福建省武平县第一中学2016届高三数学上学期周考试题实验班10.14

高三实验班数学周考试卷2015-10-14
班级___________ 座号_____________ 姓名____________
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．下列四个函数中,与y x =表示同一函数的是（ ）
A ．2
)(x y = B ．x
x y 2
= C ．2x y = D ． 33x y =
2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．
是（ ） A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数是偶数 D ．存在一个能被2整除的数不是偶数
3．已知集合{}m A ,1,0=，02B x x {|}=<<，若{
}m B A ,1=⋂，则m 的取值范围是（ ) A ．01(,) B ．12(,) C ．0112(,)
(,) D ．02(,)
4．设357log 6,log 10,log 14a b c ===,则（ ）
A ．c>b>a
B ．b>c>a
C ．a>c>b
D ．a>b>c
5．定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)()f x f x +=，当01x <≤时，()2x
f x =，则f (2015)=（ ）A ．2 B ．2- C ．12- D ．12
6．函数y ＝ln 1|2x －3|
的图像为( )
7．方程21
log x x
=的实根所在区间为( ) A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,
0 B. ⎪⎭
⎫ ⎝⎛1,21 C.()2,1 D. ()3,2 8． “2a =” 是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
9．给出下列命题：
①在区间(0,)+∞上，函数1
y x -=,1
2
y x =,2(1)y x =-, 3y x =中有三个是增函数； ②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；
③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称； ④若函数()323x
f x x =--，则方程()0f x =有2个实数根。

其中假命题．．．
的个数为 （ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10. 已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，当2>x 时，)(x f 单调递增，如果421<+x x 且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值 （ ） A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．等于0 D ．可正可负也可能为0 11.定义在R 上的函数()f x 满足'()1()f x f x >-，其中'()f x 是()f x 的导函数，e 为自然对数的底数，则下列正确的是( )
A.22(1)(2)ef e e f e ->-
B.2015201520162016(2015)(2016)e f e e f e ->-
C.22(2)(1)e f e ef e +>+
D.2016201620152015(2016)(2015)e f e e f e +<+
12.已知定义在R 上的函数()y f x =是偶函数，当0x ≥时，2sin , 0 1 2
()13() , 122
x x x f x x π⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关
于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈），有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范
围是( ) A.3(4,)2-- B.7(4,)2-- C.773(4,)(,)222
---- D.73
(,)22--
11.定义在R 上的函数()f x 满足'()1()f x f x >-，其中'()f x 是()f x 的导函数，e 为自然对数的底数，则下列正确的是( )
A.22(1)(2)ef e e f e ->-
B.2015201520162016(2015)(2016)e f e e f e ->-
C.22(2)(1)e f e ef e +>+
D.2016201620152015(2016)(2015)e f e e f e +<+
12.已知定义在R 上的函数()y f x =是偶函数，当0x ≥时，2sin , 0 1 2
()13() , 122
x x x f x x π⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关
于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈），有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范
围是( ) A.3(4,)2-- B.7(4,)2-- C.773(4,)(,)222---- D.73
(,)22--
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其图像是一条连续不断的曲线，且
11
()()22
f x f x +=-，则(2016)f =_________.
14.在正方形ABCD 中，M 是BD 的中点，且AM mAB nAD =+(,)m n R ∈，函数()1x f x e ax =-+的图象为曲线Γ，若曲线Γ存在与直线()y m n x =+垂直的切线（e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是__________.
15.等比数列{}n a 中，1a 、5a 是关于x 方程20x bx c -+=的两个根，其中点(,)c b 在直线
1y x =+上，且c =
3
2
t dt ⎰，则3
a
的值是_______.
16.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点.以A 为圆心，
AE 为半径，作弧交AD 于点F.若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD ⋅的
最小值为__________.
三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）已知命题p ：f(x)=1-a·3x
在x ∈(-∞,0］上有意义，命题q ：存
在0R x ∈，使得2
00(1)10
x a x +-+<，
若“p 或q”为真命题，求实数a 的取值范围。

18．（本小题满分12分）已知函数23()log (23)f x ax x =++,a R ∈.
