云南省昆明官渡区五校联考2024届八年级数学第二学期期末考试模拟试题含解析

云南省昆明官渡区五校联考2024届八年级数学第二学期期末考试模拟试题
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．实数a、b在数轴上的位置如图，则化简2a﹣2b﹣2
()
a b
-的结果是( )
A．﹣2b B．﹣2a C．2b﹣2a D．0
2．如图，正比例函数
3
2
y x
=的图象与一次函数
33
y x
42
=+的图象交于点A，若点P是直线AB上的一个动点，则
线段OP长的最小值为（）
A．1 B．3
2
C．
6
5
D．2
3．张老师从甲镇去乙村，一开始沿公路乘车，后来沿小路步行到达乙村，下列图中，横轴表示从甲镇出发后的时间，纵轴表示张老师与甲镇的距离，则较符合题意的图形是( )
A．B．
C．D．
4．已知：如图，菱形ABCD 对角线AC 与BD 相交于点O，E 为BC 的中点，AD＝6cm，则OE 的长为（）
A ．6cm
B ．4cm
C ．3cm
D ．2cm
5．如图，若DE 是△ABC 的中位线，△ADE 的周长为1，则△ABC 的周长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．生物刘老师对本班50名学生的血型进行了统计，列出如下统计表，则本班O 型血的有（ ）
A ．17人
B ．15人
C ．13人
D ．5人
8．如图，已知A （2，1），现将A 点绕原点O 逆时针旋转90°得到A1，则A1的坐标是（ ）
A ．（﹣1，2）
B ．（2，﹣1）
C ．（1，﹣2）
D ．（﹣2，1）
9．已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，且满足222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）
A ．等腰三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．不能确定
10．如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x 的取值范围为( )
A ．1x >
B ．17x <
C ．17x <
D ．17x
11．2022年将在北京﹣张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市．某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示：则下列说法中正确的是（ ）
A ．S A 2＞S
B 2，应该选取B 选手参加比赛
B ．S A 2＜S B 2，应该选取A 选手参加比赛
C ．S A 2≥S B 2，应该选取B 选手参加比赛
D ．S A 2≤S B 2，应该选取A 选手参加比赛
12．如图，在正方形ABCD 中，AB =4cm ，动点E 从点A 出发，以1cm/秒的速度沿折线AB —BC 的路径运动，到点C 停止运动．过点E 作 EF ∥BD ，EF 与边AD （或边CD ）交于点F ，EF 的长度y （cm ）与点E 的运动时间x （秒）的函数图象大致是
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．对于一个函数，如果它的自变量 x 与函数值 y 满足：当−1≤x≤1 时，−1≤y≤1，则称这个函数为“闭 函数”.例如：y=x ，y=−x 均是“闭函数”. 已知 y = ax 2+ bx +
c(a ≠0) 是“闭函数”，且抛物线经过点 A(1，−1)和点 B(−1，1)，则 a 的取值范围是______________.
14．如图，直线AB 与坐标轴相交于点A B ，，将AOB ∆沿直线AB 翻折到ACB ∆的位置，当点C 的坐标为(3,3)C 时，直线AB 的函数解析式是_________________．
15．如图所示,△ABC 中,AB=10cm,AC=8cm,∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O,过点O 作BC 的平行线MN 交AB 于点M,交AC 于点N,则△AMN 的周长为____.
16．对于实数x ，我们[x]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[
410
x +]＝5，则x 的取值范围是______．
17．若正比例函数 y = (k -2)x 的图象经过点 A (1, - 3) ， 则k 的值是_____.
18．已知▱ABCD 的两条对角线相交于O ，若∠ABC=120°，AB=BC=4，则OD=______．
三、解答题（共78分） 19．（8分）如图，在△ABC 中，已知AB ＝6，AC ＝10，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，点E 为BC 的中点，求DE 的长．
20．（8分）如图，四边形ABCD 是矩形纸片且6AB =，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，折痕为EF ，展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N 处，折痕BM 与EF 相交于点Q ，再次展开，连接BN ，MN .
（1）连接AN ，求证：ABN ∆是等边三角形；
（2）求AM ，QN 的长；
（3）如图，连接MF 将MDF ∆沿MF 折叠，使点D 落在点G 处，延长MG 交BC 边于点H ，已知1CH =，求AD 的长？
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD 中，AE ＝CF ，求证：四边形BFDE 是平行四边形．
22．（10分）如图，矩形 ABCD 中，AB = 4, BC = 10, E 在 AD 上，连接 BE , CE , 过点 A 作 AG // CE ，分别交 BC , BE 于点 G , F , 连接 DG 交 CE 于点 H .若 AE = 2, 求证：四边形 EFGH 是矩形.
