巧用等积法解题

巧用等积法解题
利用不同的方法表示同一个平面图形的面积，计算结果始终相等．利用这一原理证明或计算某些数学问题的数学方法称为等积法．利用等积法解题往往比其它思路更清晰，证法更简捷，尤其在勾股定理一章中体现得淋漓尽致．现举例说明．
一、整式乘法与因式分解
例1 如图1，计算此长方形的面积有几种方法？如何计算？你从计算中发现了什么？
分析图中矩形的面积可有两种计算方法：一是从整体考虑图中矩形是长和宽分别为(m＋b)和(n＋a)，因此面积为
(m＋b)·(n＋a)；
二是矩形有四块，面积分别为am，ab，mn，bn．由此可以得到乘法公式
(m＋b)·(n＋n)＝mn＋am＋bn＋ab．
此题中用两种方法算同一块图形的面积，面积相等这一规律很好地把式和形联系在一起．
二、几何问题中的证明或计算
例2 已知直角三角形的两条直角边分别为6和8，则斜边上的高为多少？
分析如图2，作高线AD，利用勾股定理列方程解决．但此法运算较为复杂．若用等积法可以使问题变得简单．
例3 如图3，在△ABC中，AB＝AC，P为BC上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，求证：PE＋PF为定值．
分析本题可通过构造全等的三角形以及平行四边形的知识解决，但运用等积法变得更简捷．
解如图4，连结AP，过点C作AB的垂线，垂足为G．
例4 如图5所示，在△ABC中，DC的长是BD的2倍，AF和FD的长相等，△ABC 的面积等于10平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米？
分析题中的条件十分隐蔽，既没有告诉我们三角形的底是多少，也没有告诉我们三角形的高是多少，所以初看此题，可能会感觉无从下手．但如果我们通过等积变形，巧妙地将三角形的面积进行转化，问题就迎刃而解了．
解如图6，连结ED．因为F和AD的中点，所以根据“等底等高的三角形面积相等”，可知△AEF与△EDF的面积相等，同理可知，AAFC与△FDC的面积也相等．也就是说，△AEC与△EDC的面积相等．这样就可以将阴影部分的面积转化为△EDC的面积，又因为DC的长是BD的2倍，所以△EDC的面积是△EBD的2倍，△ABC的面积是△EBD 的5倍，即阴影部分的面积为
10÷5×2＝4(平方厘米)．
例5如图7，ABCD为平行四边形，△DCE的面积是97平方厘米，求阴影部分面积．。