2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(A卷)理科数学

2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(A 卷)
理科数学
本试卷共7页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2.考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．
3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{|ln 0},{|0}A x x B x x =<=<，则
A.A B =∅
B.{|0}A B x x =<
C.R A B =
D.{|1}
A B x x => 2.设R a ∈,则“0≤a ”是“复数i i a z 3-=在复平面内对应的点在第二象限”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.执行如图所示的程序框图，则输出k 的值为
A.4
B.5
C.6
D.7
4.若)N ()2
(*3∈-n x x n 展开式的二项式系数和
为32，则其展开式的常数项为
A.80
B.-80
C.160
D.-160
5.已知βααβα、,1010
)sin(,55
2sin -=-=均为锐角，则角β等于
A.125π
B.3π
C.4π
D.6
π
6.某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
7.设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若0,01413<>S S ,则n
S 取最大值时n 的值为
A.6
B.7
C.8
D.13
8.设函数)(x f 满足)1()1(x f x f -=+，且)(x f 是),1[+∞上的增函数，则),6.0(32
f a =),7.0(32f b =)7.0(3
1f c =的大小关系是A．a b c >>B．b a c >>C．a c b >>D．c b a
>>9.函数)0)(2sin(2)(πϕϕ<<+=x x f 的图像向左平移12
π个单位后得到函数)(x g y =的图像，若)(x g 的图像关于直线4x π=对称，则)(x g 在,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是
A.1-
B.23
- C.2- D.3
-10.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，若12A A AB ==，当堑堵111ABC A B C -的侧面积最大时，阳
马11B A ACC -的体积为A.34 B.38 C.4 D.
33411.已知21,F F 分别是双曲线E ：22
221x y a b
-=)0,0(>>b a 的左、右焦点，若E 上存在一点P 使得b PF PF =+||21，则E 的离心率的取值范围是A.),25[+∞ B.]25,1( C.),5[+∞ D.]
5,1(12.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且满足2,02,()2,2,x x x x f x x x e
⎧-≤<⎪=⎨-≥⎪⎩若函数
()()F x f x m =-有六个零点，则实数m 的取值范围是
A.)41,1(3e -
B.)41,0()0,1(3 e -
C.]0,1(3
e - D.)0,1(3e -二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量,a b
，若1,2,a b a b ==+= ||-=.
14.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+,033,01,01y x y x y x 则2+=x y z 的取值范围是.
15.抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，直线2y =与y 轴的交点为M ，与抛物线的交点为N ，且4||5||NF MN =，则p 的值为.
16.在平面四边形ABCD 中，CD AD AC AB ⊥⊥,,,8,3==AC AB 则BD 的最大值为.
三、解答题：共70分。

解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题60分。

17.（12分）
已知正项数列}{n a 的前n 项和为n S ，且44)1(2+=+n n S a ,等比数列}{n b 的首项为1，公比为)1(≠q q ，且321,2,3b b b 成等差数列.
(1)求}{n a 的通项公式；
(2)求数列}{n n b a 的前n 项和n T .
18.（12分）
如图，三棱柱111C B A ABC -的侧面B B AA 11是菱形，平面C C AA 11⊥平面B B AA 11，直线AB 与平面C C AA 11所成角为,3
π22,11==⊥AC AA AA AC ,O 为1AA 的中点.
(1)求证：1BC OC ⊥;
(2)求二面角1B BC O --的余弦值．
19.（12分）
某企业有A，B 两个分厂生产某种产品，规定该产品的某项质量指标值不低于130的为优质品.分别从A，B 两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值，得到如下频率分布直方图：
(1)根据频率分布直方图，分别求出A 分厂的质量指标值的众数和中位数的估计值；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为这两个分厂的产品质量有差异?
（3)(i)从B 分厂所抽取的100件产品中，依据产品是否为优质品，采用分层
抽样的方法抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取2件，已知
抽到一件产品是优质品的条件下，求抽取的两件产品都是优质品的概
率；
(ii)将频率视为概率，从B 分厂中随机抽取10件该产品，记抽到优质品的件数为X，求X 的数学期望.附：))()()(()(22
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
20.（12分）
在平面直角坐标系xOy 中，圆P F F y x O ),0,3(),0,3(,4:2122-=+为平面内一动点，若以线段2PF 为直径的圆与圆O 相切.
(1)证明||||21PF PF +为定值,并写出点P 的轨迹方程；
(2)设点P 的轨迹为曲线C ,直线l 过1F 交C 于,A B 两点,过1F 且与l 垂直的直线与C 交于,M N 两点,求四边形AMBN 面积的取值范围.
21.（12分）
已知函数x x x p ln )(=,x a ax x q )1(2
1)(22+-=.(1)讨论函数)()()(x p ax x q x f ⋅+=的单调性；
(2)是否存在Z k ∈，使得2)(+>x p kx 对任意0x >恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由.
（二）选考题:共10分。

