2014届高考数学(文)一轮复习课件：第2章 第3讲函数的奇偶性与周期性
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高考数学大一轮复习 第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性课件
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15
规律方法 1 1.本例第(1)题，若盲目化简：f(x)＝ x＋12·xx－＋11＝ x2－1将扩大函数的定义域，作出错
误判断．第(2)题易忽视定义域无从入手．
2．判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原
点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，
根据 f(－x)与 f(x)的关系作出判断，对于分段函数，应分情
不等式fx＋xf－x＞0 的解集为________．
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17
【答案】
(1)－1
(2)f(x)＝
x2－2x，x≥0， x2＋2x，x＜0
＜－2 或 0＜x＜2}
(3){x|x
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18
规律方法 2 (1)已知函数的奇偶性求函数的解析式，常 利用奇偶性构造关于 f(x)的方程，从而可得 f(x)的解析式．
(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数， 常常采用待定系数法：利用 f(x)±f(－x)＝0 产生关于字母的恒 等式，由系数的对等性可得知字母的值．
(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称 的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的 单调性相反．
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19
对点训练 (1)(2014·湖南高考)已知 f(x)，g(x)分别是定义
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3
1．奇、偶函数对称区间上的单调性 奇函数在关于原点对称的两个区间上有相同的单调性； 偶函数在关于原点对称的两个区间上有相反的单调性． 2．奇函数图象与原点的关系： 如果奇函数 f(x)在原点有定义，则 f(0)＝0.
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4
二、周期性 1．周期函数：T 为函数 f(x)的一个周期，则需满足的条 件： ①T≠0； ② f(x＋T)＝f(x) 对定义域内的任意 x 都成立． 2．最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在 一个_最__小__的__正__数__，那么这个最__小__的__正__数___就叫做它的最小正 周期．
2014届高考数学总复习第2章第3讲函数的奇偶性与周期性课件理新人教A版
(4)由
2x－1≥0 1－2x≥0
得函数定义域为{
1 2
}，不关于原点对
称，函数是非奇非偶函数．
(5)当x>0时，－x<0，f(x)＝x2＋2，
f(－x)＝－(－x)2－2＝－x2－2＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，f(x)＝－x2－2，
f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝－f(x)；
当x＝0时，f(－x)＝0＝－f(x)，
课前自主导学
1. 函数的奇偶性
奇函数
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，
定义 都有________，那么 都有________，那么
函数f(x)是偶函数
函数f(x)是奇函数
图象 特点
关于______对称
关于______轴对称
奇偶函数的定义域有什么特点？它是函数具有奇偶性的什 么条件？
x2＋2x>0
(5)f(x)＝0x＝0
；
－x2－2x<0
(6)f(x)＝|xlg2－1－2|－x22.
[审题视点] 先求出函数的定义域，若定义域关于原点对 称，再根据定义研究f(－x)与f(x)的关系，必要时需对解析式进 行化简，分段函数则要分段判断．
[解] (1)定义域是{x|x∈R，且x≠0}，关于原点对称， 且f(－x)＝(－x)3－－1x＝－x3＋1x＝－f(x)， 故f(x)是奇函数．
A. y＝cos2x，x∈R C. y＝ex－2e－x，x∈R
B. y＝log2|x|，x∈R且x≠0 D. y＝x3＋1，x∈R
[审题视点] 分析四个函数在(1,2)上不具有单调性，或为 奇函数、非奇非偶函数的情况，利用排除法求解．
高考一轮复习函数的奇偶性与周期性课件
常见周期函数的举例
正弦函数和余弦函数是常见的周期函 数。例如，y=sin(x)的最小正周期为 2π，y=cos(x)的最小正周期为2π。
函数y=sin(ax)和y=cos(ax)的周期为 2π/a，其中a是常数。
函数y=tan(x)也是周期函数，它的最 小正周期为π。
函数y=tan(ax)的周期为π/a，其中a 是常数。
举一反三
通过练习多种形式的题目， 提高对奇偶性和周期性问 题的应变能力。
反思提高
反思自己在解题过程中的 不足，针对性地加强薄弱 环节的训练。
THANKS.
