人教版八年级数学下册期末复习课件：二次根式 (共24张PPT)
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15．(12 分)已知 a、b 为一个等腰三角形的两条边长，并满足 b＝2 a－3＋ 3－a ＋5，求此等腰三角形的周长．
解：∵ a－3与 3－a有意义，∴a－3≥0,3－a≥0，∴a＝3，∴b＝5.当腰为 3 时，底边长为 5，周长为 3＋3＋5＝11；当腰为 5 时，底边长为 3，周长为 5＋5＋3 ＝13.∴此等腰三角形的周长为 11 或 13.
达标集训
一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)
1．下列根式中能与 6合并的是
A． 24
B． 5
C． 12
D． 8
2．式子 aa－＋21有意义，则实数 a 的取值范围是
A．a≥－1
B．a≠2
C．a≥－1 且 a≠2
D．a＞2
(A ) (C )
3．二次根式 12， 12， 30， x＋2， 40x2， x2＋y2中，最简二次根式有
• 14．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积 分别为20 cm2和25 cm2的两张正方形纸片， 求图中空白部分的面积．
解：∵两张正方形纸片的面积分别为 20 cm2 和 25 cm2，∴它们的边长分别为 20 ＝2 5(cm)， 25＝5 cm，∴AB＝5(cm)，BC＝(2 5＋5)cm，∴空白部分的面积为(2 5 ＋5)×5－20－25＝10 5＋25－20－25＝(－20＋10 5)(cm2)．
解：原式＝12－1－1＋4 3－12＝4 3－2.
(3)( 6－2 15)× 3－6 12； 解：原式＝ 18－2 45－3 2＝3 2－6 5－3 2＝－6 5.
(4)(5 48－6 27＋ 12)÷ 3. 解：原式＝(20 3－18 3＋2 3)÷ 3＝4 3÷ 3＝4.
14．(8 分)已知 x＝ 3＋1，y＝ 3－1，求 x2＋y2＋3xy 的值． 解：∵x＝ 3＋1，y＝ 3－1，∴x＋y＝2 3，xy＝2，∴x2＋y2＋3xy＝(x＋y)2＋ xy＝(2 3)2＋2＝14.
二次根式的有
(B )
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
2．当 x＝__3___时，二次根式 2x－6有最小值．
3．当 x＝－1 时，二次根式 5x＋9的值为__2___.
★集训 2 二次根式的性质
4．下列运算正确的是
A． 4＝±2
B．( 4)2＝4
C． －42＝－4
D．(－ 4)2＝－4
5．如果 y＝ x－3＋ 3－x＋2，那么 yx 的立方根是
A．2
B．3
C．9
D．±3
6．若 a2＝－a，则 a 应满足的条件是__a_≤__0____.
(B ) (A )
7．已知实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简：|a|－ a＋c2＋ c－a2 － b2.
• 解：由图可知，a＜0，a＋c＜0，c－a＜0， b＞0，则原式＝－a＋a＋c－(c－a)－b＝a－ b.
解：原式＝ 6×3－2 15×3－3 2＝3 2－6 5－3 2＝－6 5.
★集训 4 二次根式的应用
12．若三角形的三边长分别为 3， 7，2，则此三角形的面积为
A． 3B．2 3来自(A )C． 7
D．
21 2
13．如果一个三角形的三边长分别为 1，k,4，则化简|2k－5|－ k2－12k＋36的 结果是__3__k_－___1_1__.
6．下列各式计算正确的是
A． 2－ 52＝2－ 5
B．5 3＋5 2＝10 5
C．4 3×2 2＝8 6
D．4 2÷2 2＝2 2
(B ) (C )
7．已知 a＝2－1
3，b＝2＋1
，则 3
a
与
b
的关系是
A．ab＝1
B．a＋b＝0
C．a－b＝0
D．a2＝b2
8．化简( 3－2)2019·( 3＋2)2020 的结果为
17．(12 分)阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如 3＋2 2＝(1＋ 2)2.善于思考的小明进行了以下探索：设 a＋b 2＝(m＋n 2)2(其中 a、b、m、n 均为整数)，则有 a＋b 2＝m2＋2n2＋2mn 2.∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这 样小明就找到了一种把类似 a＋b 2的式子化为平方式的方法．
12．已知 a、b、c 是△ABC 三边的长，则化简 a－b－c2－|a＋b－c|的结果为 __2__c_－___2_a___.
