汕头市聿怀初级中学数学第一次中考模拟试题含答案

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汕头市聿怀初级中学2015－2016学年度下学期
九年级数学科第一次模拟考试问卷
命题人：林少锐
（考试时间：100分钟，总分：120分）
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 计算－4×（－3）的结果是（ ▲ ）.
A. -12
B. 12
C. 7
D. -7
2．下列运算正确．．
的是（ ▲ ）. A ．6
3
3
a a a =+ B ．12)1(2+=+a a C ．2
2
2
)(b a ab = D ．2
36a a a =÷ 3．甲、乙、丙、丁四名选手参加200米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若甲首先抽签，则甲抽到第1道的概率是（ ▲ ）.
A ．0
B ．
41C ．2
1
D ．1 4．方程532=-x 解是（ ▲ ）.
A ． 4
B ． 5
C ． 3
D ．6 5．下列标志中，可以看作是轴对称图形．．．．．
的是（ ▲ ）. A ． B ． C ． D ．
6．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BC 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为32，则OH =（ ▲ ）.
A ．8
B ．6
C ．3
D ．4
第6题 第9题 第10题 7．一次函数12--=x y 的图象不经过．．．
下列哪个象限（ ▲ ）. A ． 第一象限 B ． 第二象限
C ． 第三象限
D ． 第四象限
8．不等式组⎩⎨
⎧≥+-010
12x x ＞的解集是（ ▲ ）.
A ． x ＞21
B ．﹣1≤x＜21
C ． x ＜2
1
D ．
x≥﹣1
9．如图，正方形OABC 的两边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D （5，3）在边AB 上，以C 为中心， 把△CDB 顺时针旋转90°，则旋转后点D 的对应点D ′的坐标是（ ▲ ）.
A ．（2，10）
B ．（﹣2，0）
C ．（2，10）或（﹣2，0）
D ．（10，2）或（﹣2，0）
10. 如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点
A ，
B 在围成的正方体上的距离是（ ▲ ）.
A ．3
B ．2
C ．1
D ． 0
二、填空题： (本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11．计算：1
2121++
++m m
m m =▲．
12．二次根式2-x 中x 的取值范围是是▲．
13．如图，BC ⊥AE 于点C ，CD ∥AB ，∠B =55°，则∠1等于▲．(填写度数)
第13题 第14题 第15题
14．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB 上，BC 与DE 交于点M .如果∠ADF =100°，那么∠BMD 为▲．(填写度数)
15．已知二次函数)0(2
≠++=a c bx ax y 的图象如图，且关于x 的一元二次方程02
=-++m c bx ax
没有实数根，有下列结论：①042
＞ac b -；②0＞abc ；③2＞m ．其中正确结论的个数是▲个． 16．在平面直角坐标系中，智多星做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向上走1个单位，
第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位…依此类推，第n 步的走法是：当n 能被3整除时，则向右走1个单位；当n 被3除，余数为1时，则向上走1个单位；当n 被3除，余数为2时，则向上走2个单位；当走完第2015步时，棋子所处位置的坐标是___▲_____．
三、解答题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推
理步骤. 17．（6分）计算：3330tan )
3
1()2015(2
--⨯︒++--π
18．（6分）先化简，再求值：)1)(1()2(2
a a a +-++，其中4
3-
=a ．
19．（6分）如图，点B 在射线AE 上，∠1=∠2，∠3=∠4．
求证：AC=AD ．
四、解答题：（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.
432
1B D
E
A
.
20．(7分) △ABC 中，∠ABC =80°, ∠BAC =40°,AB 的垂直平分线
分别与AC 、AB 交于点D 、E.
（1）尺规作图：在图中作出AB 的垂直平分线DE. （2）连接BD ，证明△ABC∽△BDC .
21．(7分) 在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字-1、0、1的乒乓球(形状、大小一样)，先从盒
子里随机取出一个乒乓球，记下数字后放回．．盒子，摇匀后再随机取出一个乒乓球，记下数字. (1)请用树状图或列表的方法求两次取出乒乓球上的数字相同的概率；
(2)求两次取出乒乓球上的数字之积等于0的概率.
22.(7分)在2014年6月23日第十届保护韩江母亲河徒步节上，如图所示，某同学为了测得一段南北流向的河
段的宽，在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点C ，测得C 在A 北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B 处，测得C 在B 北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这段河段的宽度．
（参考数值：tan 31°≈5
3
）
五、解答题：（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推
理步骤.