(1)若()f x 的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若()f x 的值域为R ,求实数a 的取值范围.
19．（本小题共12分）设函数()()()101x x f x a k a a a -=-->≠且是定义域为R 的奇函数.
(1)求k 值; (2)若()3
12
f =
,且()()222x x g x a a mf x -=+-在[)1,+∞上的最小值为2-,求m 的值. 20．（本小题共12分）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间(]1,1-上，
01211(),201
x x x f x ax x <<≤≤+-⎧⎪
=+⎨⎪+⎩，
，其中常数a ∈R , 且
13.22f f ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(1) 求a 的值；
（2）设函数()()()g x f x f x =+-,[21][12].x ∈--，，
①求证：()g x 是偶函数；
②求函数()g x 的值域.
21．（本小题满分12分）已知函数2
()(2)ln ,f x x a x a x =-++其中常数0a >.
（1）当2a >时，求函数()f x 的单调递增区间；
（2）当4a =时，若函数()y f x m =-有三个不同的零点，求m 的取值范围； （3）设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:(),l y g x =当
0x x ≠时，若
()()
0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y h x =的“类对称点”，
请你探究当4a =时，函数()y f x =是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由.
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为sin 2ρθ=，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足||||4OP OM ⋅=，记点P 的轨迹为C 2． （1）求曲线C 2的极坐标方程； （2）求曲线C 2上的点到直线cos()4
π
ρθ+2=的距离的最大值．
23(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()|2||23|f x x a x =-++()|1|2g x x =-+. （1）解不等式|()|5g x <；
（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.
高三实验班数学周考试卷答案:2015-10-14
一、选择题 DDCD BACA ABBC
12.解:()f x 的图像如图所示，(,1),(0,1)
,(1,0),(1,)-∞--+∞，
当1x =±时，()f x 的最大值是2,；当0x =时，()f x 的最小值是0，
32x =
是部分图像的渐近线.设()t f x =，依题意，符合题意有两种情况：(1)12,t =23(,2)2
t ∈，此时127
(,4)2a t t -=+∈，则7(4,)2
a ∈--；
(2)13(0,]2t ∈，23(,2)2t ∈，此时1237(,)22a t t -=+∈，则73(,)22
a ∈--；
综上，7
73
(4,)
(,)222
a ∈----，选C. 二、13.0 14. (1,)+∞ 15.3 16. 525-
16.解:以点A 为坐标原点，建立如图的平面直角坐标系，则)2,2(C ，)2,0(D ， 设)2
0)(sin ,(cos π
θθθ≤
≤P ，∴)sin 2,cos 2(θθ--=PC ，)sin 2,cos (θθ--=PD ，
∴θ
θθθ22sin sin 44cos cos 2+-++-=•PD PC )sin 2(cos 25θθ+-=)sin(525ϕθ+-=（其中5
5
2cos =
ϕ）， ∴当1)sin(=+ϕθ时，PD PC •取得最小值525-.
