
{
（2）令
)
1()2()1()('
1'2'1-+++=-n f C f C f C n S n n n n 求证：
)
2()22()('n
f n S n ⋅->
e
a a a a a x x x e
a a e
a a a a x f a
a a f x f a a x f a x x f a x a a
a a a x f a a x f 1
min min ''''11
ln ,1ln ln ,0ln ln ln 1,0)(ln ln ln 1)ln log ()(),ln log )ln log ,()(,
ln log ,0)(ln log 1,ln 1
,1ln ,0)(,1ln )()1(<<∴<∴-<<+<+=-=+∞---∞-<<->∴>>∴>>-=的取值范围是则即
若所以上递增；上递减，在（在所以有同理：又即：由
所以不等式成立。

),
2
()22()1ln )(22()
22(ln )22()22(ln )]()()([2
1)
(ln )()1ln ()1ln ()1ln ()()2('2
2
11222111211122111221n
f a a a a a a a C a a C a a C C C C a a C a C a C a a C a a C a a C n S n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -=--=---≥--++++++=+++-+++=-++-+-=---------
★例42. (2008年江西高考试题)已知函数(
)f x ()0x ,∈+∞.对任意正数a ,
证明：()12f x <<．
解析:对任意给定的0a >,0x >,
由
()f x ,
若令
8
b ax =
，则 8abx =① ,而
(
)f x
（一）、先证
()1
f x >
1
1x
+
1
1a
+
1
1b
+，
又由
28a b x +++≥
，得
6a b x ++≥．
所以
(
)111
111f x x a b
>+++++32()()
(1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++=
+++
9()()(1)(1)(1)a b x ab ax bx x a b ++++++≥
+++1()()1
(1)(1)(1)a b x ab ax bx abx
x a b +++++++==+++．
*
（二）、再证()2f x <；由①、②式中关于,,x a b 的对称性，不妨设x a b ≥≥．则02
b <≤
（ⅰ）、当7a b +≥，则5a ≥，所以5x a ≥≥，因为
1，
1，此时
(
)2f x <．
（ⅱ）、当7a b +<③，由①得 ,
8
x ab
=
因为
22
2
11[1]114(1)2(1)
b b b b b b b <-+=-++++ 所以
12(1)b
b -
+④
1
2(1)a
a -
+⑤ ，于是
()12211a b f x a b ⎛<-+- ++⎝⑥
今证明 11a b a b +>++因为
11a b a b +≥++，
只要证
(1)(1)8ab ab
a b ab >
+++，即 8(1)(1)ab a b +>++，也即 7a b +<，据③，此
为显然．
因此⑦得证．故由⑥得
()2
f x <．
综上所述，对任何正数a,x ，皆有()12f x <<．
*
例43.求证:
21
3121111<++++++<
n n n
解析:一方面:14
2
214131211312111=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛++≥++++++n n n
(法二)
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⋅=++++++11131
312113111211312111n n n n n n n n n
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++++++++++⋅=
)13)(1(2
4)2(324)1)(13(2421n n n n n n n n n
()1)
12()12()12(1
)1()12(1)12(11222222
222=++>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++--++-+⋅+=n n n n n n n n n
另一方面:21
2
21121312111=++<++<++++++n n n n n n n
十、二项放缩
n n
n n n n C C C +++=+= 10)11(2,121
0+=+≥n C C n n n ,
^
2
2
22210++=
++≥n n C C C n
n
n
n
)2)(1(2≥->n n n n
例44. 已知112
11
1,(1).2
n n n a a a n n +==+
++证明2
n
a
e <
解析:
⇒-+-+
≤+)1(1))1(11(1n n a n n a n n ⇒
+-+≤++)1)()
1(1
1(11n n a n n a
.
)
1(1
))1(11ln()1ln()1ln(1-<-+
≤+-++n n n n a a n n
11
1)1ln()1ln()1(1)]1ln()1ln([212
11
2
<-<+-+⇒-<+-+⇒∑
∑-=+-=n
a a i i a a n n i i i n i ，
即.
133ln 1)1ln(2e e a a n n
<-<⇒+<+
例45.设
n
n n
a )1
1(+=，求证：数列}{n
a 单调递增且.4<n a
解析: 引入一个结论：若0>>a b 则)()1(11a b b n a b n
n n -+<-++（证略）
整理上式得
].)1[(1nb a n b a n n -+>+（⊗） 以n
b n a 11,111+=++
=代入（⊗）式得
>++
+1)111(n n .)1
1(n n
+
》
即}{n a 单调递增。

以
n
b a 21
1,1+
==代入（⊗）式得
.4)21
1(21)211(12<+⇒⋅+
>n n n
n
此式对一切正整数n 都成立，即对一切偶数有4
)1
1(<+n n
，又因为数列}
{n a 单调递增，所以对一切正整数n 有4
)1
1(<+n n。

注：①上述不等式可加强为.
3)1
1(2<+≤n n 简证如下：
利用二项展开式进行部分放缩：
.1111)11(221n n n n n n n n C n C n C n a ++⋅+⋅+=+= 只取前两项有
.21
11
=⋅
+≥n
C a n n 对通项作如下放缩：
.212211!111!111-=⋅≤<+-⋅-⋅⋅=k k
k
n
k n k n n n n n k n C
故有.
32/11)
2/1(1212212121111
12<--⋅+=+++++<--n n n a
②上述数列}{n a 的极限存在，为无理数e ；同时是下述试题的背景：
已知n m i ,,是正整数，且.1n m i <≤<（1）证明i n
i
i m
i
A m A n <；（2）证明.)1()1(m
n n m +>+（01年全国卷理科第20题） "
简析 对第（2）问：用n /1代替n 得数列n
n
n
n b b 1)1(:}{+=是递减数列；借鉴此
结论可有如下简捷证法：数列}
)1{(1n
n +递减，且
,
1n m i <≤<故
,
)1()1(1
1n m n m +>+即
m
n
n m )1()1(+>+。