02
与性
周期函数的定 义
周期函数的定义
如果存在一个非零常数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有f(x+T)=f(x)， 则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
周期函数的定义还可以表述为
如果存在一个非零常数T，对于函数f(x)的定义域内的任意x，当x增加T时，函数 值重复出现，即f(x+T)=f(x)，则称f(x)为周期函数，T称为这个函数的周期。
高考一复函数的奇 偶性与周期性件
• 函数奇偶性的定义与性质 • 函数周期性的定义与性质 • 奇偶性与周期性的应用 • 高考真题解析 • 复习建议与策略
函数奇偶性的定
01
与性
奇函数与偶函数的定 义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$， 则称$f(x)$为奇函数。
偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任 意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$， 则称$f(x)$为偶函数。
奇偶函数的性 质
01
奇函数在原点有定义， 即$f(0)=0$。
高考数学复习向导第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性课件 理
f(x)是周期为 4 的周期函数．
利用函数的奇偶性，可以求关于原点对称区间上 的函数的表达式．
【互动探究】 3．偶函数 f(x)(x∈R)满足：f(－4)＝f(1)＝0，且在区间[0,3] 与[3，＋∞)上分别递减和递增，则不等式 xf(x)<0 的解集为( D ) A．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B．(－4，－1)∪(1,4) C．(－∞，－4)∪(－1,0) D．(－∞，－4)∪(－1,0)∪(1,4) 解析：由已知条件通过 f(x)(x∈R)的草图得知函数 f(x)(x∈R) 的值在(－∞，－4)，(－1,1)，(4，＋∞)上都为正，在(－4，－1)， (1,4)上为负，故不等式 xf(x)<0 的解集为(－∞，－4)∪(－1,0)∪ (1,4)．
错源：没有考虑定义域 例 4：判断函数 f(x)＝(1＋x)
1－x 1＋x
的奇偶性．
误解分析：对函数奇偶性定义实质“函数的定义域关于原
点对称”理解不全面．这是函数具备奇偶性的必要条件．
正解：f(x)＝(1＋x)
1－x 1＋x
有意义时，必须满足
11－ ＋xx≥0⇒
－1<x≤1，即函数的定义域是{x|－1<x≤1}，由于定义域不关于 原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．
(8)若函数 y＝f(x)(x∈R)的图像关于点(a,0)与直线 x＝b 对 称，则 T＝4|b－a|是它的一个周期．
1．(2010 年江西)给出下列三个命题：
①函数
y＝12ln
11－ ＋ccoossxx与
y＝lntan x是同一函数； 2
②若函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图像关于直线 y＝x 对称，则函
方法一：f(－x)＝
高考理数学一轮复习课件第二章第三节函数的奇偶性与周期性
(2)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2, f(1)+g(-1)=4,则g(1)= .
答案 (1)1 (2)3
1-2 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=3x+3-x;(2)f(x)=
1
2x
+
-1
1 ;(3)f(x)=
2
x2 -x
2xx,x,x00, ;(4)f(x)=x3sin
.
答案 (1)C (2)(-∞,-5)
解析 (1)由题意可得f(2x-1)≥f(1),∵函数f(x)为偶函数,∴f(|2x-1|)≥f(1), 又函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, ∴|2x-1|≤1,解得0≤x≤1.故选C. (2)由题意得f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex-x3=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,因 为f '(x)=ex+e-x+3x2>0,所以函数f(x)是定义域上的增函数,所以由f(2x+1)<-f(4-x) =f(x-4),得2x+1<x-4,所以x<-5.
对f(x)定义域内任意自变量x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)= 1 ,则T=2a(a>0).
f (x)
(3)若f(x+a)=- 1 ,则T=2a(a>0).
f (x)
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)若函数f(x),g(x)为定义域相同的奇函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ( ✕ ) (2)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称 的. ( √ ) (3)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0或f(0)无意义.( √ ) (4)若对于任意的实数x,都有f(x)= -1 ,则2是函数f(x)的一个周期. ( ✕ )
答案 (1)1 (2)3
1-2 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=3x+3-x;(2)f(x)=
1
2x
+
-1
1 ;(3)f(x)=
2
x2 -x
2xx,x,x00, ;(4)f(x)=x3sin
.
答案 (1)C (2)(-∞,-5)
解析 (1)由题意可得f(2x-1)≥f(1),∵函数f(x)为偶函数,∴f(|2x-1|)≥f(1), 又函数f(x)在[0,+∞)上单调递减, ∴|2x-1|≤1,解得0≤x≤1.故选C. (2)由题意得f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex-x3=-f(x),所以函数f(x)是奇函数,因 为f '(x)=ex+e-x+3x2>0,所以函数f(x)是定义域上的增函数,所以由f(2x+1)<-f(4-x) =f(x-4),得2x+1<x-4,所以x<-5.
对f(x)定义域内任意自变量x:
(1)若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0).
(2)若f(x+a)= 1 ,则T=2a(a>0).
f (x)
(3)若f(x+a)=- 1 ,则T=2a(a>0).
f (x)
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“✕”). (1)若函数f(x),g(x)为定义域相同的奇函数,则F(x)=f(x)+g(x)是偶函数. ( ✕ ) (2)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称 的. ( √ ) (3)若函数f(x)为奇函数,则一定有f(0)=0或f(0)无意义.( √ ) (4)若对于任意的实数x,都有f(x)= -1 ,则2是函数f(x)的一个周期. ( ✕ )
高考数学一轮复习-2-3函数的奇偶性与周期性课件-理
•由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝ －f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)． •∵f(x)在区间[0,2]上是增函数，
•f(x)在R上是奇函数， •∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数， •∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二 函数周期性的应用 【例 2】(1)(2014·安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝xsin1－πxx，，1＜0≤x≤x≤2，1， 则 f 249＋f 461＝________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝________.
