第5章 卷积与滤波分析
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5
对于5项滑动滤波器：
• 输出的开始和末尾的4个采样值受到边界效应的影 响。
• 输入信号中的大跳变消失，滤波器具有低通性。
5.4 数字图像滤波
• 卷积可以用来滤波二维信号，如数字图像。 • 此时滤波系统的脉冲响应必须是二维的，称为卷
积核。 • 例如，二维平滑滤波器的3*3卷积核
• 进行二维卷积，首先将卷积核旋转180度，这与 一维情况下求脉冲响应的镜像类似。然后，在图 像上移动卷积核，逐点计算，得到滤波输出。
5.2 差分方程与卷积
• 数字卷积的公式
y[n] x[k]h[n k] x[n]* h[n] k
•或
y[n] h[0]x[n] h[1]x[n 1] h[2]x[n 2]
h[k]x[n k] h[n]* x[n] k
对于递归差分方程，具有无限长脉冲响应，尽管输出的卷积 形式为递归的，但之前输出的影响已包含在脉冲响应采样值 中。由于脉冲响应有无穷项，所以，使用差分方程更佳。
第5章 卷积与滤波
主要内容
➢ 定义和解释卷积滤波 ➢ 解释边界效应 ➢ 确定输出响应的暂态和稳态 ➢ 建立差分方程与卷积之间的联系 ➢ 研究滑动平均滤波器 ➢ 解释如何进行数字图像滤波
5.1 卷积基础
• 数字信号可以由一系列脉冲函数之和表示
x[n] x[k][n k] k
x[n] x[0][n] x[1][n 1] x[2][n 2]
小结
1. 如果滤波器的脉冲响应已知，滤波器的输出可用卷积计 算获得。
2. 卷积是一种将滤波器输入x[n]和滤波器输出h[n]结合起来 求输出y[n]的方法，表示为：
y[n] x[k]h[n k ] x[n]* h[n]
k
3. 卷积计算中，脉冲响应序列渐进移动，慢慢通过输入序 列，每移一位计算一个输出。当输入序列不能完全覆盖 脉冲响应序列是，会产生边界效应。对应FIR滤波器， 边界效应有明显的终点。而对与IIR滤波器，边界效应 永远不会完全消失，但会逐渐减弱。
……
- 2 -1 4 3
y[9]=16
-3 2 -1 4
? y[10]=-3
-3 2 -1 4 ? y[11]=2
-3 2 -1 4 ? y[12]=12
4. 开始的输出采样值明显受到边界效应的影响，形成输出 的暂态部分。暂态响应一结束，进入稳态输出。若输入 为常数，稳态输出也将是常数。输入为正弦信号，稳态 输出也将是正弦信号。
• 只有输入序列与脉冲响应完全重叠时，计算才准确。
x[k] h[-k] h[1-k] h[2-k] h[3-k] …… h[9-k] h[10-k] h[11-k] h[12-k]
1 -2 3 1 5 2 0 1 2 4
-3 2 -1 4
? y[0]=4
-3 2 -1 4
? y[1]=-9
-3 2 -1 4
h[6-k]
0.7 -1 0.4 y[6]=0.1
-
求系统的单位阶跃响应， h[n] (0.55)n u[n]
1、脉冲响应为无限长序列，不能与输入完全重叠。无法达到真正稳态。 2、系统在12个采样点内几乎稳定在常数上。对应无限脉冲响应系统， 通常输出电平与前一个采样值的差别小于1%，就认为基本达到稳态。 对于周期序列，当一个周期的采样值与前一个周期的值相比，变化小于 1%，就认为系统达到稳态。
数字图像中卷积核的位置
• 在图像边缘处，卷积核会超 过图像的范围。
• 一种解决方法是，只取卷积 核完全重叠在图像里的输出。 这样输出的图像会比原图像 缩小一些。例如3*3卷积核， 原图像上下各失去1行，左右 各失去1列。
• 考虑到像素点的行列数通常 较大，这种丢失可以接受。
黑白间的明显界限被灰色过渡替代
h[k]x[n k] h[n]* x[n] k
y[n] (0.25)k x[n k] k 0
