高等教育：误差

高等教育：误差

第_章

隅差的种类及其来源—

楼绝对误差和绝对误差限

………

签相对误差和相对误差限 d有效数字

算法的数值稳定性

§1-1误差的来源

一、描述误差：也称琢说祺差或樓鰹祺爰

在将实际问题归纳为数学问题时,通常总是要加上很多限制总要忽略一些次要因素歩这样建立的“理想化”的数学模型虽然具有精确的外表其实只是客观现象的一种近似而粗糙的描述而这种数学上的近似必然会产生误差》这种误差称为描述误差。

二、观测误差：也称初位镁差

在数学模型的建立时所用的一些初始数据往往都是通过人们的实际观察、测量得来由于受到所用观测仪器、设备精度等因素的限制这些测得的数据都只能是近似的、即存在着误差。这种误差称为观测误差。

三、截断误差

计算时只能完成有限次运算需要对一些无穷计算过程（如微分、积分、无穷级数求和等）进行截断即仅保留无穷过程的前段有限序列而舍弃它的后段。

【例】:求_时有表达式

y2 rn

= 1 + % H …H l+

2 取部分和

r2 r3

^3 M — 1+尤+牙+石

作为八的近似值就有截断误差

p0_

e_ —S3(%)=——_4 ( 0 < 0 < 1)

计算机的数系是有限集不仅无理数e、tt 等不属于计算机数系一些有理数如牛右等也不属于计算机数系常常用计算机数系中和它们比较接近的数来表示它们由此产生的误差称为舍入误差。

※前两种为非过失误差无法避免；后两种为过失误差计算时应尽量避免。

§1-2绝对误差和绝对误差限

定义：假设某一量的准确值是尤其近似值为疋, 则咒与_的差E（%）= _?咒_称为近似值疋的绝对误差简称误差。

【例】：用mm刻度尺量得某型汽缸直径长度为160mm,

假定允许误差为0.5mm,那么便可写成：

D = 160mm ±0.5mm o

它的真正直径长度介于159.5mm与1 60?5itiiti之间。

§1-3相对误差和相对误差限

定义：假设某一量的准确值是_,其近似值为 %_,近似值的绝对误差与准确值的比值

(_)二型二 0 (_#0)

__

称为__的相对误差。

我们不能定出s(_)的准确值只能估计它的范围如果|^r (_) I So我们就把O称为__的相对误差限。

§1-4有效数字

定义：假设某一量的准确值是_,其近似值为__, 如果(_) = | % — %_|<|_ 10~n,

则称_近似表示_的准确到｛、数点后第n位并从这第n位起到第一位非零数字之间的一切数字都称为有效数字并把有效数字的位数称为有效薮［立。

※用四舍JL入试得刘的近紅热都是帝确

【例】设71=3.2415926…,那么

_1 = 3习=0.1515 < 0.5 _ 10°；

衍的有效薮字为丄位或说衍精确到个位；

%2 = 3.14, ￡2 = 0.00159 < 0.5 _ 10-2；

咒2的有效数字为3位或说咒2精确到0.01;

%3 = 3.1416, s3 = 0.0000074 -< 0.5 _ 10~4；兀3的有效数字为5位或说兀3精确到0.0001；

%4 = 3.1415, s4 = 0.0000926 < 0.5 _ 10-3；

兀4的有效数字为4位或说兀3精确到0.001；

§ 1-5算法的数值稳定性

定义:凡一种算法的计算结果受舍入误差的影响小者称它为数值稳定的算法。

【例】解方程_2-(109 + l)_+109 = 0；

解：由韦达定理得此方程的精确解为_i = 109, %2 = 1；

如果利用求根公式兀=“±心

如果利用求根公式兀=

”±心2_仏来编制计算机程序,在字长

为8,基底为10的计算机上进行计算则由于计算机实际上采用的是规格化浮点数的运算这时七的第二项中的最后两位数“01” ,

由于计算机的字长的限制在机器上表示不出来故在计算机对其舍入运算这样算出的根乃=0显然是严重失真的这时如果要提高计算期数值稳定性必须改进算法(利用根与系数的关系式 &;无2書

小结

本章介绍了误差的来源、分类及一些基本概念如绝对误差邙艮）、相对误差邙艮）、有效数字研究了算法的数值稳定性。

在数值计算中应该注意：选用稳定性好的计算公式；简化计算步骤和公式设法减少计算次数；合理安排运算顺序避免大数“淹没” 小数;多个数相乘时其有效数字多者先乘；避免两相近数相减；避免绝对值太小的数作为除数。