• 第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断，B级 要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇 偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周 期的含义，周期性的判断及应用，B级要求．
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 知识梳理 • 1．函数的奇偶性
奇偶 性
基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练 2】 (2014·南通模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且是以 2 为周期的周期函数．若当 x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则
f(log16)的值为________．
2
解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数．
∴f(log16)＝f
2
log1
2
法二 易知 f(x)的定义域为 R. ∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋ －x2＋1]＋ log2(x＋ x2＋1)＝log21＝0，即 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 对于 g(x)，由|x－2|＞0，得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}． ∵g(x)的定义域关于原点不对称， ∴g(x)为非奇非偶函数． 答案 (1)① (2)奇 非奇非偶
•f(x)在R上是奇函数， •∴f(x)在区间[－2,2]上是增函数， •∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．
基础诊断
考点突破
课堂总结
考点二 函数周期性的应用 【例 2】(1)(2014·安徽卷)若函数 f(x)(x∈R)是周期为 4 的奇函
数，且在[0,2]上的解析式为 f(x)＝xsin1－πxx，，1＜0≤x≤x≤2，1， 则 f 249＋f 461＝________. (2)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x＋2)＝－f(x)，当 2≤x≤3 时，f(x)＝x，则 f(105.5)＝________.
• 第3讲 函数的奇偶性与周期性
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断，B级 要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇 偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周 期的含义，周期性的判断及应用，B级要求．
基础诊断
考点突破
课堂总结
• 知识梳理 • 1．函数的奇偶性
奇偶 性
基础诊断
考点突破
课堂总结
【训练 2】 (2014·南通模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且是以 2 为周期的周期函数．若当 x∈[0,1)时，f(x)＝2x－1，则
f(log16)的值为________．
2
解析 ∵f(x)是周期为 2 的奇函数．
∴f(log16)＝f
2
log1
2
法二 易知 f(x)的定义域为 R. ∵f(－x)＋f(x)＝log2[－x＋ －x2＋1]＋ log2(x＋ x2＋1)＝log21＝0，即 f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)为奇函数． 对于 g(x)，由|x－2|＞0，得 x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}． ∵g(x)的定义域关于原点不对称， ∴g(x)为非奇非偶函数． 答案 (1)① (2)奇 非奇非偶
高考数学一轮复习 第二章第三节 函数的奇偶性及周期性 文 湘教版
第三节
函数的奇偶性及周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性 偶函数
定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函
图像特点 关于 y轴 对称
奇函数
数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那 么函数f(x)是奇函数
关于原点 对称
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵函数f(x)＝
3－2x ＋
2x－3
的定义域为
3 2
，不
关于坐标原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵f(x)的定义域为R， ∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (4)∵由4|x－＋x32|≥－03，≠0， 得－2≤x≤2且x≠0. ∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f(x)＝|x＋4－3|－x23＝x＋4－3－x23＝ 4－x x2， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点 对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0， 故f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝ x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
[类题通法]
判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质，具体 如下：
[解] (2)∵f(x)的定义域为[－2,2]，
函数的奇偶性及周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性 偶函数
定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函
图像特点 关于 y轴 对称
奇函数
数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那 么函数f(x)是奇函数
关于原点 对称
∴f(x)的定义域为{－1,1}．
又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，
即f(x)＝±f(－x)．
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)∵函数f(x)＝
3－2x ＋
2x－3
的定义域为
3 2
，不
关于坐标原点对称，
∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(3)∵f(x)的定义域为R， ∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (4)∵由4|x－＋x32|≥－03，≠0， 得－2≤x≤2且x≠0. ∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f(x)＝|x＋4－3|－x23＝x＋4－3－x23＝ 4－x x2， ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点 对称，又当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，－x>0， 故f(－x)＝x2－x＝f(x)； 当x<0时，f(x)＝x2－x，则当x>0时，－x<0，故f(－x)＝ x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．
[类题通法]
判断函数奇偶性除利用定义法和图像法，应学会利用性质，具体 如下：
[解] (2)∵f(x)的定义域为[－2,2]，
【数学】2014年高考数学复习课件：函数的奇偶性与周期性
x＋2 （5）f(x)＝0 －x＋2
(x＜－1) (|x|≤1)的奇偶性. (x＞1)
(5)f(x)为偶函数．
3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]
上的偶函数，那么a＋b的值是
(
)
6.设偶函数f(x)满足
3
f ( x) x 8( x 0),则f ( x 2) 0的解集是
第四节
函数的奇偶性与周期性
考 纲 点 击
1.了解函数的奇偶性的概念，掌握 判断一些简单函数的奇偶性的方 法，并能运用函数的奇偶性解决 一些问题. 2.了解周期函数的意义，并能运用 函数的周期性解决一些问题.
热 点 提 示
1.以选择题或填空题的形式考查奇偶性 在求函数值或函数解析式中的应用. 2.与函数的单调性相结合综合考查函数 的有关性质.
【解析】
由已知，定义在R上的奇函 数f(x)图象一定过原点，又f(x)在[0,2] 区间上为增函数，所以方程f(x)＝m(m ＞0)在[0,2]区间上有且只有一个根， 不妨设为x1；∵f(x1)＝－f(－x1)＝－ [－f(－x1＋4)]＝f(－x1＋4)，∴－x1＋ 4∈[2,4]也是一个根，记为x2，∴x2＝ －x1＋4⇒x1＋x2＝4.
