求数列通项公式方法大全

求数列通项公式的常用方法
种类 1、 S n f (a n )
解法：利用 a n
S 1 S
n 1
(n 1) 与 a n S n
S
n 1
f (a n )
f (a n 1) 消去 S n (n
2) 或与
S n
( n 2)
S n f (S n S n 1 ) (n
2) 消去 a n 进行求解。

例 1 已知无量数列 a n 的前 n 项和为 S n ，而且 a n S n 1(n N * ) ，求 a n 的通项公式？
n
Q S n 1 a n ， a n 1
S n 1 S n a n a n 1 ， a n 1
1
a n ，又 a 1
1
， a n
1 .
2
2
2
变式 1. 已知数列 a n 中， a 1
1
，前 n 项和 S n 与 a n 的关系是 S n
n(2n 1)a n ，求 a n
3
变式 2. 已知数列 { a } 的前 n 项和为 S ，且知足 2S
2a
n
n 3 (n
N *) ．
n
n
n
求数列 { a n } 的通项公式
变式 3. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n (n 1)b n ，此中 {b n } 是首项为 1，公差为 2 的等差
数列 . 求数列 {a n } 的通项公式；
变式 4. 数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 1 1， a n 1
2S n (n N * ) ．求数列 a n 的通项 a n
变式 5. 已知数列 { a } 的前 n 项和为 S ，且知足 2S
2a
n n
3 (n N * ) ．
n
n n
求数列 { a n } 的通项公式；
变式 6. 已知在正整数数列 { a n } 中，前 n 项和 S n 知足 S n
1 (a n
2)2
8
1
（1）求证： { a n } 是等差数列（ 2）若 b n 2 a n
30 ，求
{ b n }
的前 n 项和的最小值
种类 2、
a
n 1
ka n
b
型（此中 k 、 b 为常数， kb
0 ， k
1 ）
解：设 a n 1
m k(a n
m) ∴ a n 1 ka n km m
b
比较系数：
km
m
m
1
b ∴k
{ a n
b }
a 1
k b
∴
k 1 是等比数列，公比为 k
，首项为
1
∴ a
n
k b
1 (a 1 k b
1) k n 1
∴ a n
(a 1
b ) k n 1 b
k 1
k
1
例 1 已知数列 a n 中, a 1 1, a n 2a n 1 1(n 2) , 求 a n 的通 公式 . 【分析】 : 利用 ( a n
x) 2( a n
1
x) , a n
2a n 1 x , 求得 x 1 ,
a n 1 2( a n 1 1) ,
a n 1 是首 a 1 1 2,公比 2的等比数列 , 即 a n 1 2 ? 2n 1 , a n
1 2n ,
a n
2n
1
式 1. 已知数 { a n } 的 推关系 a n 1
2
a n
4 ，且 a 1 1 求通 a n
3
型 3、
a
n 1
a n
f ( n)
型，（ f (n) 可求前 n 和），
利用 a n
a 1 (a 2 a 1 ) (a n
a n 1) 求通 公式的方法称 累加法。

例 1. 已知 { a n }
的首 a 1
1 ， a n
1
a n
2n
（
n N
*
）求通 公式。

解：
a n
2
a n 3 2( n
3) ⋯⋯
∴
a n
n 2
n 1
式 1. 已知数列 { a n } 足 a n 1
a n 2n 1， a 1 1 ，求数列 { a n } 的通 公式。

式 2. 已知数列 { a n } 足 a n 1
a n 2 3n 1， a 1 3，求数列 { a n } 的通 公式。

式 3. 已知数列 { a n } 中, a 1
1 , a n
3n 1 a n-1 (n 2) 求数列 a n 的通 公式 .
式 4. 已知数列 a n 足 a 1
1，
a n 1
a
n
1
n(n 1) ，求
a
n
的通 公式。

型 4 a n 1 ka n an b 型
解：可
a
n 1
A(n 1) B k (a n
An B)
∴
a
n 1
ka n
(k 1) An (k 1)B
A
(k 1) A a
a
b a ∴ (k
1)B
A b 解得：
A
B
(k 1)2
k
1 ，k 1
∴ { a n An B}
是以 a1A
B
为首项，
k
为公比的等比数列
∴ a n An B (a
1 A B) k n 1
∴a
n(a1A B)k n 1An
B
将 A、B 代入即可
例 1. 已知：a
1
1
， n 2时，
a n
1
a n 12n 1
2，求
{ a
n
}
的通项公式。

解：
a n An B 1
[a n 1A( n 1) B]
设2
1
2
A
2
∴1 A 1 B1 22
A4
解得：
B6
∴a
1 4 63
1
∴{ a
n4n
6}
是以 3 为首项，2为公比的等比数列a n4n 6 3 (
1
) n 1
∴2
3
∴a
n2n 14n 6
种类 5 a n 1ka n q n型（q0 ）
a
n 1k a n1
等式两边同时除以 q n 1得 q n
1
q q n q
C n a n C
n 1
k1
q
n C n
q ∴
{ C
n
}
可归为
a
n 1
ka
n
b
型
令则q
例 1. 已知{ a
n
}
中， a1 1 ，a n2a
n 1
2n（n 2 ）求
a
n。