三、解答题(共 60 分) 13．(16 分)计算： (1)9 3＋7 12－5 48＋2 13；
解：原式＝9
3＋14
3－20
3＋233＝113
3 .
(2)(2 3－1)(2 3＋1)－(1－2 3)2；
a (2)二次根式的除法： ab＝_____b_(a≥0，b＞0)，即两个二次根式相除，把被除数 根号内的数除以除数根号内的数的商作为被开方数，根指数不变，并将所得结果化 简；
• (3)二次根式的加减法：二次根式同的类 加减，实
质是合并________二次根式，其加方减 法与整式
的不加变减相类似，只需要将同类二次根式的系
－aa<0.
• 3．一般地，如果一个二次根式满足：
• (1)被开方数不含分母；
• (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因
式．
最简
• 这样同类的二次根式叫做________二次根式． • 4．几个二次根式化成最简二次根式后，如果
被开方数相同，则这几个二次根式就是 ________二次根式．
5．二次根式的运算． (1)二次根式的乘法： a· b＝___a_b__(a≥0，b≥0)，即两个二次根式相乘，把被 开方数相乘，根指数不变；
期末复习
期末复习1 二次根式
高效验收
知识整理 专题集训 达标集训
知识整理
1．一般地，形如___a___(a≥0)的式子叫做二次根式，要使 a有意义，则 a__≥____0. 2．二次根式的性质： (1)被开方数的非负性，即 a中的 a__≥____0； (2)二次根式的非负性，即 a__≥____0； (3)( a)2＝__a____(a≥0)； (4) a2＝___a_____＝0aaa＝>00，，
A．1 个
B．2 个
(C )
C．3 个
D．4 个
4．下列等式中一定成立的有
(B )
①( a)2＝a；② a2＝a；③ a4＝a2；④a0＝1；⑤ 419＝213.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．若最简二次根式 7a＋b与b＋3 6a－b可合并，则 ab 的值为
A．2
B．－2
C．－1
D．1
数相________，被开方数和根指数
________乘；除 加减
括号
• (4)二次根式的混合运算与整式和分式的混合
运算一样，在二次根式的四则混合运算中，
也应先算________，后算________，有括
号的，先算________内的．
专题集训
★集训 1 二次根式的相关概念
1．下列式子： 7， 2x， 1－m， a2＋b2， 100， a2－1， |a|＋1，一定是
★集训 3 二次根式的运算
8．下列根式中不是最简二次根式的是
A． 13
B． 12
C． a2＋4
D． 2
9．下列计算正确的是
A．2 3＋3 2＝5 5
B． 8÷ 2＝2
C．5 3×5 2＝5 6
D．
412＝2
1 2
2
10．计算( 48－ 27)÷ 24的结果为__4____.
(B) (B)
11．计算： (1)(2 3－1)2＋ 3＋2( 3－2)； 解：原式＝12－4 3＋1＋3－4＝12－4 3. (2)( 6－2 15)× 3－6 12.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a＋b 3＝(m＋n 3)2，用含 m、n 的式子分 别表示 a、b，得 a＝_m__2_＋__3__n_2__，b＝__2__m__n___； (2)利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m、n 填空：__4___＋__2___ 3＝(__1___ ＋__1___ 3)2； (3)若 a＋4 3＝(m＋n 3)2，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值．
解：根据题意，得a4＝＝m2m2＋n.3n2，∵2mn＝4，且 m、n 为正整数，∴m＝1，n＝2 或 m＝2，n＝1，∴a＝13 或 7.
16．(12 分)已知在等腰△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 边上 一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F 分别为垂足．若 DF＋DE＝2 2， △ABC 的面积为 24＋ 8，求 AB 的长．
解：连接 AD．在等腰△ABC 中，∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴S△ABC＝S△ABD＋S△ADC＝12AB·(DE＋DF)＝12AB×2 2＝ 24＋ 8，解得 AB＝2 3＋2.
A．－1
B． 3－2
C． 3＋2
D．－ 3－2
(A ) (D )
二、填空题(每小题 4 分，共 16 分) 9．若 y＝ x－12＋ 12－x－6，则 xy＝_－___3___. 10．计算( 5＋ 3)( 5－ 3)的结果等于_2____. 11．在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简 a－52＋|a－2|的结果为__3___.