23．(9分))在荔枝种植基地有A 、B 两个品种的树苗出售，已知A 种比B 种每株多20元，买1株A 种树苗
和2株B 种树苗共需200元．
（1）问A 、B 两种树苗每株分别是多少元？
（2）为扩大种植，某农户准备购买A 、B 两种树苗共36株，且A 种树苗数量不少于B 种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．
24. (9分)) 已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC=10， BD=8． （1）若AC ⊥BD ，试求四边形ABCD 的面积；
（2）若AC 与BD 的夹角∠AOD=60°，求四边形ABCD 的面积；
（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD ”改为“四边形ABCD ”，且∠AOD=θ，AC=a ，BD=b ，试求四边形ABCD 的面积（用含θ，a ，b 的代数式表示）．
25．(9分) 如图甲，四边形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x
轴于点A 、D ，交y 轴于点E ，连结AB 、AE 、BE ．已知tan ∠CBE ＝13
，A (3，0)，D (－1，0)，E (0，3)． (1)求抛物线的解析式与顶点B 的坐标； (2)求证：CB 是△ABE 外接圆的切线；
(3)试探究坐标轴上是否存在一点P ，使以D 、E 、P 为顶点的三角形与△ABE 相似，若存在，直接写出．．．．
点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)设△AOE 沿x 轴正方向平移t 个单位长度(0＜t ≤3)时，△AOE 与△ABE 重叠部分的面积为s ，求s 与 t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围．
汕头市聿怀初级中学2015－2016学年度 九年级数学科第一次模拟考试试卷参考答案
选择题（每题3分，共30分）
BCBAD
DAABC
图甲
A
E
D C B
y x O 图乙(备用图)
A E
D C B
y x
O
.
填空题（每题4分，共24分）
11. 1 ； 12. x ≥2 ；13. 35° ；14. 85°；15. 2 ；16. （671，2016） 解答题：
17.（本题6分）解：原式=333
3
91-⨯+
+………4分 =10
………6分
18. （本题6分）解：原式= 22144a a a -+++………2分
= 54+a ………4分
当43-
=a 时，原式 = 5)4
3
(4+-⨯ = 2 ………6分
19. （本题6分）证明：∵∠3、∠4分别是△ABC 和△ABD 的外角 ∴∠3=∠1+∠C ，∠4=∠2+∠D
又∵∠1=∠2，∠3=∠4 ∴∠C = ∠D ………3分 又∵AB=AB ，∠1=∠2
∴△ABC ≌△ABD （AAS ） ………5分 ∴AC=AD. ………6分
20. （本题7分）解：（1）如图，直线DE 为所求. ………3分
（2）∵DE 是AB 的垂直平分线
∴BD=AD
∴∠ABD=∠A=40°
∵∠BDC 是△ABD 的外角 ∴∠BDC=∠A+∠ABD=80° ∴∠BDC=∠ABC ∵∠C=∠C
∴△ABC ∽△BDC ………7分
21. （本题7分）解： (1)树状图:
由图可知，共产生9种等可能结果, ∵两次数字相同的有3种. ∴P(两次数字相同)＝
3
1
93=………5分 （２）（数字之积为０有５种情况，∴Ｐ(两数之积为０) 9
5
=
………7分
22. （本题7分）解：过点C 作CD ⊥AB 于D ， ………1分 由题意 31=∠DAC ， 45=∠DBC ，设CD=x 米， 则BD = CD = x 米，
∴AD =AB+BD =（40+x ）米， ∵在Rt ACD ∆中，tan DAC ∠=AD
CD
，
∴
5
3
40=+x x ，解得x = 60．
………6分
答：这段河段的宽度约为60米. ………7分
23. （本题9分）解：（1）设A 种树苗每株x
元，则B 种树苗每株)20(-x 元，依题意得：
200)20(2=-+x x 解得：80=x
∴6020=-x
答：A 种树苗每株80元，则B 种树苗每株60元. ………4分
（2）设购买A 种树苗m 株，费用为y 元，则)36(6080m m y -+=即：216020+=m y
由）（m m -≥362
1得：12≥m
∵20＞0，∴y 随m 的增大而增大
∴当12=m 时，y 有最小值为：240021601220=+⨯=y
∴费用最省的方案是：购买A 种树苗12株，B 种树苗24株. ………9分
24. （本题9分） 解：（1）∵AC ⊥BD
∴四边形ABCD 的面积为：
BD AC ⨯⨯21=8102
1
⨯⨯=40
………2分
（2）过点A 分别作AE ⊥BD 于E
………3分
∵四边形ABCD 为平行四边形
4
32
1B D A C E
D
.
