2020-2021学年北京市丰台区八年级上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年北京市丰台区八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）
1.下列各式中，可能取值为零的是()
A. m2+1
m2−1B. m2−1
m2+1
C. m+1
m2−1
D. m2+1
m+1
2.如图，是用围棋子摆出的图案(用棋子的位置用用有序数对表示，
如A点在(5,1))，如果再摆一黑一白两枚棋子，使9枚棋子组成的图
案既是轴对称图形又是中心对称图形，则下列摆放正确的是()
A. 黑(3,3)，白(3,1)
B. 黑(3,1)，白(3,3)
C. 黑(1,5)，白(5,5)
D. 黑(3,2)，白(3,3)
3.如图▱ABCD中，下列说法正确的()
A. AC=BD
B. AC⊥BD
C. AB=CD
D. AB=BC
4.计算a3⋅a2，正确的结果是()
A. a3
B. a4
C. a5
D. a6
5.如图是小明完成的．作法是：取⊙O的直径AB，在⊙O上任取一点C引弦CD⊥
AB.当C点在半圆上移动时(C点不与A、B重合)，∠OCD的平分线与⊙O的交点必()
A. 平分弧AB
B. 三等分弧AB
C. 到点D和直径AB的距离相等
D. 到点B和点C的距离相等
6. 4.在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，BC=5cm，则△ABC的形状是
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 不等边三角形
D. 以上都不是
7. 某校初一学生外出参观，如果每辆汽车坐45人，那么有15个学生没有座位，如果每辆汽车坐60
人，那么就空出一辆汽车，设有x 辆汽车，则所列方程正确的是( )
A. 60x =(45x +15)+1
B. 60(x −1)=45x +15
C. 60(x −1)=45x −15
D. x−1545=x 60+1 8. √−273−√0−√14+√0.1253+√1−63643的值为( )
A. −114
B. ±114
C. 154
D. 13
4 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 若二次根式√3−4x 有意义，则x 的取值范围是______．
10. 因式分解：3ya 2−6ya +3y =______．
11. 写出一个无理数x ，使得1<x <4，则x 可以是______ (只要写出一个满足条件的x 即可)
12. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC =60°，将△BCD 沿直线BD 平移得到△B′C′D′，连接AC′、
AD′，则AC′+AD′的最小值为______ ．
13. 一个三角形的第一条边长为a +2b ，第二条边比第一条边短b −2，第三条边比第二条边短3，
请用含有a 、b 的式子表示此三角形的周长______ 。

14. 如图，∠AOP =∠BOP =15°，PC//OA ，PD ⊥OA 于D ，若PC =5，
则PD =______．
15. 多项式4x +M +9y 2是一个完全平方式，则M 等于(填一个即可) ______ ．
16. 平面直角坐标系xOy 中，已知点A(8,0)及第一象限的动点P(x,y)，且x +y =10.设△OPA 的面积
为S ，周长为l.给出下列结论：
①0≤y ≤10；②√2≤PA <2√41；③S =−4x +40；④l 的最小值为8+2√26
其中所有正确结论的代号是______．
三、计算题（本大题共2小题，共11.0分）
17. 计算：
(1)(2a +b)(2a −b)−3(2b −a)(a −2b)
(2)(2x −1−8x −12x +1)÷x 2−4x +42x +1 18. 化简：(a 2+b 2a 2−b 2−a−b a+b )÷2ab
(a−b)(a+b)2．
四、解答题（本大题共9小题，共49.0分）
19. 计算：
(1)m 8⋅m 2．
(2)(−ab)(a −2b 2).