三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17 a 的取值范围为),3(]1,(+∞⋃-∞………（13分）
18．解:(1)由()f x 的定义域为R ,则2230ax x ++>恒成立, ……………（1分） 若=0a 时,230x +>,3
2
x >-,不合题意; ……………（3分） 所以0a ≠; 由2
2430
a a >⎧⎨
∆=-⋅⋅<⎩得:1
3
a >
. ……………（6分） (2)由()f x 的值域为R ,所以{}
()2
23,0+y y ax x x R =++∈⊇∞，, …………（7分） ①若0a =时,23y x =+可以取遍一切正数,符合题意, ……………（9分）
②若0a ≠时,需2
2430
a a >⎧⎨
∆=-⋅⋅≥⎩,即1
03
a <≤
; ……………（12分） 综上,实数a 的取值范围为103⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，.……………（13分）
19．解:(1)∵f(x)是定义域为R 的奇函数,∴f(0)=0, ∴1-(k-1) =0,∴k=2, 经检验知:k=2满足题意 ……………（3分）
(2)∵f(1)=32,2
31=-∴a a ,即,02322=--a a （舍去）。

或212-==∴a a ……（5分）
∴g(x)=22x
+2-2x
-2m(2x
-2-x
)=(2x
-2-x )2
-2m(2x
-2-x
)+2. 令t=f(x)=2x
-2-x
,
由(1)可知f(x)=2x -2-x 为增函数,∵x≥1,∴t≥f(1)=32, 令h(t)=t 2-2mt+2=(t-m)2+2-m 2
(t≥32
)
若m≥32
,当t=m 时,h(t)min =2-m 2
=-2,∴m=2 ……………（10分）
若m<32,当t=32时,h(t)min =174--3m=-2,解得m=2512>3
2
,舍去…（12分） 综上可知m=2.（13分）
20．(1)解： 2
142
12312
a
a f ++⎛⎫==
⎪⎝⎭+，由函数()f x 的周期为2， 得3311()(2)()2()102222
f f f =-=-=-+=……3分
1322f f ⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
40, 4.3a a +∴==- …………………4分
(2) ①证明：
对[21][12]x ∀∈--，，，有[21][12]x -∈--，，
且()()(())()()()g x f x f x f x f x g x -=-+--=-+=，
∴()g x 是偶函数.……6分
②解：由①知()g x 是偶函数，所以()g x 的值域与()g x 在[12]，上的值域相等………7分
(1)(1)(1)(1)(12)2(1)2,g f f f f f =+-=+-+==-
(2)(2)(2)2(0)4g f f f =+-==……8分 当12x <<时, 21x -<-<-,
()()()(2)(2)g x f x f x f x f x =+-=-+-+
4(2)26
()2(2)127(2)13
x g x x x x x --+=-++
=---+-,………………………10分
2
6
()20(3)
g x x '=+
>-,()g x 在()1,2内是增函数, …………………………11分 得6627()2271323
g x -
-<<⨯----,即2() 3.g x -<<…………………12分
综上知,函数()g x 的值域为[)
{}2,34.-…………13分
21．解：（1）由2
()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数的定义域为}0|{>x x ， 且
22(2)(2)(1)
()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x -++--'=-++==
.…………………1分 因为2a >，所以12a >. 当01x <<或2a x >时，()0f x '>；当12
a
x <<时，()0f x '<， 所以()f x 的单调递增区间为(0,1),(,)2
a
+∞.………4分
（2）当4a =时，2(1)(2)()x x f x x
--'=.所以，当x 变化时，)(/
x f ，)(x f 的变化情况如
下：
x （0,1） 1 （1,2） 2
（2，)∞+
)
(/x f
+ 0 — 0 +
)(x f 单调递增
)(x f 取极大值 单调递减 )(x f 取极小值 单调递增
所以51ln 41611)(2
-=+⨯-==）（
极大值f x f ， 82ln 42ln 42622)(2-=+⨯-==）（极小值f x f …7分
结合函数)(x f 的图象， 所以若函数m x f y -=)( 三个不同的零点，则
()
4ln 28,5m ∈--……9分
（3）由题意,当4a =时，4
()26f x x x
'=+
-， 则在点P 处切线的斜率 =切k 64
2)(0
00/-+
=x x x f . 所以切线方程为 ()2
00000
04()2664ln y g x x x x x x x x ⎛⎫==+--+-+ ⎪⎝⎭200004
264ln 4x x x x x ⎛⎫=+--+- ⎪⎝⎭
..……………10分
()()()()()22000000464ln 2664ln x f x g x x x x x x x x x x x ϕ⎛
⎫=-=-+-+
----+ ⎪⎝
⎭
， 则0()0x ϕ=，()()()0000000
44222262621x x x x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫'=+
--+-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.