又∵f(x－4)＝－f(x)，∴f(x)是周期为8
的周期函数，∴f(x1－8)＝f(x1)＝m， 不妨将此根记为x3，且x3＝x1－ 8∈[－8，－6]；同理可知x4＝x2－ 8∈[－6，－4]，∴x1＋x2＋x3＋x4＝ x1＋x2＋x1－8＋x2－8＝性的判定方法 (1)根据定义判定，首先看函数的定义 域是否关于原点对称，若不对称则函数是 非奇非偶函数.若对称，再判定f(-x)=f(x)或 f(-x)=-f(x). 有时判定 f(-x)=±f(x) 比较困难， 可 考 虑 判 定 f(-x)±f(x)=0 或 判 定 f(x)/f(x)=±1
2014高考数学一轮复习课件2.3函数的奇偶性与周期性
(2013·福州模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对 任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x －x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)． 【思路点拨】 证明f(x＋4)＝f(x)，进而运用周期性与
移一个单位得到的，而y＝f(x)的图象的对称轴为x＝0. 【答案】 B
3．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，
则f(8)的值为(
A．－1 【解析】
)
B．0 ∵f(x＋4)＝f(x)， C．1 D．2
∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(8)＝f(0)． 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(8)＝f(0)＝0. 【答案】 B
第三节
函数的奇偶性与周期性
1．奇函数、偶函数的定义
奇 偶性 奇函数 偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x
定
义
f(－x)＝－f(x)
f(－x)＝f(x)
都有______________， 都有_____________， 那么函数f(x)是奇函数 那么函数f(x)是偶函数.
2．奇、偶函数的性质
【解析】
依题意b＝0，且2a＝－(a－1)， 1 ∴b＝0且a＝ ， 3 1 则a＋b＝ . 3
【答案】 B
2．已知y＝f(x)是偶函数，则函数y＝f(x＋1)的图象的 对称轴是( ) A．x＝1 B．x＝－1 1 1 C．x＝ D．x＝－ 2 2
【解析】 y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平
4－（－x）2 4－x2 又∵f(－x)＝ ＝－ ＝－f(x)， x －x ∴函数f(x)为奇函数． (2)f(x)的定义域为R，当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝ －(x2＋2)＝－f(x)； 当x＜0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)． 但f(0)＝－2≠0，所以函数f(x)为非奇非偶函数.
高考数学一轮总复习教学课件第二章 函 数第3节 函数的奇偶性、周期性与对称性
5.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+x-1,则函数
f(x)的解析式为
+ -, > 0,
f(x)= , = ,
- + + , < 0
.
解析:设x<0,则-x>0,由题意可知f(-x)=(-x)2-x-1=x2-x-1,
因为f(x)是R上的奇函数,
√
D.1
)
-
f(-x).若 f(- )= ,则 f( )等于(
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A.
B.
C.
√
D.
)
解析:因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x).
又 f(1+x)=f(-x),
所以 f(2+x)=f[1+(1+x)]=f[-(1+x)]=-f(1+x)=-f(-x)=f(x),
所以f(x)=-f(-x)=-x2+x+1,且f(0)=0.
+ -, > 0,
综上所述,f(x)= , = ,
- + + , < 0.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
函数奇偶性的判断
[例1] (多选题)(2024·山东临沂统考一模)已知f(x)=x3g(x)为
==-f(x),
-
所以函数 f(x)为奇函数.
③显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
因为当x<0时,-x>0,
高三数学一轮复习 第2章 第3课时 函数的奇偶性与周期性 文 新人教版A
那么这个最小 正数就叫做 f(x)的最小正周期．
.
教材梳理 基础自测
二、函数的周期性
[自测 4] 已知 f(x)在 R 上满足 f(x＋4)＝f(x)，且为奇函数，当 x∈(0,2]时，
f(x)＝2x2，则 f(2 015)＝__________.
A．－2
B．2
C．－98
D．98
A
.
教材梳理 基础自测
二、函数的周期性
[自测 5] 函数 f(x)＝2x2＋ax＋1 是 R 上的偶函数，则 a＝__________. 0
.
考点突破 题型透析
考点一 判断函数的奇偶性
{关键点1} 定义域关于(0,0)对称是函数有奇偶性的前提 求出函数 f(x)的定义域，判断定义域是否关于原点对称．若定义域不关于 原点对称，则此函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，则继续 进行第(2)步．
.
考点突破 题型透析
考点一 判断函数的奇偶性
1．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝(x＋1)
1－x 1＋x.
(1)要使 f(x)有意义，则11－ ＋xx≥0，
解得－1<x≤1，显然 f(x)的定义域不关于原点对称，
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
.
考点突破 题型透析
考点一 判断函数的奇偶性
上，选 A.
.
教材梳理 基础自测
一、函数的奇偶性
[自测 3] f(x)＝1x－x 的图象关于( )
A．y 轴对称
B．直线 y＝－x 对称
C．坐标原点对称
D．直线 y＝x 对称
C
.
教材梳理 基础自测
二、函数的周期性
1．周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取 定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝ f(x) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期 函数，称 T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数，
.
教材梳理 基础自测
二、函数的周期性
[自测 4] 已知 f(x)在 R 上满足 f(x＋4)＝f(x)，且为奇函数，当 x∈(0,2]时，
f(x)＝2x2，则 f(2 015)＝__________.
A．－2
B．2
C．－98
D．98
A
.