23．（10分）重庆不仅是网红城市，更是拥有长安，力帆等大型车企的一座汽车城，为了更好的推广和销售汽车，每年都会在悦来会展中心举办大型车展．去年该车展期间大众旗下两品牌汽车迈腾和途观L 共计销售240辆，迈腾销售均价为每辆20万元，途观L 销售均价为每辆30万元，两种车型去年车展期间销售额共计5600万元．
（1）这两种车型在去年车展期间各销售了多少辆？
（2）在今年的该车展上，各大汽车经销商纷纷采取降价促销手段，而途观L 坚持不降价，与去年相比，销售均价不变，销量比去年车展期间减少了a%，而迈腾销售均价比去年降低了a%，销量较去年增加了2a%，两种车型今年车展期间销售总额与去年相同，求a 的值．
24．（10分）已知：21a =+，21b =-，求2222a b ab a b +++-的值．
25．（12分）解方程：x 2﹣6x+8＝1．
26．如图，小明为测量一棵树CD 的高度，他在距树20m 处立了一根高为2m 的标杆EF ，然后小明调整自己的位置至AB ，此时他与树相距22m ，他的眼睛、标杆的顶端和树顶端在同一直线上．已知 1.6m AB =，求树的高度．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解题分析】
根据数轴上点的位置关系，可得1＞b ＞0＞a ＞﹣1，根据二次根式的性质，绝对值的性质，可得答案．
【题目详解】
解：由数轴上点的位置关系，得
1＞b ＞0＞a ＞﹣1，
2a 2b ()2a b -
＝﹣a ﹣b ﹣（b ﹣a ）
＝﹣a ﹣b ﹣b +a
＝﹣2b ，
故选：A ．
【题目点拨】
本题考查了实数与数轴，利用数轴上点的位置关系得出1＞b ＞0＞a ＞﹣1是解题关键．
2、C
【解题分析】
根据垂线段最短可知线段OP 的最小值即为点O 到直线AB 的距离，求出交点坐标及线段AB 的长，由三角形面积即能求出点O 到直线AB 的距离.
【题目详解】 解：联立323342y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，解得23x y =⎧⎨=⎩，所以点A 的坐标为（2,3） 令33y x 042
=+=，解得2x =-，所以B （-2,0） 过点A 作AC 垂直于x 轴交于点C,过点O 作OP 垂直于AB ，由垂线段最短可知此时OP 最小，在Rt ABC ∆中，由A 、B 坐标可知3,4AC BC ==，根据勾股定理得5AB =.
1122
ABC S OB AC AB OP ∆== OB AC AB OP ∴=
即23655
OB AC OP AB ⨯===
故答案为：C
【题目点拨】
本题考查了函数解析式，涉及的知识点包括由解析式求点坐标、三角形面积、勾股定理，由垂线段最短确定OP 位置是解题的关键.
3、C
【解题分析】
张老师从甲镇去乙村，一开始沿公路乘车，后来沿小路步行到达乙村，根据题意可知，张老师与甲镇的距离越来越大，而且速度先快后慢.
【题目详解】
根据题意可知，张老师与甲镇的距离越来越大，而且速度先快后慢，所以选项C 比较符合题意.
故选C
【题目点拨】
考核知识点:函数图象的判断.理解题意是关键.
4、C
【解题分析】
根据菱形的性质，各边长都相等，对角线垂直平分，可得点O 是AC 的中点，证明EO 为三角形ABC 的中位线，计算可得．
【题目详解】
解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AO CO =，6AB AD cm ==，
∵E 为BC 的中点，
∴OE 是ABC ∆的中位线， ∴132
OE AB cm ==， 故选：C ．
【题目点拨】
本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握几何图形的性质是解题关键．
5、B
【解题分析】
根据三角形中位线定理得到BC=2DE ，AB=2AD ，AC=2AE ，再通过计算，得到答案．
【题目详解】
∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE=12BC ，AD=12AB ，AE=12
AC ， 即AB=2AD ，BC=2DE ，AC=2AE ，
∵△ADE 的周长= AD+DE+AE=1，
∴△ABC 的周长=AB+BC+AC=2(AD+DE+AE)=2，
故选B ．
【题目点拨】
本题考查的是三角形的中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
6、C
【解题分析】
设每个A 型包装箱可以装书x 本，则每个B 型包装箱可以装书（x +15）本，根据单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个，列方程得：
，故选C. 7、D
【解题分析】
频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率=频数÷总数.