• 非递归差分方程 y[n] 0.1x[n] 0.2x[n 1] 0.3x[n 2] • 脉冲响应 h[n] 0.1[n] 0.2[n 1] 0.3[n 2]
h[0] 0.1, h[1] 0.2, h[2] 0.3
5. 差分方程可以写成卷积的形式，反之亦然。 6. 滑动平均滤波器通过对采样值取平均来实现平滑滤波。 7. 脉冲响应的二维形式是卷积核。卷积核对数字图像卷积
得到滤波输出图像。
8. 低通卷积核通过求附近像素点的灰度平均值使图像变模 糊。
• 采样值x[k]对每个脉冲函数提供了一个权系数。 • 若[n k]经过滤波系统后的输出为h[n k]，则
x[k][n k]经过滤波后的输出为 x[k]h[n k]。例 如 x[5] 4.0，对应系统输入 4[n 5]，则输出为
4h[n 5]
• 若输入可看做是加权脉冲函数之和，那么，输出 可看做是加权脉冲响应之和。
y[3]= 0.1
h[4-k] 0.03 -0.05 0.09 -0.17 0.3 -0.55 1.00
y[4]= 0.1
h[5-k] -0.02 0.03 -0.05 0.09 -0.17 0.3 -0.55 1.00
y[5]= 0.1
h[6-k] 0.01 -0.02 0.03 -0.05 0.09 -0.17 0.3 -0.55 1.00 y[6]=0.1
x[k] h[-k] h[1-k] h[2-k] h[3-k] …… h[9-k]
h[10-k] h[11-k] h[12-k]
1 -2 3 1 5 2 0 1 2 4
-3 2 -1 4
? y[0]=4
-3 2 -1 4
? y[1]=-9
-3 2 -1 4
? y[2]=16
-3 2 -1 4
y[3]=-6
• 在数字滤波中，边界效应一消失或变小，就进入稳态。
输入为单位阶跃序列，系统脉冲响应
h[n] 0.4[n] [n 1] 0.7[n 2]
输出在两个采样点后达到稳态值0.1。 两个采样周期足够完成输出的暂态过程，它们包含了滤波器 的边界效应。 输入的阶跃序列为常数，输出最终也稳定在常数。
x[k]
x[n] x[k][n k] k
x[n] x[0][n] x[1][n 1] x[2][n 2]
y[n] x[0]h[n] x[1]h[n 1] x[2]h[n 2]
x[k]h[n k] x[n]*h[n] k
y[n] h[0]x[n] h[1]x[n 1] h[2]x[n 2]
• 当脉冲响应序列的非零采样值为无限多个时（无限脉冲响 应），完全重叠无法达到，不过，边界效应的影响会随着 脉冲响应采样值变小而减弱。
• 解决边界效应问题，通常可使用输入信号补零、重复边缘 值、对整个信号进行周期性拓延。由于通常的采样点数非 常多，边界效应的影响仅为很小部分。
• 边界效应也可看做系统的暂态，即一种短期行为。暂态结 束后系统过渡到稳态。暂态过程的长短由系统决定，可能 为几毫秒、几分钟或若干小时。
• 考察递归差分方程 • 其脉冲响应函数为
y[n] 0.25y[n 1] x[n]
h[n] 0.25h[n 1] [n]
n0
1
2
3
4
5
6
h[n] 1.0000 0.2500 0.6250 0.0156 0.0039 0.0010 0.0002
y[n] h[0]x[n] h[1]x[n 1] h[2]x[n 2]
1111111
h[-k] 0.7 -1 0.4
y[0]=0.4
h[1-k]
0.7 -1 0.4
y[1]=-0.6
h[2-k]
0.7 -1 0.4
y[2]=0.1
h[3-k]
0.7 -1 0.4
y[3]= 0.1
h[4-k]
0.7 -1 0.4
y[4]= 0.1
h[5-k]
0.7 -1 0.4
y[5]= 0.1
h的其余采样值均为0。
2
y[n] h[k]x[n k] k 0