教材梳理 基础自测
二、函数的周期性
[自测 5] 函数 f(x)＝2x2＋ax＋1 是 R 上的偶函数，则 a＝__________. 0
.
考点突破 题型透析
考点一 判断函数的奇偶性
{关键点1} 定义域关于(0,0)对称是函数有奇偶性的前提 求出函数 f(x)的定义域，判断定义域是否关于原点对称．若定义域不关于 原点对称，则此函数为非奇非偶函数；若定义域关于原点对称，则继续 进行第(2)步．
.
考点突破 题型透析
考点一 判断函数的奇偶性
1．判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝(x＋1)
1－x 1＋x.
(1)要使 f(x)有意义，则11－ ＋xx≥0，
解得－1<x≤1，显然 f(x)的定义域不关于原点对称，
∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
.
考点突破 题型透析
考点一 判断函数的奇偶性
上，选 A.
.
教材梳理 基础自测
一、函数的奇偶性
[自测 3] f(x)＝1x－x 的图象关于( )
A．y 轴对称
B．直线 y＝－x 对称
C．坐标原点对称
D．直线 y＝x 对称
C
.
教材梳理 基础自测
二、函数的周期性
1．周期函数：对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取 定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝ f(x) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期 函数，称 T 为这个函数的周期． 2．最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数，
2014一轮复习课件 第2章 第3节 函数的奇偶性与周期性
个周期，∴f(8.5)＝f(0.5)＝9，故应选B.
答案：B
4． (2012· 江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函 ax＋1，－1≤x＜0， 数，在区间[－1,1]上，f(x)＝bx＋2 x＋1 ，0≤x≤1， b∈R.若
1 3 f2＝f2，则
故F(x)为偶函数，即f(x)＋|g(x)|是偶函数．
答案：A
2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函
数，且f(2)＝0，则使得f(x)＜0的取值范围是( A．(－∞，2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) )
B．(2，＋∞) D．(－2,2)
解析：∵f(x)是偶函数且在(－∞，0]
【典例剖析】 (1)(2013· 广州模拟)已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋ b 为偶函数，其定义域为[a－1,2a]，则 f(x)的值域为
4 A.1，9 31 C.1，27 4 B.1，27 24 D.1，27
(2)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x，
解：∵函数 f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ax2＋1 ax2＋1 ax2＋1 即 ＝ ，∴c＝0，即 f(x)＝ bx . －bx＋c －bx－c a＋1 又 f(1)＝2，∴ b ＝2，即 a＋1＝2b.
考纲要求
1.结合具体函数，了解函 数奇偶性的含义． 2.会运用函数图象理解和 研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小 正周期的含义，会判 断、应用简单函数的周 期性.
考情分析
1.本节内容是高考的热点之一， 考查时，常将奇偶性、周期性与 单调性综合在一起．周期与三角 函数结合比较明显，也常出现在 抽象函数中，多为求值问题． 2.题型多以客观题为主，一般为 容易题，但有时难度也会很大.
北师版高考总复习一轮文科数学精品课件 第2章 函数的概念与性质 第3节 函数的奇偶性与周期性
当x=1时,f(1)+g(1)=5,g(1)-f(-3)=7,又f(-3)=f(1),∴g(1)-f(1)=7,∴f(1)=-1,
∴f(-1)=f(1)=-1,∴f(3)=f(-1)=-1.
22
∴ ∑ f(k)=5(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))+f(1)+f(2)=5×(-1-3-1+1)-1-3=-24.
数,故选B.
(方法 2)A
1-(-1)
2
项,f(x-1)-1=1+(-1)-1= -2,故
A 项不符合题意;
B
1-(-1)
2
项,f(x-1)+1=1+(-1)+1= ,故
C
1-(+1)
2
项,f(x+1)-1=1+(+1)-1=+2-2,故
C 项不符合题意;
D
1-(+1)
2
项,f(x+1)+1=
是否成立
图像法
设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+
性质法
奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇
[注意]分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找等式f(-x)=f(x)或
f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有
成为奇、偶函数的必要条件.
微思考2如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,f(0)有什么特点?
提示:f(0)有意义,由奇函数定义,知f(-0)=-f(0),所以一定有f(0)=0.
2.函数的周期性
∴f(-1)=f(1)=-1,∴f(3)=f(-1)=-1.
22
∴ ∑ f(k)=5(f(1)+f(2)+f(3)+f(4))+f(1)+f(2)=5×(-1-3-1+1)-1-3=-24.
数,故选B.
(方法 2)A
1-(-1)
2
项,f(x-1)-1=1+(-1)-1= -2,故
A 项不符合题意;
B
1-(-1)
2
项,f(x-1)+1=1+(-1)+1= ,故
C
1-(+1)
2
项,f(x+1)-1=1+(+1)-1=+2-2,故
C 项不符合题意;
D
1-(+1)
2
项,f(x+1)+1=
是否成立
图像法
设f(x),g(x)的定义域分别是D1,D2,那么在它们的公共定义域上:奇+
性质法
奇=奇,奇×奇=偶,偶+偶=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇
[注意]分段函数奇偶性的判断,要分别从x>0或x<0来寻找等式f(-x)=f(x)或
f(-x)=-f(x)成立,只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有
成为奇、偶函数的必要条件.