20. 计算：
(1)|3−2√2|−(13)−1−(2020+√2)0；
(2)√48÷√3−√12×√12+√24；
(3)(√5−3)2+(√11+3)⋅(√11−3)；
(4)13√x 2y ⋅(−4√y 2x )÷16√x 2y ．
21. 解方程或方程组：
(1){3x −y =7x +3y =−1
(2)2−x x−3+13−x =1．
22. 如图，AC =DF ，AD =BE ，BC =EF ．
求证：AC//DF ．
23.(1)先化简，再求值：a−2
a2−1÷(a−1−2a−1
a+1
)，其中a=4；
(2)已知实数a满足a2+2a−15=0，求1
a+1−a+2
a2−1
÷(a+1)(a+2)
a2−2a+1
的值．
24.如图，⊙O的半径为2√3，AB是⊙O的直径，F是⊙O上一点，连接FO、FB.C为劣弧BF⏜的中点，
过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD交FB于点E，CG//FB，交AB的延长线于点G．
(1)求证：CG是⊙O的切线；
(2)连接BC，若BC//OF，如图2．
①求CE的长；
②图中阴影部分的面积等于______．
25.如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE.求证：FD=BE．
26.作图题
(1)已知：线段AB，求作它的垂直一平分线.(不写作法，保留作图痕迹，写出结论)
(2)作出△ABC关于直线L的轴对称图形
27.在▱ABCD中，∠D=30°，AB<AD．
(1)在AD边上求作一点P，使点P到边AB，BC的距离相等；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图
痕迹)
(2)在(1)的条件下，连接BP，若AB=2，求△ABP的面积．
参考答案及解析
1.答案：B
解析：解：根据m2+1≠0一定成立，故选项A，D一定错误；
C、m+1=0，解得：m=−1，由分子m2−1=0解得：m=±1.故C不可能是0；
B、m2−1=0，解得：m=±1，当m=±1时，分母m2+1=2≠0．
所以m=±1时，分式的值是0．
故选B．
要使分式的值为0，必须使分式分子的值为0，与分母的值不为0，同时成立．
要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
2.答案：B
解析：解：A、当摆放黑(3,3)，白(3,1)时，此时是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项错误；
B、当摆放黑(3,1)，白(3,3)时，此时是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项正确；
C、当摆放黑(1,5)，白(5,5)时，此时不是轴对称图形也不是中心对称图形，故此选项错误；
D、当摆放黑(3,2)，白(3,3)时，此时是轴对称图形不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
首先根据各选项棋子的位置，进而结合轴对称图形和中心对称图形的性质判断得出即可．
此题主要考查了坐标确定位置以及轴对称图形与中心对称图形的性质，利用已知确定各点位置是解题关键．
3.答案：C
解析：解：AC不等于BD故A选项错误；
AC不垂于D，故B项错误；
AB=CD，利用平行四形的边相等故C选项正确；
故选：C
根据平四形的性质分别判断选项可．
题主要考查了平行四形性质，正确握其性质解关键．
4.答案：C
解析：解：a3⋅a2=a3+2=a5.故选C．
根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算后直接选出答案．
本题考查同底数幂的乘法的性质，需熟练掌握才不容易出错．
5.答案：A
解析：解：设∠OCD 的平分线与⊙O 的交点为E ，连接OE ，
∵OE =OC ，∴∠E =∠ECO ，∵∠DCE =∠ECO ，∴OE//CD ，∵CD ⊥AB ，∴OE ⊥AB ，∴有弧AE =弧BE ，所以点E 是弧AB 的中点．
故选A ．
6.答案：A
解析：因为AC =5m ，BC =5cm 所以AC =BC ，，因此△ABC 是等腰三角形．
故选：A ．
7.答案：B
解析：试题分析：设有x 辆汽车，根据如果每辆汽车坐45人，那么有15个学生没座位，可得学生有45x +15；如果每辆汽车坐60人，那么空出一辆汽车，可得学生有60(x −1)，由学生人数相等可列出方程．
设有x 辆汽车，则：
60(x −1)=45x +15．
故选：B ．
8.答案：A
解析：解：√−273−√0−√14+√0.1253+√1−63643
=−3−0−12+12+14
=−114
． 故选：A ．
首先计算开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 9.答案：x ≤34
解析：解：由题意得，3−4x ≥0，
解得，x ≤34，
故答案为：x ≤34．
根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．10.答案：3y(a−1)2
解析：解：3ya2−6ya+3y=3y(a2−2a+1)
=3y(a−1)2．
故答案为：3y(a−1)2．
直接提取公因式3y，再利用完全平方公式分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
11.答案：√2
解析：解：∵1<2<16，
∴1<√2<4，
∵√2是无理数，
故答案为：√2．
根据1<√2<4即可得解．