当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例5所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。

例46.已知a+b=1,a>0,b>0,求证：.12n n n
b a -≥+
解析: 因为a+b=1,a>0,b>0,可认为b a ,21,成等差数列，设d
b d a +=-=21,21，
从而n
n
n
n n d d b a -≥⎪⎭
⎫
⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+122121
例
47.设N n n ∈>,1，求证)2)(1(8
)32(++<
n n n .
解析:
观察n )32(的结构，注意到
n n )211()23(+=，展开得 86)2)(1(8)1(212121211)211(33221+++=-++≥+⋅+⋅+⋅+=+n n n n n C C C n n n n ，即8)2)(1()211(++>
+n n n ，得证.
！
例
48.求证:n n n
2
ln )211ln(2ln 3ln <
+≤-.
解析:参见上面的方法
例42.(2008年北京海淀5月练习) 已知函数**
(),,y f x x y =∈∈N N ，满足： ①对任意*
,,a b a b ∈≠N ，都有)()()()(a bf b af b bf a af +>+； ②对任意*
n ∈N 都有[()]3f f n n =.
（I ）试证明：)(x f 为*
N 上的单调增函数； （II ）求)28()6()1(f f f ++；
（III ）令*
(3),n
n a f n =∈N ，试证明：.12
11
11424n n n a a a ++
+
<+≤
—
解析:本题的亮点很多,是一道考查能力的好题.
(1)运用抽象函数的性质判断单调性:
因为)()()()(a bf b af b bf a af +>+,所以可以得到0)()()()(>---b f b a a f b a ,
也就是0))()()((>--b f a f b a ,不妨设b a >,所以,可以得到)()(b f a f >,也就是说)(x f 为*
N 上的单调增函数.
(2)此问的难度较大,要完全解决出来需要一定的能力!
首先我们发现条件不是很足,,尝试探索看看按(1)中的不等式可以不可以得到什么结论,一发现就有思路了!
由(1)可知0))()()((>--b f a f b a ,令)1(,1f a b ==,则可以得到0))1())1(()(1)((>--f f f x f ,又3))1((=f f ,所以由不等式可以得到3)1(1<<f ,又*)1(N f ∈,所以可以得到2)1(=f ① 接下来要运用迭代的思想:
因为2)1(=f ,所以3)]1([)2(==f f f ,6)]2([)3(==f f f ,9)]3([)6(==f f f ②
18)]6([)9(==f f f ,27)]9([)18(==f f f ,54)]18([)27(==f f f ,81)]27([)54(==f f f
~
在此比较有技巧的方法就是:2754275481-==-,所以可以判断55)28(=f ③
当然,在这里可能不容易一下子发现这个结论,所以还可以列项的方法,把所有项数尽可能地列出来,然后就可以得到结论. 所以,综合①②③有)28()6()1(f f f ++=662955=++ (3)在解决}{n
a 的通项公式时也会遇到困难.
n
n n n n n n a a f f f f f f f 3),3(3)]}3([{)3(,3)]3([111=⇒===+++,所以数列*
(3),n n
a
f n =∈N 的方程为n
n
a
32⋅=,
从而
)311(4111121n n a a a -=+++ ,一方面41)311(41<-n ,另一方面1222)21(31100+=⋅+⋅≥+=n C C n n n n 所
以2412241)1211(41)311(41+=
+⋅=+-≥-n n n n n n ,所以,综上有12
1111
424n n n a a a +++<+≤.
例49. 已知函数f x
的定义域为[0,1]，且满足下列条件：① 对于任意x ∈[0,1]，
总有()3f x ≥，且()14f =；② 若1
2
1
2
0,0,1,x x x x ≥≥+≤则有()()1
2
1
2
() 3.f x x f x f x +≥+-
（Ⅰ）求f 0的值；（Ⅱ）求证：f x
≤4；
（Ⅲ）当
1
11
(
,](1,2,3,)33n n x n -∈=⋅⋅⋅时，试证明：()33f x x <+.
解析:（Ⅰ）解：令120x x ==，由①对于任意x ∈[0,1]，总有()3f x ≥， ∴
(0)3f ≥
、
又由②得(0)2(0)3,f f ≥-即(0)3;f ≤ ∴
(0) 3.f =
（Ⅱ）解：任取12,[0,1],x x ∈且设12,x x < 则2
1
21121()[()]()()3,f x f x
x x f x f x x =+-≥+--
因为2
10
x
x ->，所以2
1
()3f x x -≥，即2
1()30,
f x
x --≥ ∴
12()()f x f x ≤.
∴当x ∈[0,1]时，()(1)4f x f ≤=. （Ⅲ）证明：先用数学归纳法证明：
1111
(
)3(*)33n n f n N --≤+∈
（1） 当n=1时，
0011
(
)(1)413333
f f ===+=+，不等式成立；
（2） 假设当n=k 时，
1
111
(
)3(*)33
k k f k N --≤+∈ 由
1
1111111
(
)[()]()()33333333
k k k k k k k f f f f -=++≥++-
111
(
)()()6333
k k k f f f ≥++-。