微思考2如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,f(0)有什么特点?
提示:f(0)有意义,由奇函数定义,知f(-0)=-f(0),所以一定有f(0)=0.
2.函数的周期性
高三数学一轮复习第二篇函数及其应用第3节函数的奇偶性与周期性课件理ppt版本
知识梳理
1.奇函数、偶函数的概念及图象特征
原点 任意
原点
y轴
2.周期性
(1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义 域内的任何值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么就称函数y=f(x)为周期函数, 称T为这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最小 的正 数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
(2)f(x)=(x+1) 1 x ;x
x
1 x
x2 2,x 0, (3)f(x)=0,x 0,
x2 2,x 0.
解析：(2)由
1 1
x x
0,
得-1<x≤1.
1 x 0,
因为 f(x)的定义域(-1,1]不关于原点对称. 所以 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. 【例 2】 (1)(2016 怀化模拟)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,
x, x,
x x
0, 0.
解析：(2)由
4
x2
0,
得-2≤x≤2 且 x≠0.
x 3 3 0,
所以 f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称.
所以 f(x)=
4 x2 = 4 x2 .
x 3 3
x
所以 f(x)=-f(-x),所以 f(x)是奇函数.
f(x)=2x(1-x),则 f(- 5 )等于( ) 2
(A)- 1 (B)- 1 (C) 1
2
4
4
(D) 1 2
(3)f(x)的定义域为R,关于原点对称, 当x>0时,f(-x)=-(-x)2-2=-(x2+2)=-f(x); 当x<0时,f(-x)=(-x)2+2=-(-x2-2)=-f(x); 当x=0时,f(0)=0,也满足f(-x)=-f(x). 故该函数为奇函数.
高考数学一轮复习第二章函数3函数的奇偶性与周期性课件新人教A版理
项,函数的定义域为 R,f(-x)=2cos(-x)+1=2cos x+1=f(x),故该函数为
偶函数;对于 D 选项,函数的定义域为
R,f(-x)=(-x)2+2-x=x2+2-x≠-f(x),f(-x)≠f(x),故该函数既不是奇函数,也不关闭
A
是偶函数.
解析
答案
-15考点1
考点2
考点3
考点4
f(x)g(x)为奇函数,故A错误;
对于B选项,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)为偶函数,故B错误;
对于C选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x)·
|g(x)|,f(x)|g(x)|为奇函数,故C正确;
对于D选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x)·
g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.
(3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,此时f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).
故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x).即函数f(x)为奇函数.
思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?
-17考点1
考点2
考点3
考点4
解析:(1)当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3x]=-x2-3x,
2 -4 + 3, ≥ 0,
易求得 g(x)= 2
偶函数;对于 D 选项,函数的定义域为
R,f(-x)=(-x)2+2-x=x2+2-x≠-f(x),f(-x)≠f(x),故该函数既不是奇函数,也不关闭
A
是偶函数.
解析
答案
-15考点1
考点2
考点3
考点4
f(x)g(x)为奇函数,故A错误;
对于B选项,|f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x)为偶函数,故B错误;
对于C选项,f(-x)|g(-x)|=-f(x)·
|g(x)|,f(x)|g(x)|为奇函数,故C正确;
对于D选项,|f(-x)g(-x)|=|f(x)·
g(x)|,|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.
(3)函数的定义域为{x|x≠0},关于原点对称.
当x>0时,-x<0,此时f(x)=-x2+x,f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x);
当x<0时,-x>0,此时f(x)=x2+x,f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-(x2+x)=-f(x).
故对于x∈(-∞,0)∪(0,+∞),均有f(-x)=-f(x).即函数f(x)为奇函数.
思考函数的奇偶性有哪几个方面的应用?