当0x <时，()x ϕ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则当002,x x x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，0()()0.x x ϕϕ<=
当002,
x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0)
(0<-x x x ϕ
；当0
x >时，()x ϕ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，则 当002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0()()0.x x ϕϕ>= 当002,x x x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()00x x x ϕ<-；则
在
(2,)+∞上不存在“类对称点”.…12分
当0x =
(22
()x x x
ϕ'=-，所以()x ϕ在(0,)+∞上是增函数，
故
()
0.x x x ϕ>-………13分
所以x =是一个类对称点的横坐标.……14分
22．解:（1）C 2：ρ＝2sin θ．…5分（2）故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋32
2
23解:(1)不等式的解为24x -<<……5分 (2)实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤-……10分
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.） 1．下列四个函数中,与y x =表示同一函数的是（ ）
A ．2
)(x y = B ．x
x y 2
= C ．2x y = D ． 33x y =
2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．
是（ ） A ．所有不能被2整除的数都是偶数 B ．所有能被2整除的数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的数是偶数 D ．存在一个能被2整除的数不是偶数
3．已知集合{}m A ,1,0=，02B x x {|}=<<，若{
}m B A ,1=⋂，则m 的取值范围是（ ) A ．01(,) B ．12(,) C ．0112(,)
(,) D ．02(,)
4．设357log 6,log 10,log 14a b c ===,则（ ）
A ．c>b>a
B ．b>c>a
C ．a>c>b
D ．a>b>c
5．定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)()f x f x +=，当01x <≤时，()2x f x =，则f (2015)=
（ ）
A ．2
B ．2-
C ．12-
D ．12
6．函数y ＝ln 1
|2x －3|
的图像为( )
7．方程21
log x x
=的实根所在区间为( ) A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,
0 B. ⎪⎭
⎫
⎝⎛1,21 C.()2,1 D. ()3,2 8． “2a =” 是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．给出下列命题：
①在区间(0,)+∞上，函数1
y x -=,1
2
y x =,2(1)y x =-, 3y x =中有三个是增函数； ②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；
③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称； ④若函数()323x
f x x =--，则方程()0f x =有2个实数根。

其中假命题．．．
的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ．4
10. 已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，当2>x 时，)(x f 单调递增，如果421<+x x 且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值 （ ） A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．等于0 D ．可正可负也可能为0 11.定义在R 上的函数()f x 满足'()1()f x f x >-，其中'()f x 是()f x 的导函数，e 为自然对数的底数，则下列正确的是( )
A.22(1)(2)ef e e f e ->-
B.2015201520162016(2015)(2016)e f e e f e ->-
C.22(2)(1)e f e ef e +>+
D.2016201620152015(2016)(2015)e f e e f e +<+
12.已知定义在R 上的函数()y f x =是偶函数，当0x ≥时，2sin , 0 1 2
()13() , 122
x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关
于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈），有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是( )
A.3
(4,)2--
B.7
(4,)2--
C.773(4,)(,)222
---- D.73
(,)22--
一、选择题
11.定义在R 上的函数()f x 满足'()1()f x f x >-，其中'()f x 是()f x 的导函数，e 为自然对数的底数，则下列正确的是( )
A.22(1)(2)ef e e f e ->-
B.2015201520162016(2015)(2016)e f e e f e ->-
C.22(2)(1)e f e ef e +>+
D.2016201620152015(2016)(2015)e f e e f e +<+ 【答案】B
【命题立意】本题考查导数的运算及构造函数思想，函数的单调性以及不等式思想，属中等偏难题.
【解析】()[()1]x h x e f x =-，'()[()'()1]0x h x e f x f x =+->
()h x ⇒是增函数，(2)(1)h h ∴>，(2016)(2015)h h >，即A 、B 错误；
C 、
D 一对一错，对于C: 22(2)(1)e f e ef e ->-， 两边同时加22e ，
得222(2)(1)2(1)(21)(1)e f e ef e e ef e e ef e +>+-=+->+，故选C.