∴521==
=AC CO AO ，42
1
===BD DO BO ∵在Rt △AOE 中，AO
AE
=∠AOE sin
∴2
3523560sin 5sin =⨯=︒⨯=∠⋅=AOE AO AE ………4分 ∴352
3
542121=⨯
⨯=⋅=AE OD S AOD △………5分 ∴四边形ABCD 的面积为：3204AOD ==△S S ………6分
(3）如图所示过点A,C 分别作AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E,F
………7分
在Rt △AOE 中，AO
AE
=∠AOE sin
∴θsin sin ⋅=∠⋅=AO AOE AO AE
同理可得：θsin sin ⋅=∠⋅=CO COF CO CF ………8分
∴四边形ABCD 的面积为：CF BD 2
1
AE BD 21S CBD ABD ⋅+⋅=+=△△S S
)(sin BD 21
CO AO +⋅=θ θθsin 2
1
sin 21ab CD BD =⋅⋅=
25. （本题9分） 解：（1∵抛物线经过E(0,3)
∴)10()30(3+⋅-⋅=a ∴322++-=x x y ．
∵4)1(2+--=x y ∴顶点B 为（1，4
）
………2分
(2)如图，证明：过点B 作BM ⊥y 于点M ，则M(0，4)．
在Rt △AOE 中，OA ＝OE ＝3，
∴∠1＝∠2＝45°，AE ． 在Rt △EMB 中，EM ＝OM －OE ＝1＝BM ，
∴∠MEB ＝∠MBE ＝45°，BE ． ∴∠BEA ＝180°－∠1－∠MEB ＝90°．
∴AB 是△ABE 外接圆的直径．
………3分
∵在Rt △ABE 中，tan ∠BAE ＝BE AE ＝1
3
＝tan ∠CBE ，
∴∠BAE ＝∠CBE ．
又∵在Rt △ABE 中，∠BAE ＋∠3＝90°，∴∠CBE ＋∠3＝90°． ∴∠CBA ＝90°，即CB ⊥AB ． ∴CB 是△ABE 外接圆的切线．
………4分 (3)P 1(0，0)，P 2(9，0)，P 3(0，－1
3
)．
………6分
（注：第3小题共2分，对一个或两个得1分，全对得2分）
(4)解：设直线AB 的解析式为)0(≠+=k b kx y ．
则30,4.k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2,6.k b =-⎧⎨=⎩
∴62+-=x y ．
过点E 作射线EF ∥x 轴交AB 于点F ，当y ＝3时，得x ＝32，∴F(3
2
，3)． ①：如图7，当0＜t ≤
3
2
时，设△AOE 平移到△DNM 的位置，MD 交AB 于点H ，MN 交AE 于点G ．
则ON ＝AI ＝t ，过点H 作LK ⊥x 轴于点K ，交EF 于点L ．
由△AHI ∽△FHM ，得
HL
HK FM AI =
．即332
t HK HK t =--．解得HK ＝2t ．
∴S 阴＝S △MND －S △GNA －S △HAD ＝12×3×3－12(3－t)2
－12t ·2t ＝－32
t 2＋3t ．
………
7分
②：如图8，当
3
2
＜t ≤3时，设△AOE 平移到△PQR 的位置，PQ 交AB 于点I ，交AE 于点V ．由△IQA ∽△IPF ，得AQ IQ
FP IP =
．即3332
IQ t IQ t -=--．解得IQ ＝2(3－t)． ∴S 阴＝S △IQA －S △VQA ＝12×(3－t)×2(3－t)－12(3－t)2＝12(3－t)2
＝12t 2－3t ＋92
．
综上所述：s ＝2
2333 0),221933 (3).2
22t t t t t t ⎧-+<⎪⎪⎨⎪-+<⎪⎩≤≤(………9分 （第4小题每个关系式1分，共2分；取值范围两个都正确1分）
备用图2
备用图1。