【题目详解】
解：本班O 型血的有：50×0.1=5（人），
故选：D ．
【题目点拨】
本题考查了频率与频数，正确理解频率频数的意义是解题的关键．
8、A
【解题分析】
根据点（x ，y ）绕原点逆时针旋转90°得到的坐标为（-y ，x ）解答即可．
【题目详解】
已知A （2，1），现将A 点绕原点O 逆时针旋转90°得到A 1，
所以A 1的坐标为（﹣1，2）.
故选A.
【题目点拨】
本题考查的是旋转的性质，熟练掌握坐标的旋转是解题的关键.
9、B
【解题分析】
根据完全平方公式把等式进行变形即可求解.
【题目详解】
∵222a b c ab bc ca ++=++
∴2222222220a b c ab bc ca ++---=
则222()()()a b a c b c =0，
故a=b=c ，ABC ∆的形状等边三角形，故选B.
【题目点拨】
此题主要考查完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的变形.
10、C
【解题分析】
输入x ，需要经过两次运算才能输出结果，说明第一次运算的结果为：5x+2＜37，经过第二次运算5（5x+2）+2≥37，两个不等式联立成为不等式组，解之即可．
【题目详解】
解：根据题意得：
5237552237x x +⎧⎨++≥⎩
＜（）， 解得：1≤x ＜7，
即x 的取值范围为：1≤x ＜7，
故选C ．
【题目点拨】
本题考查一元一次不等式组的应用，正确找出等量关系，列出一元一次不等式组是解题的关键．
11、B
【解题分析】
根据方差的定义，方差越小数据越稳定．
【题目详解】
根据统计图可得出：S A 2＜S B 2，
则应该选取A 选手参加比赛；
故选：B ．
【题目点拨】
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
12、A
【解题分析】
动点E 从点A 到点B 运动时，EF 的长度y （cm ）随点E 的运动时间x （秒）的增大而增大，运动到点B 时EF 的长度y 最大，从点B 到点C 运动时，y 随x 的增大而减小，分别列出函数解析式，即可得出结论.
【题目详解】
解：由题可得：动点E 从点A 到点B 运动时，EF 的长度y （cm ）随点E 的运动时间x （秒）的增大而增大，此时，
x ，是正比例函数，
运动到点B 时EF 的长度y 最大，
最大值为 （cm ）,
从点B 到点C 运动时，y 随x 的增大而减小，此时，
)8x =-=+，是一次函数.
故选A.
【题目点拨】
本题考查动点函数图象，分情况列出函数解析式是解题关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、102a <≤或102
a -≤< 【解题分析】 分析：分别把点A 、B 代入函数的解析式，求出a 、
b 、
c 的关系，然后根据抛物线的对称轴x=1=22b a a -
，然后结合图像判断即可.
详解：∵y = ax 2+ bx + c(a ≠0)经过点 A(1，−1)和点 B(−1，1)
∴a+b+c=-1，a-b+c=1
∴a+c=0，b=-1
则抛物线为：y = ax 2+ bx –a
∴对称轴为x=12a
①当a ＜0时，抛物线开口向下，且x=
12a ＜0，如图可知，当12a ≤-1时符合题意，所以102a -≤<；当-1＜12a ＜0时，图像不符合-1≤y≤1的要求，舍去；
②当a ＞0时，抛物线的开口向上，且x=
12a ＞0，由图可知12a ≥1时符合题意，∴0＜a≤12；当0＜12a ＜1时，图像不符合-1≤y≤1的要求，舍去.
综上所述，a 的取值范围是：102a <≤
或102a -≤<. 故答案为102a <≤或102
a -≤<.
点睛：本题考查的是二次函数的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
14、33y x =+．
【解题分析】
首先设A （0，y ）,B （x ,0）进而计算AC 的长度，可列方程求解y 的值，同理计算BC 的长度列出方程即可计算x 的值，进而确定直线AB 的解析式.