12.已知定义在R 上的函数()y f x =是偶函数，当0x ≥时，2sin , 0 1 2
()13() , 122
x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关
于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=（,a b R ∈），有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是( )
A.3
(4,)2--
B.7
(4,)2--
C.773(4,)(,)222
---- D.73
(,)22--
【答案】C
【命题立意】本题考查分段函数的图像，换元法，涉及数形结合、方程、转化思想，属难题. 【解析】()f x 的图像如图所示，(,1),(0,1),(1,0),(1,)-∞--+∞，当1x =±时，()f x 的最
大值是2,；当0x =时，()f x 的最小值是0，3
2
x =是部分图像的渐近线. 设()t f x =，依题意，符合题意有两种情况：
(1)12,t =23(,2)2t ∈，此时127(,4)2a t t -=+∈，则7(4,)2
a ∈--； (2)13(0,]2t ∈，23(,2)2t ∈，此时1237(,)22
a t t -=+∈，则
73(,)22
a ∈--；
综上，7
73
(4,)
(,)222
a ∈----，选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.0 14. (1,)+∞ 15.3 16. 525-
13.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其图像是一条连续不断的曲线，且
11
()()22
f x f x +=-，则(2016)f =_________. 【答案】0.
【命题立意】本题考查对称性、周期性，属容易题. 【解析】由已知1
=
2
x 对，对称中心(0,0)，则2T =，(2016)(0)0f f ==. 14.在正方形ABCD 中，M 是BD 的中点，且AM mAB nAD =+(,)m n R ∈，函数()1x f x e ax =-+的图象为曲线Γ，若曲线Γ存在与直线()y m n x =+垂直的切线（e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是__________. 【答案】(1,)+∞
【命题立意】本题旨在考查向量共线、导数的几何意义，导数及其应用，有一定综合性． 【解析】B 、D 、M 三点共线得1m n +=，由题可得'()x f x e a =-，由于曲线C 存在与直线y x =垂直的切线，则1x e a -=-有解，即1x a e =+有解，1a ∴>.
15.等比数列{}n a 中，1a 、5a 是关于x 方程20x bx c -+=的两个根，其中点(,)c b 在直线
1y x =+上，且c =
3
20
t dt ⎰
，则3a 的值是_______.
【答案】3.
【命题立意】本题考查定积分的计算，等比数列的性质，属易错题.
【解析】3
23300
1
|93
c t dt t ===⎰，b =10，于是
21090x x -+=，23159a a a ==，15150,100a a a a >+=>，15,0a a ∴>，从而3a 0>，33a ∴=.
16.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，点E 为AB 的中点.以A 为圆心，AE 为半径，作弧交AD 于点F.若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD ⋅的最小值为__________. 【答案】525-.
【命题立意】本题考查平面向量数量积，最值，意在考查分析能力，转化能力，中等题. 【解析】以点A 为坐标原点，建立如图的平面直角坐标系，则)2,2(C ，)2,0(D ， 设)2
0)(sin ,(cos π
θθθ≤
≤P ，∴)sin 2,cos 2(θθ--=PC ，)sin 2,cos (θθ--=PD ，
∴θ
θθθ22sin sin 44cos cos 2+-++-=•PD PC )sin 2(cos 25θθ+-=)sin(525ϕθ+-=（其中5
5
2cos =
ϕ），
∴当1)sin(=+ϕθ时，PD PC •取得最小值525-.
三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（本小题满分12分）已知命题p ：f(x)=1-a·3x
在x ∈(-∞,0］上有意义，命题q ：存
在0R x ∈，使得2
00(1)10
x a x +-+<，
若“p 或q”为真命题，求实数a 的取值范围。

18．（本小题满分12分）已知函数23()log (23)f x ax x =++,a R ∈.
(1)若()f x 的定义域为R ,求实数a 的取值范围; (2)若()f x 的值域为R ,求实数a 的取值范围.
19．（本小题共12分）设函数()()()101x x f x a k a a a -=-->≠且是定义域为R 的奇函数.
(1)求k 值; (2)若()3
12
f =,且()()222x x
g x a a mf x -=+-在[)1,+∞上的最小值为2-,求m 的值.
20．（本小题共12分）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间(]1,1-上，
01211(),201
x x x f x ax x <<≤≤+-⎧⎪
=+⎨⎪+⎩，
，其中常数a ∈R , 且
13.22f f ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(1) 求a 的值；
（2）设函数()()()g x f x f x =+-,[21][12].x ∈--，，
①求证：()g x 是偶函数；
②求函数()g x 的值域.
