2023年北京东城区高三一模数学试题及答案

2023北京东城高三一模

数 学 2023.3

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合22{|}0A x x −=<，且a A ∈，则a 可以为

（A ）2− （B ）1−

（C ）

3

2

（D （2）在复平面内，复数i z

对应的点的坐标是(3,1)−，则z =

（A ）13i + （B ）3i + （C ）3i −+ （D ）13i −−

（3）抛物线2

4x y =的准线方程为

（A ）1x = （B ）1x =− （C ）1y = （D ）1y =−

（4）已知0x >，则4

4x x

−+的最小值为

（A ）2− （B ）0

（C ）1 （D ）

（5）在△ABC 中，a =2c ，1

cos 4

A =−，则ABC S =△

（A （B ）4

（C （D ）（6）设,m n 是两条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，且m α⊂，αβ ，则“m n ⊥”是

“n β⊥”的

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件

（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （7）过坐标原点作曲线2

e

1x y −=+的切线，则切线方程为

（A ）y x = （B ）2y x = （C ）2

1

e y x =

（D ）e y x =

（8）已知正方形ABCD 的边长为 2，P 为正方形ABCD 内部（不含边界）的动点，且满足0PA PB ⋅=，则CP DP ⋅

的取值范围是

（A ）(0,8] （B ）[0,8)

（C ）(0,4] （D ）[0,4)

（9）已知1a ，2a ，3a ，4a ，5a 成等比数列，且1和4为其中的两项，则5a 的最小值为

（A ）64− （B ）8− （C ）

1

64 （D ）18

（10）恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成

就．其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N 的70次方是一个83位数，由下面表格中部分对数的近似值（精确到0.001），可得N 的值为

（C ）15 （D ）16

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分。

（11）函数()ln f x x =的定义域是_______．

（12）在6()a x x

+的展开式中，2

x 的系数为60，则实数a =_______．

（13）已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

−=>>的一个焦点为，且与直线2y x =±没有公共点，则双曲线

的方程可以为_______．

（14）已知数列{}n a 各项均为正数，213a a =，n S 为其前n 项和.若是公差为

1

2

的等差数列，则1a =_______，n a = .

（15）已知函数()sin()(0,0)2

f x x λϕλϕπ

=+><<π的部分图象如图1所示，,A B 分别为图象的最高

点和最低点，过A 作x 轴的垂线，交x 轴于点A ',点C 为该部分图象与x 轴的交点.将绘有该图象的

纸片沿x 轴折成直二面角，如图2所示，此时AB =λ= .

给出下列四个结论：

①3

ϕπ=

； ②图2中，5AB AC ⋅=；

③图2中，过线段AB 的中点且与AB 垂直的平面与x 轴交于点C ；

④图2中，S 是△A BC '及其内部的点构成的集合.设集合{2}T Q S AQ =∈≤，则T 表示的区域

的面积大于

4

π. 其中所有正确结论的序号是 .

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

已知函数()sin sin().3

f x x x π

=++

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期;

（Ⅱ）若6

x π

=

是函数()()y f x f x ϕ=−+(0)ϕ>的一个零点，求ϕ的最小值.

（17）（本小题13分）

甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7

（Ⅱ）从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X 表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X 的分布

列及数学期望EX ；

（Ⅲ）从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y 表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学

期望EY 与（Ⅱ）中EX 的大小．（结论不要求证明）

（18）（本小题15分）

如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，12AA AD ==，1BD 和1B D 交于点E ，F 为AB 的中点. （Ⅰ）求证：EF

平面11ADD A ；

（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

（i ）平面CEF 与平面BCE 的夹角的余弦值； （ii ）点A 到平面CEF 的距离. 条件①：1CE B D ⊥；

条件②：1B D 与平面11BCC B 所成角为4

π. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．