广东省部分中学2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式考点题型与解题方法

广东省部分中学2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式考点

题型与解题方法

单选题

1、若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）

A．m≥1B．m≥2C．m≥3D．m≥4

答案：C

分析：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根据“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.

解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.

∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，

∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(两个等号不同时取)m>0.

解得m≥3.

则实数m的取值范围是[3，+∞）.

故选：C.

2、不等式3x2−x−2≥0的解集是（）

A．{x|−2

3≤x≤1}B．{x|−1≤x≤2

3

}

C．{x|x≤−2

3或x≥1}D．{x|x≤−1或x≥2

3

}

答案：C

分析：利用一元二次不等式的解法求解即可．解：3x2−x−2=(3x+2)(x−1)≥0

解得：x≤−2

3

或x≥1.

故选：C.

3、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．c

a

>c

b

B ．ab <b 2

C ．a −b +1a−b

≥2D ．1a−1

<

1

b−1

答案：C

分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论.

解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a

<1

b

，而c 的正负不确定，故A 错误；

对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；

对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1

a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,

1

a−1

与

1

b−1

正负不确定，故大小不确定，故D 错误；

故选：C.

4、在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm ，人跑开的速度为每秒4 m ，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m 以外的安全区，导火索的长度x （cm ）应满足的不等式为（ ） A ．4×

x 0.5≥100B ．4×x 0.5≤100 C ．4×

x 0.5

>100D ．4×

x 0.5

<100

答案：C

分析：为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间. 导火索燃烧的时间x

0.5秒，人在此时间内跑的路程为4×

x

0.5

m ．

由题意可得4×x

0.5>100． 故选：C.

5、若关于x 的不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2,5)内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(−2,+∞)B ．(3,+∞)C ．(6,+∞)D ．(2,+∞) 答案：D

分析：设f(x)=x 2−6x +11，由题意可得a >f(x)min ，从而可求出实数a 的取值范围 设f(x)=x 2−6x +11，开口向上，对称轴为直线x =3，

所以要使不等式x 2−6x +11−a <0在区间(2，5)内有解，只要a >f(x)min 即可， 即a >f(3)=2，得a >2， 所以实数a 的取值范围为(2,+∞)， 故选：D

6、已知a >1，则a +4

a−1的最小值是（ ） A ．5B ．6C ．3√2D ．2√2 答案：A

分析：由于a >1，所以a −1>0，则a +4

a−1=(a −1)+4

a−1+1，然后利用基本不等式可求出其最小值 由于a >1，所以a −1>0

所以a +4a−1

=a −1+4a−1

+1≥2√(a −1)⋅4(a−1)+1=5，

当且仅当a −1=

4

a−1

，即a =3时取等号.

故选：A.

7、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．(−∞,−1

3)B ．(−∞,−1

3]

C ．[−13

,+∞)D ．(−1

3

,+∞)

答案：C

分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,1

3]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解. 解：由3x −1≤0得x ≤13，

因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,1

3]的子集， 又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0， 当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,1

3

]，符合；

当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,1

3]，则−a ≤1

3，∴1>a ≥−1

3， 当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,1

3]，符合， 故实数a 的取值范围为[−1

3,+∞). 故选：C.

8、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示，则不等式ax 2+bx +c >0的解集是（ ）

A ．{x|−2<x <1}

B ．{x|x <−2或x >1}

C ．{x|−2≤x ≤1}

D ．{x|x ≤−2或x ≥1} 答案：A

分析：由二次函数与一元二次不等式关系，结合函数图象确定不等式解集.