对于非递归滤波器，差分方程与卷积完全相同。
5.3 滑动平均滤波器
• 一种非递归滤波器，用于平滑信号。 • 5项滑动平均滤波器：
y[n] 1 (x[n] x[n 1] x[n 2] x[n 3] x[n 4]) 5
h[n] 1 ([n] [n 1] [n 2] [n 3] [n 4])
h[k]x[n k] h[n]* x[n] k
输出是输入与系统脉冲响应的卷积。
y[n] x[k]h[n k ] x[n]* h[n]
k
y[0] x[k]h[k] k
y[1] x[k]h[1 k] k
y[2] x[k]h[2 k
计算数字卷积的步骤
x[k] h[-k] h[1-k] h[2-k] h[3-k] h[4-k] h[5-k]
2 1 -2 -1 2 1
-1 2 1 -1 2 1 -1 2 1 -1 2 1 -1 2 1
y[0]=2 y[1]=5 y[2]=-2 y[3]=-5 y[4]=2 y[5]=0
• 大多数情况，采样开始前的输入情况是未知的。而输出通常会受之 前输入信号的影响，脉冲响应与未知采样点重叠，这使得此时的输 出计算无法准确获得。这种情况在采样的开始和结尾出均存在。该 现象称为，边界效应。
x[k]
1
1
1
1
1
1
1
h[-k] 0.3 -0.55 1.00
y[0]=0.4
h[1-k] -0.17 0.3 -0.55 1.00
y[1]=-0.6
h[2-k] 0.09 -0.17 0.3 -0.55 1.00
y[2]=0.1
h[3-k] -0.05 0.09 -0.17 0.3 -0.55 1.00
? y[2]=16
-3 2 -1 4
y[3]=-6
……
- 2 -1 4
y[9]=16
-3 2 -1 4
? y[10]=-3
-3 2 -1 4 ? y[11]=2
-3 2 -1 4 ? y[12]=12
对比表5.7 P115
• 前后各有3个点受边界效应影响。边界效应的长度在开始 和末尾均为脉冲响应长度减1.
对于5项滑动滤波器：
• 输出的开始和末尾的4个采样值受到边界效应的影 响。
• 输入信号中的大跳变消失，滤波器具有低通性。
5.4 数字图像滤波
• 卷积可以用来滤波二维信号，如数字图像。 • 此时滤波系统的脉冲响应必须是二维的，称为卷
积核。 • 例如，二维平滑滤波器的3*3卷积核
• 进行二维卷积，首先将卷积核旋转180度，这与 一维情况下求脉冲响应的镜像类似。然后，在图 像上移动卷积核，逐点计算，得到滤波输出。
5.2 差分方程与卷积
• 数字卷积的公式
y[n] x[k]h[n k] x[n]* h[n] k
•或
y[n] h[0]x[n] h[1]x[n 1] h[2]x[n 2]
h[k]x[n k] h[n]* x[n] k
对于递归差分方程，具有无限长脉冲响应，尽管输出的卷积 形式为递归的，但之前输出的影响已包含在脉冲响应采样值 中。由于脉冲响应有无穷项，所以，使用差分方程更佳。
第5章 卷积与滤波
主要内容
➢ 定义和解释卷积滤波 ➢ 解释边界效应 ➢ 确定输出响应的暂态和稳态 ➢ 建立差分方程与卷积之间的联系 ➢ 研究滑动平均滤波器 ➢ 解释如何进行数字图像滤波
5.1 卷积基础
• 数字信号可以由一系列脉冲函数之和表示
x[n] x[k][n k] k
x[n] x[0][n] x[1][n 1] x[2][n 2]
小结
1. 如果滤波器的脉冲响应已知，滤波器的输出可用卷积计 算获得。
2. 卷积是一种将滤波器输入x[n]和滤波器输出h[n]结合起来 求输出y[n]的方法，表示为：
y[n] x[k]h[n k ] x[n]* h[n]
k
3. 卷积计算中，脉冲响应序列渐进移动，慢慢通过输入序 列，每移一位计算一个输出。当输入序列不能完全覆盖 脉冲响应序列是，会产生边界效应。对应FIR滤波器， 边界效应有明显的终点。而对与IIR滤波器，边界效应 永远不会完全消失，但会逐渐减弱。