请考生在第22、23两题中任选一题作答。

如果多做,则
按所做第一题计分。

22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系xOy 中,曲线1C 过点(0,1)P -，其参数方程为⎩⎨⎧+-==t
y t x 31,
(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲
线2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=.
(1)求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
(2)若曲线1C 与2C 相交于,A B 两点,求11
PA PB +的值.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数)2(|||2|)(->-++=a a x x x f ,不等式7)(≥x f 的解集
为(,3][4,)-∞-+∞ .
(1)求a 的值；
(2)若()f x x m ≥+,求m 的取值范围.
2018年莆田市高中毕业班第二次质量检测试卷(A 卷)
理科数学参考答案及评分细则
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。

2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分。

一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分60分。

（1）A （2）B （3）C （4）B （5）C （6）C
（7）B （8）A （9）D （10）A （11）C （12）D
二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。

每小题5分，满分20分。

（13）7（14）]4
3,0[（15）1（16）9三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.本小题主要考查利用n a 与n S 的递推关系求数列的通项公式以及错位相减法求和,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、转化与化归思想等.满分12分.解：（1）当1n =时，44441211121+=+=++a S a a ，
即0)1)(3(3211121=+-=--a a a a ,
因为0n a >，所以1a =3，………………………………………………1分
当2n ≥时，112124422----=--+n n n n n n S S a a a a ，……………………2分
即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，…………………………………3分
因为0n a >，所以1n n a a --=2，
所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列，…………………4分
所以12)1(23)1(1+=-+=-+=n n d n a a n ,……………………………5分
(2)因为数列}{n b 首项为1，公比为q 的等比数列，321,2,3b b b 成等差数列所以31234b b b +=，即234q q +=,所以0)1)(3(=--q q ,
又因为1≠q ，所以3=q ,……………………………………………6分
所以1113--==n n n q b b ,…………………………………………………7分
则13)12(-⋅+=n n n n b a ,…………………………………………………8分
11022113)12(3533-⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++=n n n n n b a b a b a T ,……①
则n n n n n T 3)12(3)12(35333121⨯++⨯-+⋅⋅⋅+⨯+⨯=-,……②
由①-②得n n n n T 3)12()333(232121⨯+-+⋅⋅⋅+++=--,………………9分
n n n n n 3)2(3)12(1
3)13(3231⨯-=⨯+---⨯+=-,…………………………11分所以n n n T 3⋅=.…………………………………………………………12分
18.本小题主要考查直线与平面的位置关系、线面角、二面角、空间向量等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分12分．
解:(1)如图所示，连接1OC ，B A 1,在矩形C C AA 11中，221==AC AA ,O 为1AA 的中点,所以1OC OC ⊥,……………………………1分
又因为平面C C AA 11⊥平面B B AA 11，
所以直线AB 在平面C C AA 11上的射影是直线1AA ,
所以直线AB 与平面C C AA 11所成角为1BAA ∠，
因为直线AB 与平面C C AA 11所成角为
,3π即3
1π=∠BAA ,………………………………………2分所以B AA 1∆为正三角形，又O 为1AA 的中点，
则1AA OB ⊥,…………………………………………3分
又平面C C AA 11⊥平面B B AA 11，平面 C C AA 11平面111AA B B AA =,
B B AA OB 11平面⊂，所以OB ⊥平面
C C AA 11,……4分
又⊂OC 平面C C AA 11，所以OC OB ⊥，且O OC OB =1 ,
所以⊥OC 平面1BOC ,………………………………5分
又因为11BOC BC 平面⊂,
所以1BC OC ⊥.………………………………………6分
(2)设E 为1CC 中点，则1AA OE ⊥，所以OE OB OA ,,两两互相垂直,
以O 为原点，分别以,,为轴轴、轴、z y x 的正方向,建立空间直角坐标系，如图,………………………………………………………………7分则)0,3,0(),1,0,1(),1,0,1(1B C C -，
),0,0,2(),13,1(),03,0(),1,0,1(1-=--===CC …………8分
