2.2.1 圆的标准方程 课件(北师大必修2)

1 7 即圆心坐标为C(－4，4)． 又∵圆的半径r＝|OC|＝ 12 72 －4 ＋4 ＝ 25 8，
12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
[一点通]
求圆的标准方程一般有两种思路：一是
用待定系数法，二是几何法．
1．用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋ (y－b)2＝r2； ②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
a2＋b2－4a＋6b＝r2－13， 2 2 2 即a ＋b ＋4a＋10b＝r －29， a－2b－3＝0. a＝－1， ∴b＝－2， r2＝10. ∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：设圆心C为(2b＋3，b)， 因为有|AC|＝|BC|， 所以 2b＋3－22＋b＋32 ＝ 2b＋3＋22＋b＋52. 解得b＝－2，所以圆心为(－1，－2)， 半径r＝|AC|＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
条件
与x轴相切 与y轴相切
方程形式
(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) (x－a)2＋(y－b)2＝a2
与两坐标轴都相切 (|a|＝|b|≠0) 直径的两端点为 (x－x1)(x－x2)＋(y－y1)·
(x1，y1)，(x2，y2)
(y－y2)＝0
2.对于特殊位置的圆的方程
条件 过原点，圆心为(a，b) 圆心在x轴上 圆心在y轴上 方程形式 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
(a2＋b2≠0)
(x－a)2＋y2＝r2(r≠0) x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点
圆心在y轴上且过原点
(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
③解方程组，求出a，b，r的值，并把它们代入所设
的方程中，得到圆的方程． 2．几何法主要是根据已知条件，抓住圆的性质，构 造几何图形确定圆心和半径．
3．△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7，－3)，
C(2，－8)，求它的外接圆的方程．
解：设所求圆的方程是 (x－a)2＋(y－b)2＝r2，① 因为A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，所以它 们的坐标都满足方程①.于是 5－a2＋1－b2＝r2， 7－a2＋－3－b2＝r2， 2－a2＋－8－b2＝r2，
地总高120m的摩天轮．
中国最高的摩天轮“南昌之星”位于江西省南昌市红谷 滩新区红角洲赣江边上的赣江市人民公园，是南昌市标志 性建筑．该摩天轮总高度为160m，转盘直径为153m，比 位于英国泰晤士河边的135m高的“伦敦之眼”摩天轮还要 高，成为世界上较高的摩天轮之一．如何写出圆的方程呢？
问题1：在平面直角坐标系中，确定圆的几何要素是 什么？ 提示：圆心和半径． 问题2：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，到 点(1,2)的距离等于1的点(x，y)的集合怎样用方程表示？
Байду номын сангаас
1．写出下列方程表示的圆的圆心和半径．
(1)x2＋y2＝4；(2)x2＋(y－2)2＝a2(a≠0)；
(3)(x－3)2＋y2＝b2(b≠0)；
(4)(x＋3)2＋(y＋4)2＝12.
解：(1)原方程化为(x－0)2＋(y－0)2＝22. 所以圆心(0,0)，半径r＝2. (2)原方程可化为(x－0)2＋(y－2)＝a2(a≠0)． 所以圆心为(0,2)，半径r＝|a|.
(x－a)2＋(y－b)2＝r2 .
(2)当圆心在坐标原点时，半径为r的圆的标准方程为
x2＋y2＝r2
.
1．根据圆的定义，确定圆的条件是两个：即圆心
和半径，只需确定了这两者，圆就被唯一确定了．
2．圆的标准方程中具有三个参变量a，b，r，因此 确立圆的方程需三个独立的条件，根据条件列出以a，
b，r为变量的方程组，解方程组求出a，b，r的值即能
(3)原方程可化为(x－3)2＋(y－0)2＝b2(b≠0)． 所以圆心为(3,0)，半径r＝|b|. (4)原方程化为[x－(－3)]2＋[y－(－4)]2＝(2 所以圆心为(－3，－4)，半径r＝2 3. 3)2.
2．写出下列圆的标准方程． (1)圆心在C(－3,4)，半径长是 5. (2)圆心在C(8，－3)，且经过点M(5,1)．
∴点 A 在圆内．
∵|BM|＝
1－02＋8－12＝ 50＝r，
∴点 B 在圆上． ∵|CM|＝ 6－02＋5－12＝ 52>r，
∴点 C 在圆外．
[一点通]
求圆的方程，只需确定圆心和半径就可
以写出其标准方程；判定点与圆的位置关系，可以判定 该点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，也可将该点 坐标代入圆的方程判断．
∴半径r＝ 29. ∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)， 半径r＝ 2－02＋－3＋22＝ 5，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
[一点通]
直接法求圆的标准方程，就是根据
题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两个几 何要素，然后代入标准方程．
a＝2， 解此方程组，得b＝－3， r2＝25， ∴△ABC的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
4．求过点A(2，－3)，B(－2，－5)且圆心C在直线x－
2y－3＝0上的圆的方程．
解：法一：因为A(2，－3)，B(－2，－5)， 1 所以AB中点D(0，－4)，kAB＝2， AB的垂直平分线方程为y－(－4)＝－2(x－0)， 即2x＋y＋4＝0.