此题考查了估算无理数的大小，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
12.答案：2√3
解析：解：如图，连接BC′，连接直线CC′，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AB=CD，
∵将△BCD沿直线BD平移得到△B′C′D′，
∴AB//C′D′，AB=C′D′，
∴四边形ABC′D′是平行四边形，
∴AD′=BC′，
∴AC′+AD′=AC′+BC′，
∵点C′在过点C且平行于BD的定直线CC′上，
∴作点B关于定直线CC′的对称点E，连接AE，连接BE交CC′于H，
则AE的长度即为AC′+AD′的最小值，
在Rt△BHC中，∠BCH=∠DBC=30°，AD=2，
BC=1，
∴∠CBH=60°，BH=EH=1
2
∴BE=2，
∴BE=AB，
∵∠ABE=∠EBB′+∠DBA=90°+30°=120°，
∴∠E=∠BAE=30°，
∴AE=2×√3
AB=2√3．
2
故答案为：2√3．
连接BC′，先证明四边形ABC′D′是平行四边形，从而得AC′+AD′=AC′+BC′，再作点B关于定直线CC′的对称点E，AE的长度即为AC′+AD′的最小值，根据菱形ABCD边长为2、∠ABC=60°，求出AE即可．
本题考查了轴对称−最短路线问题，菱形的性质，平行四边形形的判定和性质，解直角三角形，平移的性质，解题的关键是连接BC′，将AC′+AD′转化成AC′+BC′．
13.答案：3a+4b+1
解析：解：根据题意，第二条边的长度为a+2b−(b−2)=a+2b−b+2=a+b+2，
第三条边的长度为a+b+2−3=a+b−1，
则三角形的周长为a+2b+a+b+2+a+b−1=3a+4b+1，
故答案为：3a+4b+1。

先根据题意得出第二条边、第三条边的长度，再相加即可。

本题主要考查整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项。

一般步骤是：先去括号，然后合并同类项。

14.答案：5
2
解析：解：如图，过点P作PE⊥OB于E，
∵PC//OA，∠AOP=∠BOP=15°，
∴∠PCE=∠AOB=30°，又∵PC=5，
∴PE=1
2PC=5
2
，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE=5
2
，
故答案为：5
2
．
作PE⊥OB于E，先证∠PCE=∠CPO+∠BOP=30°，得出PE=1
2PC=5
2
，再证明PD=PE即可．
本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半以及平行线的性质，作辅助线构造出含30°的直角三角形是解题的关键．
15.答案：−4x
解析：解：∵4x+M+9y2是一个完全平方式，
∴4x+M=0，
∴M=−4x．
经过观察后可发现，9y2本身就是一个完全平方式，那么M+4x应为0．
本题考查了完全平方式，需注意完全平方式展开后可能为三项，也有可能为一项．
16.答案：②③④
解析：解：如图所示，
∵A(8,0)，P(x,y)，△OPA的面积为S，
∴S=1
2OA⋅y=1
2
×8y=4y．
∵x+y=10，
∴y=10−x，
∴S=4(10−x)=40−4x；
∵0≠y和y≠10，若y=0，则O、P、A三点在一条直线上；
若y=10，则x=0，P点落在y轴上，与题干不合
∴①0≤y≤10，错误；②√2≤PA<2√41，正确；③S=−4x+40，正确；④l的最小值为8+2√26，正确；
故答案为：②③④．
根据题意画出图形，根据三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
17.答案：解：(1)原式=4a 2−b 2+3(a −2b)2
=4a 2−b 2+3a 2−12ab +12b 2
=7a 2−12ab +11b 2；
(2)原式=(4x 2−12x+1−8x−12x+1)÷(x−2)22x+1
=4x(x −2)2x +1⋅2x +1(x −2)2
=4x x−2．
解析：(1)先利用平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项即可得；
(2)根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握完全平方公式和平方差公式、分式的混合运算顺序和运算法则． 18.答案：解：原式=
a 2+
b 2−(a−b)2(a+b)(a−b)⋅(a−b)(a+b)22ab =2ab (a+b)(a−b)⋅
(a−b)(a+b)22ab
=a +b ． 解析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
19.答案：解：(1)原式=m 10；
(2)原式=−a 2b +2ab 3．
解析：(1)根据同底数幂的乘法法则进行计算即可；
(2)根据单项式乘以多项式法则进行计算即可．
本题考查了整式的运算，能正确运用法则进行化简是解此题的关键．
20.答案：解：(1)|3−2√2|−(13)−1−(2020+√2)0
=3−2√2−3−1
=−2√2−1； (2)√48÷√3−√12
×√12+√24 =4−√6+2√6
=4+√6； (3)(√5−3)2+(√11+3)⋅(√11−3)
=5+9−6√5+11−9
=16−6√5；
(4)13√x 2y ⋅(−4√y 2x )÷16
√x 2y =
x √y 3⋅(−4y x √x)×1x √y =−8y
x √x ．
解析：(1)直接利用绝对值的性质以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案；