【题目详解】
解：设A （0，y ）,B （x ,0）
则AC 2=2(3)9y -
+ ，根据题意OA=AC=y 所以可得22(3)9y y += 解得3
再根据BC 2=2(3)
3x -+ ,根据题意OB=BC=x 所以可得22(3)3x x -+= 解得x=2
所以可得A （0，3）B （2，0） 采用待定系数法可得2320b a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩ 即33
a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 所以一次函数的解析式为323y =-
+ 故答案为323y x =-
+
【题目点拨】
本题主要考查一次函数的解析式求解，关键在于利用直角三角形，求解A 、B 点的坐标.
15、18
【解题分析】
根据角平分线的定义、平行线的性质，及等角对等边可知OM=BM ，ON=CN ，则△AMN 的周长=AB+AC 可求．
【题目详解】
∵∠ABC 和∠ACB 的角平分线交于点O ，
∴∠ABO=∠CBO ，∠ACO=∠BCO ，
∵BC ∥MN ，
∴∠BOM=∠CBO ，∠CON=∠BCO ，
∴∠BOM=∠ABO ，∠CON=∠ACO ，
∴OM=BM ，ON=CN ，
∴△AMN 的周长=AM+AN+MN=AM+OM+AN+NC=AB+AC=18cm.
故答案为：18.
【题目点拨】
此题考查角平分线的定义，平行线分线段成比例，解题关键在于得出OM=BM ，ON=CN.
16、46≤x <1
【解题分析】
分析：根据题意得出5≤410
x +＜6，进而求出x 的取值范围，进而得出答案． 详解：∵[x ]表示不大于x 的最大整数，[410x +]=5，∴5≤410
x +＜6 解得：46≤x ＜1．
故答案为46≤x ＜1．
点睛：本题主要考查了不等式组的解法，得出x 的取值范围是解题的关键．
17、-1
【解题分析】
把A (1, - 3)点代入正比例函数y = (k -2)x 中即可求出k 值.
【题目详解】
∵正比例函数 y = (k -2)x 的图象经过点 A (1, - 3)，
∴3k 21-=-⨯（），解得：k=-1.
故答案为：-1.
【题目点拨】
本题考查了正比例函数上点的特征，正确理解正比例函数上点的特征是解题的关键.
18、1
【解题分析】
根据菱形的判定可得▱ABCD 是菱形，再根据性质求得∠BCO 的度数，可求OB ，进一步求得OD 的长．
【题目详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AB=BC=4，
∴▱ABCD是菱形，
∵∠ABC=110°，
∴∠BCO=30°，∠BOC=90°，
∴OB=1
2
BC=1，
∴OD=1．
故答案为：1．
【题目点拨】
本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的性质、30度角所对的直角边等于斜边的一半，解决问题的关键是掌握：菱形的对角线平分每一组对角．
三、解答题（共78分）
19、2.
【解题分析】
试题分析：延长BD与AC相交于点F，根据等腰三角形的性质可得BD=DF，再利用三角形的中位线平行于第三边并
且等于第三边的一半可得DE=1
2
CF，然后求解即可．
试题解析:如图，延长BD交AC于点F，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠ADF，
又∵AD＝AD，
∴△ADB≌△ADF(ASA)．
∴AF＝AB＝6，BD＝FD.
∵AC＝10，∴CF＝AC－AF＝10－6＝4.
∵E为BC的中点，∴DE是△BCF的中位线．
∴DE＝1
2
CF＝
1
2
×4＝2.
20、（1）见解析；（2）3QN =（3）923AD =+【解题分析】
（1）由折叠知11BE AB BN 22
==，据此得∠ENB=30°，∠ABN=60°，结合AB=BN 即可得证； （2）由（1）得∠ABN=60°，由AB 折叠到BN 知∠ABM=30°，结合AB=6得AM 233
==EQ 为△ABM 的中位线得1EQ AM 32
==，再求出EN=33QN=EN-EQ 可得答案； （3）连接FH ，MK ⊥BC ，证Rt △FGH ≌Rt △FCH 得GH=CH=1，设MD=x ，知MG=x ，
MH=x+1，KH=MD-CH=x-1，在Rt △MKH 中，根据MK 2+KH 2=MH 2可求出x 的值，继而得出答案．
【题目详解】
解：（1）AD 与BC 重合后，折痕为EF ，
1122
BE AB BN ∴==， 30ENB ∴∠=︒，
60ABN ∴∠=︒.
AB BN =，
ABN ∴∆为等边三角形.
（2）由（1）得60ABN ∠=︒， AB 折叠到BN ，
30ABM ∴∠=︒.