2x＋y＋4＝0， 由方程组 x－2y－3＝0， x＝－1， 得 y＝－2.
即圆心为(－1，－2)． r＝|CA|＝ －1－22＋－2＋32＝ 10. 故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：设所求圆的圆心坐标为(a，b)，半径为r， 则方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 2－a2＋－3－b2＝r2， 2 2 2 由已知条件得－2－a ＋－5－b ＝r ， a－2b－3＝0，
或者利用几何法找出圆的圆心和半径．
[精解详析]
法一：∵圆心在直线y＝x＋2上，
∴设圆心坐标为(a，a＋2)，半径为r，则圆的方 程为(x－a)2＋(y－a－2)2＝r2. ∵点O(0,0)和P(1,3)在圆上，
0－a2＋0－a－22＝r2， ∴ 1－a2＋3－a－22＝r2，
提示： (y－2)2＝1. x－12＋y－22＝1，化简得(x－1)2＋
问题3：方程
x－22＋y2＝4表示的几何意义是什么？
提示：方程表示(x，y)到(2,0)的距离等4.
1．确定圆的条件 (1)几何特征：圆上任一点到圆心的距离等于 定长 ． (2)确定圆的条件：圆心和半径． 2．圆的标准方程 (1)以C(a，b)为圆心，半径为r的圆的标准方程为
[例3]
已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P、Q为
直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，
C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．
[思路点拨] 确定圆心、半径，写出圆的标准方程，
求出点到圆心的距离，作出判断．
[精解详析] 由已知条件及圆的性质可知，圆心 M 在直 径 PQ 的中点处，∴圆心 M 的坐标为(0,1)． 1 1 半径 r＝ |PQ|＝ × －5－52＋6＋42＝5 2 2 ∴圆的标准方程为 x2＋(y－1)2＝50. ∵|AM|＝ 2－02＋2－12＝ 5<r， 2.
写出圆的标准方程．
3．点到圆的位置关系的判断 给出点M(x0，y0)和圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，通 过比较点到圆心的距离和半径的大小关系，得到： (1)点M在圆C上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点M在圆C外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点M在圆C内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.
y＝x－3， 由 y＝4， x＝7， 得 y＝4.
可得经过B、C、D三点的圆的方程为(x－7)2＋(y －4)2＝20. ∵(4－7)2＋(2－4)2＝13≠20， ∴A不在此圆上，因此A、B、C、D四点不在同一 个圆上．
1．确定圆的标准方程的方法 (1)直接法：直接确定圆和半径，适合易确定圆心和半 径的圆； (2)待定系数法：大部分求圆方程的题目均可以使用； (3)几何法：充分利用平面几何的知识，结合交点问 题和距离公式求解．
解：(1)代入圆的标准方程得 (x＋3)2＋(y－4)2＝5. (2)∵半径r＝ 8－52＋－3－12＝5. 所以圆的标准方程为： (x－8)2＋(y＋3)2＝25.
[例2]
一圆过原点O和点P(1,3)，圆心在直线y＝x＋2
上，求此圆的标准方程． [思路点拨] 利用代数法，构造方程求解a、b、r，
[例1]
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)． (2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径． (3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，
B(0，－2).
[思路点拨] 首先确定圆心坐标和半径大小，然后再
写出圆的标准方程．
[精解详析](1)由两点间距离公式，得r＝ 6－22＋3＋22＝ 41， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41. (2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)． 又|AB|＝ －4－62＋－5＋12＝2 29，
1 a＝－4， 解得 r2＝25. 8 12 7 2 25 ∴所求的圆的方程为(x＋4) ＋(y－4) ＝ 8 .
法二：由题意，圆的弦OP所在直线的斜率为3，中 1 3 点坐标为(2，2)， 3 1 1 ∴弦OP的垂直平分线方程为y－2＝－3(x－2)， 即x＋3y－5＝0. ∵圆心在直线y＝x＋2上，且圆心在弦OP的垂直平 分线上， 1 y＝x＋2， x＝－4， ∴由 解得 x＋3y－5＝0， y＝7， 4
5．若点(3， a )在圆x2＋y2＝16的外部，则a的取值范围 是________．
解析：∵(3， a)在圆x2＋y2＝16的外部， ∴9＋( a)2>16， ∴a>7.
答案：(7，＋∞)
6．判断四点A(4,2)，B(5,0)，C(3,2)，D(3,6)是否在同一个 圆上．
解：∵BC的中点为(4,1)，kBC＝－1， ∴BC的垂直平分线方程为y＝x－3. CD的垂直平分线方程为y＝4.
世界上较大的摩天轮中坐落于泰晤士河畔的 英航伦敦眼(BA London Eye)，距地总高达135m. 然而，由于伦敦眼属于观景摩天轮结构，有些人认为其在 排行上应该与重力式的Femis Wheel分开来计算，因此世 界上最大的重力式摩天轮应是位于日本福冈的天空之梦福
冈(Sky Dream Fukuoka, SDF)，是座轮身直径112m，离