由 a n2a
n 1 2n
a n
a
n 11
2n 1
得 2n
∴ { a n
a n 1
2n
}
成等差数列， 2n 2 ( n 1) ∴
a
n
n 2n
2n 1
种类 6 a n 1
Aa n
Bq n
（ A 、 B 、q 为常数，下同）型，
可化为 a n 1
q
n
1
A(a n
q n
) 的形式 .
例 1. 在数列 a n 中， a 1
1, a n 1
2a n
4 3n 1
, 求通项公式 a n
解：原递推式可化为：
a
n 1
3
n
2( a n
3
n 1
) ①
比较系数得 4 ，①式即是：
a
n 1
4
3
n
2(a n 4
3
n 1
) .
则数列 { a
n
4 3
n 1
}
是一个等比数列，其首项
a 1 4 3
1 1
5
，公比是
2.
∴ a
n
4 3
n 1
5 2
n 1
即
a
n
4 3
n 1
5 2
n 1
.
变式 1. 已知数列 { a n } 知足 a 2a
3 2n ， a 1 2 ，求数列 { a n } 的通项公式。

n 1
n
变式 2. 已知数列 { a n } 知足 a n 1
2a n
3 5n ， a 1 6 ，求数列 a n 的通项公式。

变式 3. 已知数列 { a n } 知足 a n 1
3a n
5 2n 4， a 1 1，求数列 { a n } 的通项公式。

种类 7、
a
n 1
f ( n) a
n
型。

（1）若
f (n)
是常数时，可归为等比数列。

（2）若 f (n) 可求积，利用恒等式 a n a 1 a 2
a 3 a n (a n 0, n 2) 求通项公式的方法称
a 1 a 2
a n 1
为累乘法。

例 1：已知：
a 1
1
2n 1
a n 1 （ n
3 ，
a n
2n 1
2）求数列
{ a n
}
的通项。

a n
a n 1
a n 2 a 3 a 2 2n 1 2n 3 2n 5 5 3
3
解： a n 1 a n 2 a n 3
a 2 a 1
2n 1 2n 1 2n 3 7 5 2n 1
∴
a
n
a 1
3
1
2n 1
2n 1
变式 1. 已知 a 1 1 , a n n(a n 1 a n ) (n N * ) , 求数列 a n 通项公式 .
变式 2. （2004 年全国 I 第 15 题，原题是填空题）已知数列 { a n } 知足
a 1 1， a n a 1 2a 2 3a 3 L
( n 1)a n 1( n 2) ，求 { a n } 的通项公式。

知足
a
1
2
n a n
，求 a
n 。

变式 3. 已知数列 a
n
3 ，
a
n 1
n 1
变式 4. 已知 { a n }
中，
a n
n
1
n
2 a n
且 a 1
2
求数列通项公式。

种类 8、
a
n 1
ca n
(c 0, d 0)
a d
n
取倒数变为
1
d 1 1
的形式的方法叫 倒数变换 .
a n 1
c a n
c
例 1 已知数列 a n (n N *)中, a 1 1 , a n 1
a n , 求数列 a n 的通项公式 .
2a n
1
【分析】 : 将 a n 1
a n 取倒数得 : 1
2
1
, Q
1 1
2 ,
1 是以
1
1 为首
2a n 1
a
n 1
a n a
n 1
a n
a n
a 1
项, 公差为 2 的等差数列 . 1
1 2( n 1) ,
a n
1 .
a n
2n
1
a n
4
4
例 2已知 { a n } 中，
a 4
， a
n 1
（
n
2
）求 a n。

1
a
n 1
2
2
4 2(a n 2)
a n a n
解：
1
a n
1
1
∴ a n 1 2 2( a n
2) 2 a n
2
（ n 1）
1
1
1
b n
1
∴
a
n 1
2 a n
2 2
（ n 1 ）设
a n
2
即 b n 1 b n 1
(n 1)
2
∴
{ b n }
是等差数列
1
1
1
n
2
∴
a n
2 a
1
(n 1)
a n
2
2
2 2
n
n
1
＝ 3
n
3na
n －1 （
n 2 ，
n
）
n
例 3. 已知数列｛ a ｝知足： a
2 ，且 a ＝
N 求数列｛ a ｝的通
2a n －1＋ n －1
项公式；
解：（1）将条件变为： 1－
n ＝ 1 n －1
n
｝为一个等比数列，其首
a n （1－
），所以｛ 1－
a n
3a n －1
项为1－
1
＝ 1 ，公比 1 ，进而 1－ n ＝ 1n ，据此得 a n ＝ n n ?3n
（n 1）
a 1
3
3
a n
3
3 －1
变式 1. 已知数列｛ a n ｝中 a 1 1 且 a n 1
a n （ n N ）
，求数列的通项公式。

a n
1
，
变式 2. 数列 a n 中， a 1 1， a n 1
2a n
,( n N )
a n 2
变式 3. 在数列｛ a n ｝中， a 1 =1, (n 1)a n 1 na n ，求 a n 的表达式。

a n
2n 1
a n
1
2
n
1
a n ，
a
1
2 ，求
{ a n
}
的通项。

变式 4. 数列 { a n }
中，
a n 2S n 2
变式 5. 已知 { a n } a 1 ，其前 n 项和 S n
a n
2S n 1
（
n
2 ）
与
知足
中， 1
{
1
} （1）求证：
S
n
种类 9、 a n 2
pa n 1
为等差数列（ 2）求 { a n }
的通项公
式 qa n （此中 p ，q 均为常数）。