设平面OBC 的一个法向量为),,(1z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,011OC n OB n 即⎩⎨⎧=+=,
0,03z x y 令1=x ，得)1,0,1(1-=n ,………………………………………………9分
同理可求平面1BCC 的一个法向量为3,1,0(2=n ,…………………10分
462
23||||,cos 212
121-=⨯-=>=<n n n n n n ,………………………………11分由图知二面角1B BC O --为锐二面角，
所以二面角1B BC O --的余弦值为4
6.……………………………12分19.本小题主要考查频率分布直方图、统计量、随机变量的分布列、数学期望等基
础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、或然与必然思想等．满分12分．
解:(1)A 分厂的质量指标值的众数的估计值为115)120110(2
1=+………1分设A 分厂的质量指标值的中位数的估计值为x ，
则5.0030.0)110(23.018.0=⨯-++x 解得113=x …………………………2分
(2)2×2列联表：
…………………………………………3分
由列联表可知K 2
的观测值为:
635.6286.1077217525100100)2095805(200))()()(()(222
>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K ……………………………5分
所以有99%的把握认为两个分厂的产品质量有差异.……………………6分
(3)(i)依题意，B 厂的100个样本产品利用分层抽样的方法抽出10件产品中，优
质品有2件，非优质品有8件，…………………………7分
设“从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品”为事件M ，“从这10件产品中随机抽取2件，抽取的两件产品都是优质品”为事件N ,则17
1)|(18122222=+=C C C C M N P ,所以已知抽到一件产品是优质品的条件下，抽取的两件产品都是优质品的概率是17
1；………………9分(ii)用频率估计概率，从B 分厂所有产品中任取一件产品是优质品的概率为0.20，所以随机变量X 服从二项分布，即X～B(10,0.20)，……10分
则E(x)=10×0.20=2.…………………………………12分
20.本小题主要考查曲线与方程、椭圆标准方程及其性质、直线与圆锥曲线及圆与圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等．满分12分
解(1)设2PF 的中点为G ，连接OG PF ,1，
在21F PF ∆中，G O ,分别为221,PF F F 的中点，所以||21||1PF OG =
,又圆O 与动圆相切，则||212||2PF OG -=，所以||212||2121PF PF -=,……1分即4||||21=+PF PF 为定值，………………………………………………2分32||4||||2121=>=+F F PF PF ,
所以点P 的轨迹是以21,F F 为焦点的椭圆，……………………………3分设椭圆方程为)0(122
22>>=+b a b
y a x ,则1,3,2===b c a ,所以点P 的轨迹方程为14
22
=+y x .……………4分（2）(法一)①当直线l 的斜率不存在时，
不妨设11(),(M(2,0),(2,0)22A B N --，则4||,1||==MN AB ，
四边形AMBN 面积2||||2
1
==
MN AB S ;②当直线l 的斜率为0时,同理可得四边形AMBN 面积2=S ;…………5分③当直线l 的斜率存在且不为0时,
可设直线l
的方程为(y k x =+设),(),,(2211y x B y x A ,
联立22
(440,y k x x y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩
得2222
(14)1240k x x k +++-=， (6)
分22121222124,,
1414k x x x x k k --+==++ (7)
分
2122
4(1)
|||14k AB x x k
+=-=+，同理22221
4[()1)]
4(1)|MN |,144(1k k k k
-++=
=+-+……………………………………8分四边形AMBN 面积)14)(4()1(8||||21222
2+++=⋅=k k k MN AB S ，………………9分
设112>=+t k ，
则()))1,0(1(4998994834)3(8)(2222∈++-=-+=-+=
t
t t t t t t t t t S ，…………10分所以
225
32
<≤S ；…………………………………………………………11分综上所述,四边形AMBN 面积的取值范围是]2,2532
[.…………………12分
(法二)①当x AB ⊥轴时，不妨设2
1
3(21,3(---B A ，则4||,1||==MN AB ，
四边形AMBN 面积2||||2
1
==MN AB S ，
②当y AB ⊥轴时,同理可得四边形AMBN 面积2=S .………………………5分③当直线AB 不垂直坐标轴时,
设AB 方程为)0(3≠-=m my x ，),(),,(2211y x B y x A ,
联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=0
4432
2y x my x 得0132)4(2
2=--+my y m ，………………………6分
,4
1
,4322
21221+-=+=
+m y y m m y y ……………………………………………7分4
)
1(44)(1||1||22212
212
212
++=
-++=-+=m m y y y y m
y y m AB ，同理14)1(44)1()]
1)1[(4|MN |2
222
++=+-+-
=m m m
m ，…………………………………8分四边形AMBN 面积)14)(4()1(8||||212
22
2+++=⋅=m m m MN AB S ，………………9分设112>=+t m ，