解：∵ a－3与 3－a有意义，∴a－3≥0,3－a≥0，∴a＝3，∴b＝5.当腰为 3 时，底边长为 5，周长为 3＋3＋5＝11；当腰为 5 时，底边长为 3，周长为 5＋5＋3 ＝13.∴此等腰三角形的周长为 11 或 13.
达标集训
一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)
1．下列根式中能与 6合并的是
A． 24
B． 5
C． 12
D． 8
2．式子 aa－＋21有意义，则实数 a 的取值范围是
A．a≥－1
B．a≠2
C．a≥－1 且 a≠2
D．a＞2
(A ) (C )
3．二次根式 12， 12， 30， x＋2， 40x2， x2＋y2中，最简二次根式有
• 14．如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积 分别为20 cm2和25 cm2的两张正方形纸片， 求图中空白部分的面积．
解：∵两张正方形纸片的面积分别为 20 cm2 和 25 cm2，∴它们的边长分别为 20 ＝2 5(cm)， 25＝5 cm，∴AB＝5(cm)，BC＝(2 5＋5)cm，∴空白部分的面积为(2 5 ＋5)×5－20－25＝10 5＋25－20－25＝(－20＋10 5)(cm2)．
解：原式＝12－1－1＋4 3－12＝4 3－2.
(3)( 6－2 15)× 3－6 12； 解：原式＝ 18－2 45－3 2＝3 2－6 5－3 2＝－6 5.
(4)(5 48－6 27＋ 12)÷ 3. 解：原式＝(20 3－18 3＋2 3)÷ 3＝4 3÷ 3＝4.
14．(8 分)已知 x＝ 3＋1，y＝ 3－1，求 x2＋y2＋3xy 的值． 解：∵x＝ 3＋1，y＝ 3－1，∴x＋y＝2 3，xy＝2，∴x2＋y2＋3xy＝(x＋y)2＋ xy＝(2 3)2＋2＝14.
二次根式的有
(B )
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
2．当 x＝__3___时，二次根式 2x－6有最小值．
3．当 x＝－1 时，二次根式 5x＋9的值为__2___.
★集训 2 二次根式的性质
4．下列运算正确的是
A． 4＝±2
B．( 4)2＝4
C． －42＝－4
D．(－ 4)2＝－4
5．如果 y＝ x－3＋ 3－x＋2，那么 yx 的立方根是
A．2
B．3
C．9
D．±3
6．若 a2＝－a，则 a 应满足的条件是__a_≤__0____.
(B ) (A )
7．已知实数 a、b、c 在数轴上的位置如图所示，化简：|a|－ a＋c2＋ c－a2 － b2.
• 解：由图可知，a＜0，a＋c＜0，c－a＜0， b＞0，则原式＝－a＋a＋c－(c－a)－b＝a－ b.
解：原式＝ 6×3－2 15×3－3 2＝3 2－6 5－3 2＝－6 5.
★集训 4 二次根式的应用
12．若三角形的三边长分别为 3， 7，2，则此三角形的面积为
A． 3B．2 3来自(A )C． 7
D．
21 2
13．如果一个三角形的三边长分别为 1，k,4，则化简|2k－5|－ k2－12k＋36的 结果是__3__k_－___1_1__.
6．下列各式计算正确的是
A． 2－ 52＝2－ 5
B．5 3＋5 2＝10 5
C．4 3×2 2＝8 6
D．4 2÷2 2＝2 2
(B ) (C )
7．已知 a＝2－1
3，b＝2＋1
，则 3
a
与
b
的关系是
A．ab＝1
B．a＋b＝0
C．a－b＝0
D．a2＝b2
8．化简( 3－2)2019·( 3＋2)2020 的结果为
17．(12 分)阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如 3＋2 2＝(1＋ 2)2.善于思考的小明进行了以下探索：设 a＋b 2＝(m＋n 2)2(其中 a、b、m、n 均为整数)，则有 a＋b 2＝m2＋2n2＋2mn 2.∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这 样小明就找到了一种把类似 a＋b 2的式子化为平方式的方法．
12．已知 a、b、c 是△ABC 三边的长，则化简 a－b－c2－|a＋b－c|的结果为 __2__c_－___2_a___.
三、解答题(共 60 分) 13．(16 分)计算： (1)9 3＋7 12－5 48＋2 13；
解：原式＝9
3＋14
3－20
3＋233＝113
3 .