( 特点根法 ) ：对于由递推公式
a n 2
pa n 1 qa n ， a 1
, a 2
给出的数列 a n ，方程
x 2 px q 0 ，叫做数列 a n
的特点方程。

若 x 1 , x 2 是特点方程的两个根，
（1）当 x 1
x 2 时，数列 a n 的通项为 a n
Ax n 1
Bx n 1
，此中
， B 由 a 1, a 2 决定
A
（即把 a 1 ,a 2 , x 1 , x 2 和 n 1,2 ，代入 a n Ax 1n 1
Bx 2n 1 ，获得对于 A 、B 的方程组）；
（2）当 x
1 x 时，数列 a
n 的通项为
n 1
，此中 ， 由 a 1 , a
2
决定（即
2 a n ( A Bn) x 1 A B 把 a 1 ,a 2 , x 1 , x 2 和 n 1,2，代入 a n ( A Bn) x 1n 1 ，获得对于 A 、B 的方程组）。

3、 a n 2
A a n 1
B a n 型，可化为
a
n 2
a
n 1
( A
) (a
n 1
a n
)
的形式。

例 11 在数列 { a n } 中， a 1
1,a 2
2 ，当 n
N ，
a
n 2
5a
n 1
6a
n
①求通项公式 a n .
解：①式可化为：
比较系数得 =-3 或 =-2，不如取
=-2. ①式可化为：
则 { a n 1
2a n }
是一个等比数列，首项 a
2
2a 1 =2-2 （-1 ）=4，公比为 3.
∴ a n
1
2a n
4 3
n 1
. 利用上题结果有：
a n
4 3
n
1
5 2
n 1
.
例 1 数列 a n ： 3a n 2 5a n 1 2a n 0(n 0,n
N ) ， a 1 a, a 2 b , 求 a n
解（特点根法）：的特点方程是：
3x 2 5x
2 0。

x 1 1, x 2
2 ,
2
3
a n
Ax 1n 1 Bx 2n 1
A B ( ) n 1 。

又由 a 1
a, a 2 b ，于是
3
a A B
A
3b
2a
故 a n 3b
b)( 2
)
n
1
b
A 2
2a
3( a
B
B
3( a
b)
3
3
变式 1. 已知数列 a n 中， a 1 1 , a 2 2 , a n 2
2
a n 1
1
a n ，求 a n 。

7 3
1
3 3
key : a n
( ) n 1 。

4
4 3
变式 2. 已知数列 a n 知足 a 1 1,a 2 3,a n 2 3a n 1 2a n (n N * ). 求数列 a n 的通项公式；
种类 10a n 1 pa n r ( p 0, a n 0)
解法：这类种类一般是等式两边取对数后转变为
解。

a n 1
pa n q ，再利用待定系数法求
例 1 已知数列｛ a n ｝中， a 1 1,a n 1
1
a n 2 (a 0)
，求数列 a n 的通项公式 .
1
a
1 ，
解：由 a n 1
a n 2 两边取对数得 lg a n 1 2lg a n lg
a
a
令 b n lg a n ，则 b n 1 2b n lg 1
，再利用待定系数法解得： a n a( 1 )2 n 1
a
a
变式 1. 【2002 年上海高考题】若数列 { a n } 中， a =3 且 a n 1
a n 2 （ n 是正整数），
1
则它的通项公式是 a n =
种类 11 周期型
解法：由递推式计算出前几项，找寻周期。

例 1 若数列 a
2a n , (0 a n
1)
6
，则
n 知足 a n
1
2 ，若 a
1
a 的值为。

1,(
1
7
20
___________
2a n a n
1)
2
变式【2005 湖南文 5】已知数列 { a n } 知足 a 1
0, a n 1
a n
3 ( n N * ) ，则 a 20
（
3a n 1
= )
A ．0
B ．
3
C ． 3
D ．
3
2
种类 12 平方（开方）法
【例 1】若数列 { a n } 中， a 1 =2 且 a
n 3 a n
2
1 （n
2 ），求它的通项公
式是 a n .
解将
a
n 3 a
2
两边平方整理得
a
2
a 2
3 。

数列 { a n 2
} 是以 a 2
=4
n 1
n
n 1
1
为首项， 3 为公差的等差数列。

a
2
a
2
(n
1)
3
3n
1。

由于 a
n ＞0，所
n 1
以 a
n
3n
1 。