21．（本小题满分12分）已知函数2
()(2)ln ,f x x a x a x =-++其中常数0a >.
（1）当2a >时，求函数()f x 的单调递增区间；
（2）当4a =时，若函数()y f x m =-有三个不同的零点，求m 的取值范围； （3）设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:(),l y g x =当
0x x ≠时，若
()()
0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 为函数()y h x =的“类对称点”，
请你探究当4a =时，函数()y f x =是否存在“类对称点”，若存在，请最少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由. 解：对于命题p ，由130x
a -⋅≥对(],0x ∈-∞恒成立知，
1()3
x a ≤对(],0x ∈
-∞恒成立 ， ∴ 1a ≤ ……………（3分）
对于命题q ，由△=（a-1）2
-4＞0,得a ＞3或a ＜-1 …………（6分） ∵“p 或q”为真,∴p,q 中至少有一个为真 ……………（ 8分） 记]1,(-∞=A ,),3()1,(+∞⋃--∞=B ,则a 取值范围为B A ⋃ ∵),3(]1,(+∞⋃-∞=⋃B A
∴a 的取值范围为),3(]1,(+∞⋃-∞……………（13分） （注：本题可以分三种情况讨论，也可以求p,q 都为假）
17．解:(1)由()f x 的定义域为R ,则2230ax x ++>恒成立, ……………（1分） 若=0a 时,230x +>,3
2
x >-,不合题意; ……………（3分） 所以0a ≠;
由2
02430a a >⎧⎨∆=-⋅⋅<⎩
得:13a >. ……………（6分） (2)由()f x 的值域为R ,所以{}
()2
23,0+y y ax x x R =++∈⊇∞，
, …………（7分） （也可以说322
++=x ax y 取遍一切正数）
①若0a =时,23y x =+可以取遍一切正数,符合题意, ……………（9分）
②若0a ≠时,需2
2430
a a >⎧⎨
∆=-⋅⋅≥⎩,即1
03
a <≤
; ……………（12分） 综上,实数a 的取值范围为103⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，.……………（13分）
18．解:(1)∵f(x)是定义域为R 的奇函数,∴f(0)=0, ∴1-(k-1)=0,∴k=2,
经检验知:k=2满足题意 ……………（3分） (2)∵f(1)=32,2
31=-∴a a ,即,02322
=--a a
（舍去）。

或2
1
2-==∴a a ……………（5分）
∴g(x)=22x
+2-2x
-2m(2x
-2-x
)=(2x
-2-x ) 2
-2m(2x
-2-x
)+2. 令t=f(x)=2x
-2-x
,
由(1)可知f(x)=2x -2-x
为增函数,∵x≥1,∴t≥f(1)=32,
令h(t)=t 2-2mt+2=(t-m)2+2-m 2
(t≥32) ……………（8分）
若m≥32
,当t=m 时,h(t)min =2-m 2
=-2,∴m=2 ……………（10分）
若m<32,当t=32时,h(t)min =174--3m=-2,解得m=2512>3
2,舍去 ……………（12分）
综上可知m=2. ……………（13分）
19．(1)解： 2
142
1231
2
a
a f ++⎛⎫==
⎪⎝⎭+， …………………………………………………1分 由函数()f x 的周期为2，得3311()(2)()2()102222
f f f =-=-=-+=……3分
1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 4
0, 4.3
a a +∴
==- ……………………………………………………………4分 (2) ①证明：
对[21][12]x ∀∈--，，，有[21][12]x -∈--，，
且()()(())()()()g x f x f x f x f x g x -=-+--=-+=，
∴()g x 是偶函数. …………………………………………………6分
②解：由①知()g x 是偶函数，所以()g x 的值域与()g x 在[12]，上的值域相等
…………………………………………7分
(1)(1)(1)(1)(12)2(1)2,g f f f f f =+-=+-+==-
(2)(2)(2)2(0)4g f f f =+-==…………………………………………………8分
当12x <<时, 21x -<-<-,()()()(2)(2)g x f x f x f x f x =+-=-+-+
4(2)26
()2(2)127(2)13
x g x x x x x --+=-++
=---+-,………………………10分
2
6
()20(3)
g x x '=+
>-,()g x 在()1,2内是增函数, …………………………11分 得6627()2271323
g x -
-<<⨯----,即2() 3.g x -<<…………………12分 综上知,函数()g x 的值域为[){}2,34.-…………13分
20．解：（1）由2
()(2)ln f x x a x a x =-++可知，函数的定义域为}0|{>x x ， 且
22(2)(2)(1)
()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x -++--'=-++==
.…………………1分 因为2a >，所以
12a
>. 当01x <<或2a x >时，()0f x '>；当12
a
x <<时，()0f x '<，
所以()f x 的单调递增区间为(0,1),(,)2
a
+∞..………………………………4分
（2）当4a =时，2(1)(2)
()x x f x x
--'=.