-17考点1
考点2
考点3
考点4
解析:(1)当 x<0 时,f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+3x]=-x2-3x,
2 -4 + 3, ≥ 0,
易求得 g(x)= 2
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第二章 第3讲
第20页
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6 由 ( ) 点对称，
1－x2>0 2 |x －2|≠2
可得－1<x<1且x≠0，定义域关于原
lg1－x2 lg1－x2 lg1－x2 这时f(x)＝ 2 ＝ ＝－ x2 ， 2 |x －2|－2 2－x －2 lg1－x2 f(－x)＝－ x2 ＝f(x)，故函数是偶函数．
第二章 第3讲
第25页
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奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在
对称区间上具有相反的单调性，因此，若函数具有奇偶性，研
究单调性或最值或作图象等问题，只需在非负值范围内研究即 可，在负值范围内由对称性可得．
第二章 第3讲
第21页
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(1)判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于
原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要
条件． (2)分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不 可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数 在整个定义域上的奇偶性．
第二章 第3讲
第6页
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课前自主导学
第二章 第3讲
第7页
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1. 函数的奇偶性 奇函数 偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 定义 都有________，那么 都有________，那么 函数f(x)是偶函数 函数f(x)是奇函数 图象 特点 关于______对称 关于______轴对称
4 y＝ 2x－1＋ 1－2x； ( )
第二章 第3讲
第16页
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x2＋2x>0 5 f(x)＝0x＝0 ( ) －x2－2x<0 lg1－x2 6 f(x)＝ 2 ( ) . |x －2|－2
则h(－x)＝f(－x)＋x2，
∴h(－x)＝－h(x)，∴f(－x)＋x2＝－f(x)－x2， ∴f(－1)＋1＝－f(1)－1，∴f(－1)＝－3， ∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
第二章 第3讲
第23页
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得数义为 函定域
1 { 2 }， 关 原 对 不于点
称函是奇偶数 ，数非非函． 5 当x>0时 － x<0，f(x)＝x2＋2， ( ) ， f(－x)＝ (－x)2－2＝ x2－2＝ f(x)； － － － 当x<0时 － x>0，f(x)＝ x2－2， ， － f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝ f(x)； － 当x＝0时 f(－x)＝0＝－f(x)， ， 所 对 x∈R， 有 f(－x)＝ f(x)， 数 奇 数 以 均 － 函是函．
A. (0,3) C. (－∞，0) 答案：C B. (3，＋∞) D. (0，＋∞)
)
第二章 第3讲
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解析：∵f(x＋1)是定义在R上的奇函数，关于(0,0)对称， 向右平移1个单位得到f(x)的图象，关于(1,0)对称，即f(1)＝0，
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第3讲
函数的奇偶性与周期性
第二章 第3讲
第1页
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不同寻常的一本书，不可不读哟！
第二章 第3讲
第2页
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1 1 2 3 提示：a－1＋2a＝0，∴a＝3， ( ) 1 又f(－1)＝f( ，得b＝0，∴a＋b＝3. 1 ) 2. f(x＋T)＝f(x) 最 的 数 小正 填一填：( 1 ) 2 －1 ( ) 最小的正数
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1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2. 会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3. 了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简 单函数的周期性.
第二章 第3讲
第3页
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1个重要规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原
点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2种必会方法 1. 定义法：先求出定义域 ①关于原点对称，判断f(－x)与f(x)的关系得结论； ②不关于原点对称，则不具有奇偶性．
第二章 第3讲
第4页
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第二章 第3讲
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核心要点研究
第二章 第3讲
第15页
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例1
判断下列函数的奇偶性．
3
1 1 f(x)＝x － ； ( ) x 2 f(x)＝x2－x3； ( ) 3 f(x)＝l ( ) o g (x＋ x2＋1)； 2
3
1 1 3 且f(－x)＝(－x) － ＝－x ＋x＝－f(x)， －x 故f(x)是奇函数．
第二章 第3讲
第18页
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2 定域 ( 义是 )
R， 于 点 称 关原对．
又f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3， 因 f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， 此 故f(x)是 奇 偶 数 非非函． 3 定域 ( 义是 ) 且f(－x)＝l o g R， 于 点 称 关原对， (－x＋ x2＋1) 2
第二章 第3讲
第12页
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1. f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 原点 称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 填一填：(1)②③⑤
y
想一想：提示：定义域关于原点对称．定义域关于原点对
第二章 第3讲
2. 图象法：首先作出f(x)的图象 ①关于原点对称，f(x)为奇函数；
②关于y轴对称，f(x)为偶函数；
③既不关于原点，也不关于y轴对称，不具有奇偶性． 3个必记结论 1. 若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a) ＝f(x)，所以f(x)的周期T＝2a.
第二章 第3讲
第8页
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奇偶函数的定义域有什么特点？它是函数具有奇偶性的什
么条件？
第二章 第3讲
第9页
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1 下列函数中，所有奇函数的序号是________． ( ) ①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x； x2＋1 1 3 ③f(x)＝ ；④f(x)＝x ＋1；⑤y＝x＋ . x x 2 已知f(x)数 则 ( ) 的函， a＋b的值________．
又∵任取x1，x2∈R，x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，∴f(x)
在R上单调递减．∵f(1－x)<0＝f(1)，∴1－x>1，∴x<0，∴不 等式f(1－x)<0的解集为(－∞，0).
第二章 第3讲
第28页
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；
第二章 第3讲
第17页
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[审题视点]
先求出函数的定义域，若定义域关于原点对
称，再根据定义研究f(－x)与f(x)的关系，必要时需对解析式进 行化简，分段函数则要分段判断．
[解]
(1)定义域是{x|x∈R，且x≠0}，关于原点对称，
第二章 第3讲
第26页
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[变式探究]
已知函数f(x＋1)是定义在R上的奇函数，若对
于任意给定的不相等的实数 x1 、x2 ，不等式(x1 －x2)·[f(x1)－
f(x2)]<0恒成立，则不等式f(1－x)<0的解集为(
(3)在分析f(－x)与f(x)的关系时，经常需要对f(x)的解析式进
行等价变形．
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6 由 ( ) 点对称，
1－x2>0 2 |x －2|≠2
可得－1<x<1且x≠0，定义域关于原
lg1－x2 lg1－x2 lg1－x2 这时f(x)＝ 2 ＝ ＝－ x2 ， 2 |x －2|－2 2－x －2 lg1－x2 f(－x)＝－ x2 ＝f(x)，故函数是偶函数．
第二章 第3讲
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奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在
对称区间上具有相反的单调性，因此，若函数具有奇偶性，研
究单调性或最值或作图象等问题，只需在非负值范围内研究即 可，在负值范围内由对称性可得．
第二章 第3讲
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(1)判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于
原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要
条件． (2)分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不 可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数 在整个定义域上的奇偶性．
第二章 第3讲
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课前自主导学
第二章 第3讲
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1. 函数的奇偶性 奇函数 偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 定义 都有________，那么 都有________，那么 函数f(x)是偶函数 函数f(x)是奇函数 图象 特点 关于______对称 关于______轴对称
4 y＝ 2x－1＋ 1－2x； ( )
第二章 第3讲
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x2＋2x>0 5 f(x)＝0x＝0 ( ) －x2－2x<0 lg1－x2 6 f(x)＝ 2 ( ) . |x －2|－2
则h(－x)＝f(－x)＋x2，
∴h(－x)＝－h(x)，∴f(－x)＋x2＝－f(x)－x2， ∴f(－1)＋1＝－f(1)－1，∴f(－1)＝－3， ∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.