6AB =,
233
AM ∴==E 为AB 的中点且//EQ AM ，
EQ ∴为ABM ∆的中位线.
132
EQ AM ∴==132
BE AB ==，60ABN ∠=︒，33EN ∴=
23QN EN EQ ∴=-=.
（3）连接FH ，过点M 作MK BC ⊥于点K .
DF 折叠到FG ，
3DF FG FC ∴===，
90HGF D C ∠=∠=∠=︒，
又FH FH =，
()FGH FCG HL ∴∆≅∆.
1GH CG ∴==.设MD x =，
MG x ∴=，
1MH x ∴=+.
1KH MD CH x ∴=-=-
在Rt MKH ∆中，222MK KH MH +=，()()22
2611x x +-=+，解得9x =，923AD DM AM ∴=+=+. 【题目点拨】
本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、折叠的性质、等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点．
21、证明见解析．
【解题分析】
首先根据四边形ABCD 是平行四边形，判断出AB//CD ，且AB=CD ，然后根据AE=CF ，判断出BE=DF ，即可推得四边形BFDE 是平行四边形．
【题目详解】
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，且AB ＝CD ，
又∵AE ＝CF ，
∴BE ＝DF ，
∴BE ∥DF 且BE ＝DF ，
∴四边形BFDE 是平行四边形．
【题目点拨】
本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质定理是解题的关键.
22、证明见解析.
【解题分析】
根据四边形是矩形以及，得到四边形是平行四边形，从而得到四边形是平行四边形，即可得到四边形是平行四边形，再根据勾股定理求出，长，由勾股定理的逆定理得到是直角三角形，即可得正.
【题目详解】
四边形是矩形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
四边形是矩形.
【题目点拨】
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是掌握这些性质.
23、（1）去年车展期间迈腾销售了160辆，途观L销售了80辆；（2）a的值为12.1．
【解题分析】
（1）设去年车展期间迈腾销售了x辆，途观L销售了y辆，然后根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据题意，分别利用销售额=销售单价×销售量计算出迈腾和途观今年的销售额，然后列出方程，解方程即可．【题目详解】
（1）设去年车展期间迈腾销售了x 辆，途观L 销售了y 辆，
依题意得：24020305600x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得16080x y =⎧⎨=⎩
， 答：去年车展期间迈腾销售了160辆，途观L 销售了80辆．
（2）依题意，得：20（1﹣a%）×160（1+2a%）+30×80（1﹣a%）＝1600，
整理得：8a ﹣0.64a 2＝0，
解得：a 1＝12.1，a 2＝0（舍去）．
答：a 的值为12.1．
【题目点拨】
本题主要考查二元一次方程组的应用及一元一次方程的应用，读懂题意列出方程及方程组是解题的关键．
24、3
【解题分析】
直接将,a b 代入求值比较麻烦，因此，可将原式化为含有,a b ab -的式子，再计算出 ,a b ab -的值代入即可.
【题目详解】
解：∵1a =，1b =，∴2a b -=，1ab =．
∴原式22()32()231223a b ab a b =-++-=+⨯-⨯=．
【题目点拨】
本题考查了乘法公式，灵活应用乘法公式将整式变形是解题的关键.
25、x 1＝2 x 2＝2．
【解题分析】
应用因式分解法解答即可.
【题目详解】
解：x 2﹣6x+8＝1
（x ﹣2）（x ﹣2）＝1，
∴x ﹣2＝1或x ﹣2＝1，
∴x 1＝2 x 2＝2．
【题目点拨】
本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，解答关键是根据方程特点进行因式分解.
26、6
【解题分析】
过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，判断△AEM∽△ACN，利用对应边成比例求出CN，继而得到树的高度．【题目详解】
解：过点A作AN∥BD交CD于N，交EF于M，
∵人、标杆、树都垂直于地面，
∴∠ABF＝∠EFD＝∠CDF＝90°，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠EMA＝∠CNA，
∵∠EAM＝∠CAN，
∴△AEM∽△ACN，
∴EM AM CN AN
=，
∵AB＝1.6m，EF＝2m，BD＝22m，FD＝20m，
∴2 1.62220
22
CN
--
=，
解得：CN＝4.4m，
则树的高度为4.4+1.6＝6m．
【题目点拨】
本题考查了相似三角形的应用，解答本题的关键是作出辅助线，构造相似三角形，注意掌握相似三角形的性质：对应边成比例．。