则()))1,0(1(4998994834)3(8)(2222∈++-=-+=-+=
t
t t t t t t t t t S ，……………10分所以
225
32
<≤S ；……………………………………………………………11分综上所述,四边形AMBN 面积的取值范围是]2,25
32
[.………………………12分
21.本小题主要考查函数的性质及导数的应用等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等．满分12分．
解:（1）由已知得x a x a ax x p ax x q x f ln )1(2
1)()()(22
++-=
⋅+=,)(x f 的定义域为),0(+∞,…………………………………………1分则2
(1)()()(1)a ax x a f x ax a x x --'=-++
=,………………………2分①当0a ≤时，01,01
,0<->>-ax x
a x 所以0)('<x f ,
所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递减;…………………………3分
②当0a >时，令0)('=x f 得a
x 1
=
或a x =,(i)当1(0)a a a =>，1a =即时，所以2
(1)()0(0)x f x x x
-'=
≥>所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;
………………………4分
(ii)当10a a
<
<，即1a >时，在1
(0,a 和(,)a +∞上函数()0f x '>，
在1(,)a a 上函数()0f x '<，所以函数()f x 在1(0,)a
上单调递增，在1(,)a a 上单调
递减，在(,)a +∞上单调递增；……………………………5分(iii)当10a a <<
，即01a <<时，在),0(a 和),1
(+∞a
上函数()0f x '>，在1
,(a
a 上函数()0f x '<，
所以函数()f x 在(0,)a 上单调递增,在1
(,)a a
上单调递减,
在1
(,)a
+∞上单调递增.……………………………………………6分
(2)若2)(+>x p kx 对任意0x >恒成立，则2ln 2
x k x x
>+，
记2ln 2
()x g x x x
=+，只需max ()k g x >.
又323
12ln 2122ln '()x x x
g x x x x
---=-=，记()122ln h x x x =--，则2
'()20h x x
=--<，
所以()h x 在(0,)+∞上单调递减.………………………………………7分
又(1)10h =-<，0ln 916
ln 43ln 22143(>-=--=e h ,
所以存在唯一),1,4
3
(∈o x 使得0()0h x =，即00122ln 0x x --=，……9分
当0x >时，(),'(),()h x g x g x 的变化情况如下：
x
0(0,)x 0x 0(,)
x +∞()h x ＋0－'()g x ＋0－()
g x ↗
极大值
↘
所以00
max 02
2ln ()()x x g x g x x +==
，又因为00122ln 0x x --=，所以0022ln 1x x +=，
所以20000022
0000
(22ln )212111
()()222x x x x g x x x x x +++===⋅+，………………10分因为),1,43(∈o x 所以3
4
,1(1∈o x ，所以920)(23<<o x g ，
又max ()(1)2g x g ≥=，所以9
20
)(2<
≤o x g ，……………………………11分因为max ()k g x >，即0()k g x >，且k ∈Z，故k 的最小整数值为3.
所以存在最小整数3k =，使得2)(+>x p kx 对任意0x >恒成立.……12分
22.本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想等．满分10分.
解：(1)由,
(13,x t t y t =⎧⎪⎨
=-+⎪⎩
为参数），可得1C 310y --=，…………………………2分又2C 的极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=，
即222cos 4cos 0ρθρθρ+-=,……………………………………3分所以2C 的直角坐标方程为24y x =.………………………………5分
(2)1C 的参数方程可化为1,2(31,2
x t t y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=-+⎪⎩为参数），……………6分
代入2C 得：234(23)40t t -++=，……………………………7分设,A B 对应的直线1C 的参数分别为1t ，2t ，
124(23)t t ++，124
3t t =，所以10t >，20t >，…………………8分
所以121212
1111t t PA PB t t t t ++=+=4(23)
32343+=
=.
………………10分23.本小题主要考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，
考查数形结合思想、化归与转化思想等．满分10分.解：(1)依题意得
22,2,()2,2,22,,x a x f x a x a x a x a -+-≤-⎧⎪
=+-<<⎨⎪-+≥⎩
，……………………2分
作出函数()y f x =的草图（如右图）……………3分又不等式()7f x ≥的解集为(,3][4,)-∞-+∞ ，
故(3)47,(4)107,
f a f a -=+=⎧⎨=-=⎩………………………………4分所以3a =……………………………………………5分
(2)由(1)得,21,2,()5,23,21,3,x x f x x x x -+≤-⎧⎪
=-<<⎨⎪-≥⎩
如图所示，………7分
当直线y x m =+过图中的点(3,5)A 时,2m 的最大值为，……8分由图象可知，当2m ≤时，()f x x m ≥+恒成立……………9分所以m 的取值范围为(,2]-∞.……………………………10分。