第二章 第3讲
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得数义为 函定域
1 { 2 }， 关 原 对 不于点
称函是奇偶数 ，数非非函． 5 当x>0时 － x<0，f(x)＝x2＋2， ( ) ， f(－x)＝ (－x)2－2＝ x2－2＝ f(x)； － － － 当x<0时 － x>0，f(x)＝ x2－2， ， － f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝ f(x)； － 当x＝0时 f(－x)＝0＝－f(x)， ， 所 对 x∈R， 有 f(－x)＝ f(x)， 数 奇 数 以 均 － 函是函．
A. (0,3) C. (－∞，0) 答案：C B. (3，＋∞) D. (0，＋∞)
)
第二章 第3讲
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解析：∵f(x＋1)是定义在R上的奇函数，关于(0,0)对称， 向右平移1个单位得到f(x)的图象，关于(1,0)对称，即f(1)＝0，
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第3讲
函数的奇偶性与周期性
第二章 第3讲
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不同寻常的一本书，不可不读哟！
第二章 第3讲
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1 1 2 3 提示：a－1＋2a＝0，∴a＝3， ( ) 1 又f(－1)＝f( ，得b＝0，∴a＋b＝3. 1 ) 2. f(x＋T)＝f(x) 最 的 数 小正 填一填：( 1 ) 2 －1 ( ) 最小的正数
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1. 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2. 会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3. 了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简 单函数的周期性.
第二章 第3讲
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1个重要规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称．函数的定义域关于原
点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2种必会方法 1. 定义法：先求出定义域 ①关于原点对称，判断f(－x)与f(x)的关系得结论； ②不关于原点对称，则不具有奇偶性．
第二章 第3讲
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核心要点研究
第二章 第3讲
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例1
判断下列函数的奇偶性．
3
1 1 f(x)＝x － ； ( ) x 2 f(x)＝x2－x3； ( ) 3 f(x)＝l ( ) o g (x＋ x2＋1)； 2
3
1 1 3 且f(－x)＝(－x) － ＝－x ＋x＝－f(x)， －x 故f(x)是奇函数．
第二章 第3讲
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2 定域 ( 义是 )
R， 于 点 称 关原对．
又f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3， 因 f(－x)≠f(x)，f(－x)≠－f(x)， 此 故f(x)是 奇 偶 数 非非函． 3 定域 ( 义是 ) 且f(－x)＝l o g R， 于 点 称 关原对， (－x＋ x2＋1) 2
第二章 第3讲
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1. f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 原点 称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 填一填：(1)②③⑤
y
想一想：提示：定义域关于原点对称．定义域关于原点对
第二章 第3讲
2. 图象法：首先作出f(x)的图象 ①关于原点对称，f(x)为奇函数；
②关于y轴对称，f(x)为偶函数；
③既不关于原点，也不关于y轴对称，不具有奇偶性． 3个必记结论 1. 若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a) ＝f(x)，所以f(x)的周期T＝2a.
第二章 第3讲
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奇偶函数的定义域有什么特点？它是函数具有奇偶性的什
么条件？
第二章 第3讲
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1 下列函数中，所有奇函数的序号是________． ( ) ①f(x)＝2x4＋3x2；②f(x)＝x3－2x； x2＋1 1 3 ③f(x)＝ ；④f(x)＝x ＋1；⑤y＝x＋ . x x 2 已知f(x)数 则 ( ) 的函， a＋b的值________．
又∵任取x1，x2∈R，x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，∴f(x)
在R上单调递减．∵f(1－x)<0＝f(1)，∴1－x>1，∴x<0，∴不 等式f(1－x)<0的解集为(－∞，0).
第二章 第3讲
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；
第二章 第3讲
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称，再根据定义研究f(－x)与f(x)的关系，必要时需对解析式进 行化简，分段函数则要分段判断．
[解]
(1)定义域是{x|x∈R，且x≠0}，关于原点对称，
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[变式探究]
已知函数f(x＋1)是定义在R上的奇函数，若对
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f(x2)]<0恒成立，则不等式f(1－x)<0的解集为(
(3)在分析f(－x)与f(x)的关系时，经常需要对f(x)的解析式进
行等价变形．