……
- 2 -1 4 3
y[9]=16
-3 2 -1 4
? y[10]=-3
-3 2 -1 4 ? y[11]=2
-3 2 -1 4 ? y[12]=12
4. 开始的输出采样值明显受到边界效应的影响，形成输出 的暂态部分。暂态响应一结束，进入稳态输出。若输入 为常数，稳态输出也将是常数。输入为正弦信号，稳态 输出也将是正弦信号。
• 只有输入序列与脉冲响应完全重叠时，计算才准确。
x[k] h[-k] h[1-k] h[2-k] h[3-k] …… h[9-k] h[10-k] h[11-k] h[12-k]
1 -2 3 1 5 2 0 1 2 4
-3 2 -1 4
? y[0]=4
-3 2 -1 4
? y[1]=-9
-3 2 -1 4
h[6-k]
0.7 -1 0.4 y[6]=0.1
-
求系统的单位阶跃响应， h[n] (0.55)n u[n]
1、脉冲响应为无限长序列，不能与输入完全重叠。无法达到真正稳态。 2、系统在12个采样点内几乎稳定在常数上。对应无限脉冲响应系统， 通常输出电平与前一个采样值的差别小于1%，就认为基本达到稳态。 对于周期序列，当一个周期的采样值与前一个周期的值相比，变化小于 1%，就认为系统达到稳态。
数字图像中卷积核的位置
• 在图像边缘处，卷积核会超 过图像的范围。
• 一种解决方法是，只取卷积 核完全重叠在图像里的输出。 这样输出的图像会比原图像 缩小一些。例如3*3卷积核， 原图像上下各失去1行，左右 各失去1列。
• 考虑到像素点的行列数通常 较大，这种丢失可以接受。
黑白间的明显界限被灰色过渡替代
h[k]x[n k] h[n]* x[n] k
y[n] (0.25)k x[n k] k 0
• 非递归差分方程 y[n] 0.1x[n] 0.2x[n 1] 0.3x[n 2] • 脉冲响应 h[n] 0.1[n] 0.2[n 1] 0.3[n 2]
h[0] 0.1, h[1] 0.2, h[2] 0.3
5. 差分方程可以写成卷积的形式，反之亦然。 6. 滑动平均滤波器通过对采样值取平均来实现平滑滤波。 7. 脉冲响应的二维形式是卷积核。卷积核对数字图像卷积
得到滤波输出图像。
8. 低通卷积核通过求附近像素点的灰度平均值使图像变模 糊。
• 采样值x[k]对每个脉冲函数提供了一个权系数。 • 若[n k]经过滤波系统后的输出为h[n k]，则
x[k][n k]经过滤波后的输出为 x[k]h[n k]。例 如 x[5] 4.0，对应系统输入 4[n 5]，则输出为
4h[n 5]
• 若输入可看做是加权脉冲函数之和，那么，输出 可看做是加权脉冲响应之和。
y[3]= 0.1
h[4-k] 0.03 -0.05 0.09 -0.17 0.3 -0.55 1.00
y[4]= 0.1
h[5-k] -0.02 0.03 -0.05 0.09 -0.17 0.3 -0.55 1.00
y[5]= 0.1
h[6-k] 0.01 -0.02 0.03 -0.05 0.09 -0.17 0.3 -0.55 1.00 y[6]=0.1
x[k] h[-k] h[1-k] h[2-k] h[3-k] …… h[9-k]
h[10-k] h[11-k] h[12-k]
1 -2 3 1 5 2 0 1 2 4
-3 2 -1 4
? y[0]=4
-3 2 -1 4
? y[1]=-9
-3 2 -1 4
? y[2]=16
-3 2 -1 4
y[3]=-6
• 在数字滤波中，边界效应一消失或变小，就进入稳态。
输入为单位阶跃序列，系统脉冲响应
h[n] 0.4[n] [n 1] 0.7[n 2]