(2)(2 3－1)(2 3＋1)－(1－2 3)2；
a (2)二次根式的除法： ab＝_____b_(a≥0，b＞0)，即两个二次根式相除，把被除数 根号内的数除以除数根号内的数的商作为被开方数，根指数不变，并将所得结果化 简；
• (3)二次根式的加减法：二次根式同的类 加减，实
质是合并________二次根式，其加方减 法与整式
的不加变减相类似，只需要将同类二次根式的系
－aa<0.
• 3．一般地，如果一个二次根式满足：
• (1)被开方数不含分母；
• (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因
式．
最简
• 这样同类的二次根式叫做________二次根式． • 4．几个二次根式化成最简二次根式后，如果
被开方数相同，则这几个二次根式就是 ________二次根式．
5．二次根式的运算． (1)二次根式的乘法： a· b＝___a_b__(a≥0，b≥0)，即两个二次根式相乘，把被 开方数相乘，根指数不变；
期末复习
期末复习1 二次根式
高效验收
知识整理 专题集训 达标集训
知识整理
1．一般地，形如___a___(a≥0)的式子叫做二次根式，要使 a有意义，则 a__≥____0. 2．二次根式的性质： (1)被开方数的非负性，即 a中的 a__≥____0； (2)二次根式的非负性，即 a__≥____0； (3)( a)2＝__a____(a≥0)； (4) a2＝___a_____＝0aaa＝>00，，
A．1 个
B．2 个
(C )
C．3 个
D．4 个
4．下列等式中一定成立的有
(B )
①( a)2＝a；② a2＝a；③ a4＝a2；④a0＝1；⑤ 419＝213.
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．若最简二次根式 7a＋b与b＋3 6a－b可合并，则 ab 的值为
A．2
B．－2
C．－1
D．1
数相________，被开方数和根指数
________乘；除 加减
括号
• (4)二次根式的混合运算与整式和分式的混合
运算一样，在二次根式的四则混合运算中，
也应先算________，后算________，有括
号的，先算________内的．
专题集训
★集训 1 二次根式的相关概念
1．下列式子： 7， 2x， 1－m， a2＋b2， 100， a2－1， |a|＋1，一定是
★集训 3 二次根式的运算
8．下列根式中不是最简二次根式的是
A． 13
B． 12
C． a2＋4
D． 2
9．下列计算正确的是
A．2 3＋3 2＝5 5
B． 8÷ 2＝2
C．5 3×5 2＝5 6
D．
412＝2
1 2
2
10．计算( 48－ 27)÷ 24的结果为__4____.
(B) (B)
11．计算： (1)(2 3－1)2＋ 3＋2( 3－2)； 解：原式＝12－4 3＋1＋3－4＝12－4 3. (2)( 6－2 15)× 3－6 12.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当 a、b、m、n 均为正整数时，若 a＋b 3＝(m＋n 3)2，用含 m、n 的式子分 别表示 a、b，得 a＝_m__2_＋__3__n_2__，b＝__2__m__n___； (2)利用所探索的结论，找一组正整数 a、b、m、n 填空：__4___＋__2___ 3＝(__1___ ＋__1___ 3)2； (3)若 a＋4 3＝(m＋n 3)2，且 a、m、n 均为正整数，求 a 的值．
解：根据题意，得a4＝＝m2m2＋n.3n2，∵2mn＝4，且 m、n 为正整数，∴m＝1，n＝2 或 m＝2，n＝1，∴a＝13 或 7.
16．(12 分)已知在等腰△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 边上 一点，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F 分别为垂足．若 DF＋DE＝2 2， △ABC 的面积为 24＋ 8，求 AB 的长．
解：连接 AD．在等腰△ABC 中，∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴S△ABC＝S△ABD＋S△ADC＝12AB·(DE＋DF)＝12AB×2 2＝ 24＋ 8，解得 AB＝2 3＋2.
A．－1
B． 3－2
C． 3＋2
D．－ 3－2
(A ) (D )
二、填空题(每小题 4 分，共 16 分) 9．若 y＝ x－12＋ 12－x－6，则 xy＝_－___3___. 10．计算( 5＋ 3)( 5－ 3)的结果等于_2____. 11．在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简 a－52＋|a－2|的结果为__3___.