(2)直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；
(3)直接利用乘法公式计算得出答案；
(4)直接化简二次根式进而得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
21.答案：解：(1){3x −y =7 ①x +3y =−1 ②
， ①×3+②得：10x =20，
解得x =2，
将x =2代入①得y =−1．
故方程组的解{x =2y =−1
． (2)2−x x−3+1
3−x =1，
2−x −1=x −3，
−2x =−4，
x =2．
检验：当x =2时，x −3≠0，
故原分式方程的解是x =2．
解析：(1)根据加减消元法解二元一次方程组即可求解；
(2)观察可得最简公分母是(x −3)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．同时考查了解二元一次方程组．
22.答案：证明：∵AD=BE，
∴AB=DE，
在△ABC和△DEF中，
{AB=DE BC=EF AC=DF
，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，
∴∠BAC=∠EDC，
∴AC//DF．
解析：欲证明AC//DF，利用全等三角形的性质证明∠A=∠EDC即可．
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．
23.答案：解：(1)a−2
a2−1÷(a−1−2a−1
a+1
)
=a−2
(a+1)(a−1)÷(a−1)(a+1)−(2a−1)
a+1
=a−2
(a+1)(a−1)×a+1
a2−1−2a+1
=a−2
(a+1)(a−1)×a+1
a(a−2)
=1
a(a−1)
，
当a=4时，原式=1
4×(4−1)=1
12
；
(2)1
a+1−a+2
a2−1
÷(a+1)(a+2)
a2−2a+1
=1
a+1−a+2
(a+1)(a−1)
×(a−1)2
(a+1)(a+2)
=1
a+1−a−1
(a+1)2
=a+1−a+1
(a+1)2
=2
a2+2a+1
，
∵a2+2a−15=0，∴a2+2a=15，
∴原式=2
15+1=1
8
．
解析：(1)先化简括号内的式子，再根据有理数的除法可以化简题目中的式子，然后将a=4代入化简后的式子即可解答本题；
(2)先化简题目中的式子，然后根据a2+2a−15=0，可以解答本题．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法．
24.答案：2π
解析：(1)证明：
如图1，连接CO．
∵C是BF⏜的中点，
∴∠BOC=
∠FOC．
又∵OF=OB，
∴OC⊥BF．
∵CG//FB，
∴OC⊥CG．
∴CG是⊙O的切线．
(2)①∵OF//CB，
∴∠AOF=∠OBC，∠COF=∠OCB．
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC．
∴∠AOF=∠COF=∠BOC=60°．
∴△OBC是等边三角形．
∵CD⊥OB，OC⊥BF，
∴点E是△OBC的重心．
∴CE=2ED=2
3
CD．
又∵⊙O的半径为2√3，
∴可求得：CD=OC⋅sin60°=2√3×√3
2
=3，DE=1，
∴CE=2；
②S
阴=60×π×(2√3)2
360
=2π．
故答案是：2π．
(1)欲证明CG是⊙O的切线，只需推知OC⊥CG即可；
(2)①首先推知△OBC是等边三角形．结合CD⊥OB、OC⊥BF、⊙O的半径为2√3可求得：CD=3，DE=1，故CE=2；
②利用割补法求得阴影部分的面积．
考查了圆的综合题，涉及了切线的判定，等边三角形的判定与性质、三角函数值的知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
25.答案：证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，
∴OB=OD，OA=OC，
∵AF=CE，
∴OF=OE，
∵在△DOF和△BOE中
{OB=OD
∠DOF=∠BOE OF=OE
∴△DOF≌△BOE(SAS)，
∴FD=BE．
解析：根据中心对称得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根据SAS推出△DOF≌△BOE即可．本题考查了全等三角形的性质和判定，中心对称的应用，主要考查学生的推理能力．
26.答案：
解析：解：
(1)利用线段垂直平分线的尺规作法进而得出即可；
(2)分别作出点A、B、C关于直线L的对称点，顺次连接即可．27.答案：解：(1)点P即为所求；如图，
(2)过点P作BA延长线的垂线，垂足为E，
在▱ABCD中，AB//CD，AD//BC，
∴∠EAP=∠D=30°，∠APB=∠PBC，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，
∴∠ABP=∠APB，
∴AP=AB=2
在Rt△APE中，
∠EAP=30°
∴PE=1
2
AP=1，
∴S△ABP=1
2⋅AB⋅PE=1
2
×2×1=1．
答：△ABP的面积为1．
解析：本题考查了作图−复杂作图、角平分线的性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是根据角平分线的性质准确画图．
(1)根据角平分线的性质即可在AD边上求作一点P，使点P到边AB，BC的距离相等；
(2)根据AB=2，即可求△ABP的面积．。