物理化学第八章课后答案完整版

第八章 量子力学基础
8.1 在一维势箱问题求解中，假定在箱内()0V x C =≠（C 为常数），是否对其解产生影响？怎样影响？
解：当()0V x C =≠时，一维势箱粒子的Schrödinger 方程为
()()()()()()()()22
2222222d 2d d d '2d 2d x C x E x m x x x E C x E x m x m x ψψψψψψψ-+=∴-=-⇒-= 边界条件不变，因此Schrödinger 方程的解为
()22'2182πsin n n n E ma n x x a a ψ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 即()0V x C =≠不影响波函数，能级整体改变C :
222'8E E C n ma C =+=+
8.2 一质量为m ，在一维势箱0x a <<中运动的粒子，其量子态为
()12π3π0.5sin 0.866sin x x x a a a ψ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭ （1） （1） 该量子态是否为能量算符ˆH
的本征态？ （2） （2） 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？
（3） （3） 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？
解：对波函数的分析可知
()()()
()()()()132221133220.50.8663ˆˆH , H 88x x x h h x x x x ma ma ψψψψψψψ=+==
（1） （1） 由于
()()()(){}(){}()13
222
1322ˆˆˆH 0.5H 0.866H 0.530.50.86688x x x h h x x E x ma ma ψψψψψψ=+=⨯+⨯≠
因此，()x ψ不是能量算符ˆH
的本征态。

（2） （2） 由于()x ψ是能量本征态()1x ψ和()3x ψ的线性组合，而且是归一化的，因
此能量测量的可能值为
22
13229, 88h h E E ma ma ==其出现的概率分别为
220.50.25, 0.8660.75==
（3） （3） 能量测量的平均值为
()22
132270.250.750.250.75988h h E E E ma ma =+=+⨯=
8.3 1 g 重的小球在1 cm 长的盒内，试计算当它的能量等于在300 K 下的kT 时其量子数n 。

这一结果说明了什么？k 和T 分别为波尔兹曼常数和热力学温度。

解：一维势箱粒子的能级公式为
222219
348108.688106.626110n h E n a a ma h h
n --=⇒====⨯⨯
量子化效应不明显。

8.4 在质量为m 的单原子组成的晶体中，每个原子可看作在所有其他原子组成的球对称势场
()21
2V x fr =中振动，式中2222r x y z =++。

该模型称为三维各向同性谐振子模型，请给
出其能级的表达式。

解：该振子的Hamiltonian 算符为
()2
2222222222222222222221ˆH 22111222222ˆˆˆH H H x y z f x y z m x y z fx fy fz m x m y m z ⎧⎫∂∂∂=-+++++⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎧⎫⎧⎫⎧⎫∂∂∂=-++-++-+⎨⎬⎨⎬
⎨⎬∂∂∂⎩⎭⎩⎭⎩⎭=++ 即ˆH 为三个独立谐振子Hamiltonian 算符
ˆˆˆH , H , H x y z 之和，根据量子力学基本定律，该振子的能即为个独立振子能级之和：
111222x x y y z z v h v h v h εννν⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 式中
x y z νννν====为经典基频，所以
32x y z v v v h εν⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭。