一类差分方程的振动性研究

和式 （ ）可得 到 ： ７
Ｓ
ｕ ￣ ｒ≥“ ＋（ 忌 １ ） 号 （ （ ） ≥￡ （ ｎ （ ＋ 一 ） ＋ ＋ 一１） ｔ ） ｒ ｒ ２
定 义正实 数序列 ｛ ｝ ：
１ ２
ｐ
局 ｛ ， ＋ ＋ 一 ａ… ， 一 号
由文献 ［－知 ： ３ Ｉ
在科学技术和经济研究 中，差分方程是一个有力 的数学工具 。研究差分方程可 以在分析经济走势 时 ，将突发事件的影响也考虑其中，克服 了微分方程描述客观经济走势中无法计入离散情况的不利 ，使 得离 散 的情况 也 可 以进行 定性 的分析 。下 面 ，笔 者研 究 了一类 具 有连 续变 量 的时滞 差 分方 程 ：
ｌ｛ ｔ ｍ
ｌｉ￣２一ｎａ ＋ ） ≤（ ） ｉｎ ｍ ｎ ｉ） ｍｆ （ ｉｔ ｖ～
—
（） ２
且 ：
ｌ ｉ ｍ
。。
ｉｎ ｓ ＞ Ｐ ｎ ｔ 三 ｓ（ ｍ ｈＪ＋ ） １ ＝ 亟 ｕ￣２ ａ （ ） 一 二 ＿ ｐ一 Fra bibliotek（） ３
则 方程 （）的每个 解振 动 。 １ 证 明 若 不 然 ， 方 程 （） 则 １ 有非 振 动解 。 妨设 方程 （） 不 １ 存在 最终 正解 （） 则必 存 在 ｔ＞ ｔ， ｔ ｔ 。使 ≥
・
１ ８・ ３
长江大学学报 （ 自然科学版 ）
２ １ ３月 ００年
将式 （ ） ６ 分别 从 到 ， 和 到 ＋ 七 ２求 和 ， 一 再利 用 ：
ｕ ｔ （ 一 志ｒ （＋ ））≥ ｕ ｔ （ ＋ １ 是 ｒ （＋ 玩 一 ））≥ … ≥ ｕ ｔ （ 一 是 ｒ （＋ ｎ ））
ｌ ｉ ｍ ： —－ ａ ２－
— — －
一 ，… ２， ３
∑ ∑
，
—
／ ４
－
—
４ ａ
— 一
－
３ ２ ａ
故有 ：
（） ≥ “ （ 一 ）一 ｐｕ ｔ ￣ （ 一 ）≥ ｆｕ ｔ ｒ ≥ 甜 ２ ｒ ｌ （ ＋ｋ ） ｌ （一 ｋ） ｔ ｔ ≥ ｚ
（） ８
由 一 是 ２≤ ≤ ｎ 有 ： ＋ ，
一
・ｌ７・ ３
一
类 差 分 方 程 的 振 动 性 研 究
王 剑 杰 （ 西财经大学应用数学学院， 山 山西 太原 ００ ６ ３０ ） ０
［ 要 研究了 类 有 续变 时 差 方 （－ （ ｒ ∑ ｔｈ。） ￡ａ 一ｏ ， ， 摘 ］ 一 具 连 量的 滞 分 程ｚ） ｚ — ） ￡ ｔ ＋ ａ Ｐ（ 一ｉ ， ｒ ｎ ￡（ ） 其中 ＞０
１
（ ｔ一 （ ） ≤ ∑ ￡ ） 一１ ） 一（ 面 可 ＋ｉ ＋（ ｒ
）（－ （一是ｒ Ｉ ）） －
１ Ｔ
．
ｔ ｔ ≥ ２
（） ６
由 件（ 知 一 分 条 ２ 存在 个充 小的ｅ ｏ ） 充分 使 ） ， 和 大的 ，得∑ ∑ Ｅ（ ∞
； １
。
￣ ａ ｈ ｊｓ］ｉ） ∞ 一 ｅ— ｌ ｔｎ Ｐ （－ ｖ ≥ ｎ －
（ 一 （一ｒ＋∑ ｔ ｈ ）（ Ｇ 一０ Ｐ（ Ｅｃ［ ， 。，＿ ￡ ￡ ） ） ａ Ｐ（ ｆ ） （。＋。） Ｉ ｎ ￡ － ） ￡ Ｒ）
ｚ １ 一
ｒ＞ ０
＞ ０
ｉ＝ ， ， ， ＝ ＝１ ２ … ｍ
（） １
获得了方程（） １ 所有解振动的判据。 中， 其 离散化部分推广 了文献［ ～ ６ 中的结果。 １ ］ 定 理 １ 设 Ｇ — ｋｒ ０， Ｅ Ｅ ，）志 为 正整 数 ， ＝ ｎ｛ 。 ｉ ｉ＋ ｉ ０ ｒ ， ｋ＝ ＝ｍｉ ｋ）如果 ：
ｒｆ
时 ，（一 ＞ ０ｉ １２ … ， ， ） ， 一 ， ， 令 （ ）一 Ｉ （） ， １ 两端从 ｔ 到 ｔ ｓ 式（） —ｒ 积分 ， ： 得
√ ｒ ｒ
“） 一） ｊｔ Ｐｓ（ Ｏ ｏ ＞２ ≤￡ ＋） 。一 ｒ 一ｒｎ －ｉ ￡ ｍｍ ， ｒ ＋ １Ｔ ｈ（ Ｓ ＇ ） ） ａ 一 一≤ Ｊ｛ １ ａ ｘ
（ 一ｕｔ ） （ ） —ｒ＋∑ — ｈ ｉ）（— ｖ≤ ０ ｔ ２ ｔ Ｐ（ｕｔ ｋ） ≥ｔ ａ —ｔ ｎ
一
（ ４ ）
（ ） ５
故 在 —ｒ 上 ｔ ｈ ￣ｓ有最／ｆ—ｎ Ｐ （ 又 “（ ≤ ０ ｚ 单调不增 ， 而有 ０一 ） “ ， ａ Ｐ （） ｎ ｂ ｉａｈ— ｔ 由 ￡ ｔ ￣） ） 知 ￡） （ 从 ≥ ０一忌 ， ： ）则
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ 觚旧ｚ ｎｖｒｉ （ ａ ｃ Ｅ ｉ Ｍａ．０ ０ ｏｒａ ｏ Ｙ ｔ Ｕ ｉ ｓ ｙ Ｎ ｔ ｉ ｄｔ ｅ ｅ ｔ Ｓ ） ｒ２ １ ．Ｖｌ． ． ：Ｓ ｉ Ｅ ｇ ｏ ７Ｎｏ １ ｃ ＆ ｎ １
长江大学 学报 （ 自然科 学版） ２１ 年 ３ 第 ７ 第 ｌ ００ 月 卷 期：理工
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１
１
￡
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故对 任意的 整数 ， 正 则当ｔ 有∑ ∑石 ≥ｔ时，
ｉ ｎ 一１ ＝ Ｊ
ｍ
≥口 对某个ｔ 。 在一 。 从而 ≥ｔ必存 个正整 ，
数绝 Ｅ ｎ 志＋ ２ ， ： Ｅ一 ，］ 使
＋ ｍ 一２
丽 ≥号
丽丽
≥号
（ ７ ）
［ 收稿 日期］２ ０ —１ — ０ ０ ９ ２ ２ ［ 作者简介］ 王剑杰 （９２ ） １８ 一 ，男 ，２０ 年大学毕业 ，硕 士 ， 教 ，现主要从事常微分方程与动力系统方面的教学与研究工作。 ０４ 助
１
＞ ０ Ｐ （）Ｅ ｃ ［ ４ ｏ ）Ｒ ＿， ＝ １２ … ， 得到 了方程 所有解振动 的充分条件 。 ， ｉ￡ （ ， － ｏ ， ＿ ｉ ） ， ， ｍ，
［ 关键词］差分 方程；振动性 ；最终正解 ［ 中图分类号］Ｏ１ ５ ７ ［ 文献标 识码 ］Ａ ［ 文章编号］１ ７ —１ ０ ２ １ ）０ Ｎ１７ ２ ６ ３ ４ ９ ｆ０ ０ １一 ３ —０