输出在两个采样点后达到稳态值0.1。 两个采样周期足够完成输出的暂态过程，它们包含了滤波器 的边界效应。 输入的阶跃序列为常数，输出最终也稳定在常数。
x[k]
x[n] x[k][n k] k
x[n] x[0][n] x[1][n 1] x[2][n 2]
y[n] x[0]h[n] x[1]h[n 1] x[2]h[n 2]
x[k]h[n k] x[n]*h[n] k
y[n] h[0]x[n] h[1]x[n 1] h[2]x[n 2]
• 当脉冲响应序列的非零采样值为无限多个时（无限脉冲响 应），完全重叠无法达到，不过，边界效应的影响会随着 脉冲响应采样值变小而减弱。
• 解决边界效应问题，通常可使用输入信号补零、重复边缘 值、对整个信号进行周期性拓延。由于通常的采样点数非 常多，边界效应的影响仅为很小部分。
• 边界效应也可看做系统的暂态，即一种短期行为。暂态结 束后系统过渡到稳态。暂态过程的长短由系统决定，可能 为几毫秒、几分钟或若干小时。
• 考察递归差分方程 • 其脉冲响应函数为
y[n] 0.25y[n 1] x[n]
h[n] 0.25h[n 1] [n]
n0
1
2
3
4
5
6
h[n] 1.0000 0.2500 0.6250 0.0156 0.0039 0.0010 0.0002
y[n] h[0]x[n] h[1]x[n 1] h[2]x[n 2]
1111111
h[-k] 0.7 -1 0.4
y[0]=0.4
h[1-k]
0.7 -1 0.4
y[1]=-0.6
h[2-k]
0.7 -1 0.4
y[2]=0.1
h[3-k]
0.7 -1 0.4
y[3]= 0.1
h[4-k]
0.7 -1 0.4
y[4]= 0.1
h[5-k]
0.7 -1 0.4
y[5]= 0.1
h的其余采样值均为0。
2
y[n] h[k]x[n k] k 0
对于非递归滤波器，差分方程与卷积完全相同。
5.3 滑动平均滤波器
• 一种非递归滤波器，用于平滑信号。 • 5项滑动平均滤波器：
y[n] 1 (x[n] x[n 1] x[n 2] x[n 3] x[n 4]) 5
h[n] 1 ([n] [n 1] [n 2] [n 3] [n 4])
h[k]x[n k] h[n]* x[n] k
输出是输入与系统脉冲响应的卷积。
y[n] x[k]h[n k ] x[n]* h[n]
k
y[0] x[k]h[k] k
y[1] x[k]h[1 k] k
y[2] x[k]h[2 k
计算数字卷积的步骤
x[k] h[-k] h[1-k] h[2-k] h[3-k] h[4-k] h[5-k]
2 1 -2 -1 2 1
-1 2 1 -1 2 1 -1 2 1 -1 2 1 -1 2 1
y[0]=2 y[1]=5 y[2]=-2 y[3]=-5 y[4]=2 y[5]=0
• 大多数情况，采样开始前的输入情况是未知的。而输出通常会受之 前输入信号的影响，脉冲响应与未知采样点重叠，这使得此时的输 出计算无法准确获得。这种情况在采样的开始和结尾出均存在。该 现象称为，边界效应。
x[k]
1
1
1
1
1
1
1
h[-k] 0.3 -0.55 1.00
y[0]=0.4
h[1-k] -0.17 0.3 -0.55 1.00
y[1]=-0.6
h[2-k] 0.09 -0.17 0.3 -0.55 1.00
y[2]=0.1
h[3-k] -0.05 0.09 -0.17 0.3 -0.55 1.00
? y[2]=16
-3 2 -1 4
y[3]=-6
……
- 2 -1 4
y[9]=16
-3 2 -1 4
? y[10]=-3
-3 2 -1 4 ? y[11]=2
-3 2 -1 4 ? y[12]=12
对比表5.7 P115
• 前后各有3个点受边界效应影响。边界效应的长度在开始 和末尾均为脉冲响应长度减1.