所以，当x 变化时，)(/
x f ，)(x f 的变化情况如下：
x （0,1） 1 （1,2） 2
（2，)∞+
)
(/x f
+ 0 — 0 +
)(x f 单调递增
)(x f 取极大值 单调递减 )(x f 取极小值 单调递增
所以51ln 41611)(2
-=+⨯-==）（
极大值f x f ，
82ln 42ln 42622)(2-=+⨯-==）（极小值f x f
. …………………7分
结合函数)(x f 的图象， 所以若函数
m x f y -=)(有三个不同的零点，则()4ln 28,5m ∈--.………………………9分
（3）由题意,当4a =时，4
()26f x x x
'=+
-， 则在点P 处切线的斜率=切k 64
2)(0
00/-+
=x x x f . 所以切线方程为()20000004()2664ln y g x x x x x x x x ⎛⎫==+
--+-+ ⎪⎝⎭
200004
264ln 4x x x x x ⎛⎫=+
--+- ⎪⎝⎭
..……………10分
()()()()()2
2
000000464ln 2664ln x f x g x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫=-=-+-+----+ ⎪⎝⎭
，
则0()0x ϕ=，()()()000000044222262621x x x x x x x x x x x x x x ϕ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫'=+
--+-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭. 当02x <
时，()x ϕ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当002,x x x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，
0()()0.x x ϕϕ<= 从而有002,x x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，0)
(0<-x x x ϕ；
当02x >
时，()x ϕ在002,x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以当002,x x x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，
0()()0.x x ϕϕ>= 从而有002,x x x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，
()00x x x ϕ<-；
所以在(2,)+∞上不存在“类对称点”. …………………………12分
当0x =
时
，(2
2
()x x x
ϕ'=
，所以()x ϕ在(0,)+∞上是增函数，故
()
0.x x x ϕ>-………13分
所以x =是一个类对称点的横坐标. ………………………………14分
22．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系Ox 中，直线C 1的极坐标方程为sin 2ρθ=，M 是C 1上任意一点，点P 在射线OM 上，且满足||||4OP OM ⋅=，记点P 的轨迹为C 2． （1）求曲线C 2的极坐标方程； （2）求曲线C 2上的点到直线cos()4
π
ρθ
+
=
【解析】（1）设P (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，ρ1sin θ＝2,ρρ1＝4．消ρ1,得C 2：ρ＝2sin θ．…5分
（2）将C 2，C 3的极坐标方程化为直角坐标方程，得C 2：x 2
＋(y －1)2
＝1，C 3：x －y ＝2．
C 2是以点(0，1)为圆心，以1为半径的圆，圆心到直线C 3的距离d ＝
32
2
， 故曲线C 2上的点到直线C 3距离的最大值为1＋322．……10分
23(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数()|2||23|f x x a x =-++()|1|2g x x =-+. （1）解不等式|()|5g x <；
（2）若对任意1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)由125x -+<得5125x -<-+<
713x ∴-<-<，得不等式的解为24x -<<……5分
(2)因为任意1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立， 所以{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=，
又()223|(2)(23)||3|f x x a x x a x a =-++≥--+=+，
()|1|22g x x =-+≥，所以|3|2a +≥，解得1a ≥-或5a ≤-，
所以实数a 的取值范围为1a ≥-或5a ≤-……10分。