可测函数的定义及其简单性质

0
i 1
n
问题：怎样的函数可使Ei 都有“长度”(测 度)?
1可测函数定义 定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取 若
a R, E[ f a]

)，
可测，则称f(x)是E上的可测函数
例 (1) 零集上的任何函数都是可测函数。 注：称外测度为0的集合为零集；零集的子 集，有限并，可数并仍为零集
rQ
任取x E[ f a g ] , 则f ( x) a g ( x) 从而r Q, 使f ( x) r a g ( x) 即x ( E[ f r ] E[ g a r ] )
rQ
a-g(x)
r
f(x)
证明中利用了 Q是可数集和 反之 ( E[ f r ] E[ g a r ] ) E[ f a g ]也成立 R中的稠密集 rQ 两个性质
rQ
从而E[ f a g ] ( E[ f r ] E[ g a r ] )可测
rQ
类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 E[ f g ] 为可测集。
⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。
若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。
( x) sup{ f n ( x)}
n1 1 n

E[ f a] E[ f a 1 ] ( E[ f a 1 ] )
n1
n


n1
n
⒋可测函数的性质
⑴可测函数关于子集、并集的性质
即:若f(x)是E上的可测函数,
E1 E, E1 可测，
则f(x)限制在E1上也是可测函数；
En 反之，若 E n 1
E
n 1

[ f a
1 ] n
inf S 下确界： (1)是数集S的下界，即 x S , x
(2)是数集S的最大下界， 即 0, x S , 使得x
例： R1上的可微函数f(x)的导函数f `(x)是可测函数
gn(x)
证明：由于
若 lim f ( x) f ( x0 )
x x0
( ) ( )
(
)
即 0, 0,当| x x0 | 时，有 | f ( x) f ( x0 ) |
即 0, 0,当x O( x0 , ) 时，有f ( x) O( f ( x0 ), )
即O( x, x ) E E[ f a]
令G O( x , x )
xE[ f a ]
f(x0)+ε f(x0) f(x0)-ε a
则G为开集，当然为可测集，且
xE[ f a ] xE[ f a ]
x 另外G E ( O( x , x ) ) E (O( x, x ) E ) E[ f a ]
证明 ：只要证a R, E[ f g a] E[ f a g ]可测，
任取x E[ f a g ] , 则f ( x) a g ( x) 从而r Q, 使f ( x) r a g ( x) 即x ( E[ f r ] E[ g a r ] )
对前面等式的说明
E[ f a] E[ f a 1 ] ( E[ f a 1 ] )
n1

n


n1

n
[a,) (a ,) ( [a 1 ) n ,)
n1 1 n n1
( a-1/n
[ a ( a [ a+1/n
n1
(a,) [a ,) ( (a 1 n ,) )
由f单调增知下面的集合为可测集
E[ f a] {
E [ I a , ) 当I a { x| f ( x ) a} E ( I a , ) 当I a { x| f ( x ) a}
a I a x1 x2
⒊可测函数的等价描述
⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则
f(x)在E上可测 ( 即(1) a R, E[ f a]可测)
M m
M m | n ( x) f ( x) | n1 2
n 0
n 2n 次等分
可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限
例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则 f( g(x))是可测函数。 证明：要证f( g(x))是可测函数，只要证对任意a， E[f g>a]={x| f( g(x))>a}可测即可, {x| f( g(x))>a}= (f g)-1((a,+∞)) = g-1(f-1((a,+∞))) f-1((a,+∞)) =
注：用到了可测函数关于子集、并集的性质
⑵可测函数类关于四则运算封闭
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数, 则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x) 仍为E上的可测函数。 a-g(x) r f(x)
证明 ：只要证a R, E[ f g a] E[ f a g ]可测，
f (x 1 f ( x x) f ( x) n ) f ( x) f ' ( x) lim lim 1 x o n x n
从而f `(x)是一列连续函数（当然是可测函数）
的极限，故f `(x)是可测函数.
利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.
例 设{fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和发 散点全体是可测集.

, f(x)限制在En上是可测函数，
则f(x)在E上也是可测函数。

E1[ f a] E[ f a] E1
E[ f a] En[ f a]
n1
注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性
即： 设f(x)=g(x) a.e.于E， f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测
从而E[ f a g ] ( E[ f r ] E[ g a r ] )
rQ
从而E[ f a g ] ( E[ f r ] E[ g a r ] )可测
rQ
类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则 E[ f g ] 为可测集。
任取x E[ f a g ] , 则f ( x) a g ( x) 从而r Q, 使f ( x) r a g ( x) 即x ( E[ f r ] E[ g a r ] )
即 0, 0, 使得f (O( x0 , ) ) O( f ( x0 ), )
f(x) 在 x0 [a, b] 处连续(对闭区间端点则用左或右连续)
可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数
证明：任取x∈E[f>a], 则f(x)>a,由连续性假设知，
对 f ( x) a, x 0, 使得f (O( x, x ) E) O( f ( x), ) (a,)
(2)简单函数是可测函数
n
可测函数 a R, E[ f a]可测
若 E E ( Ei 可测且两两不交），f(x)在 每个Ei上取常值 ci，则称f(x)是E上的简单函数；
i 1 i
f ( x) ci Ei ( x)
i 1
n Leabharlann ( x) i1 xEi 0 xE Ei
E[ f a ] E
n 1 [ f a 1 ] n
E[ f a ] ( E[ a f a n ] ) E[ f ]
n 1

E[ f a ] E
n 1
1 [ f a ] n
E[ a f b ] E[ f a ] E[ f b ]
任取x E[ f a g ] , 则f ( x) a g ( x) 从而r Q, 使f ( x) r a g ( x) 即x ( E[ f r ] E[ g a r ] )
rQ
⑵可测函数类关于四则运算封闭
即:若f(x),g(x)是E上的可测函数, 则f(x)+g(x) , f(x) -g(x) , f(x)g(x) , f(x)/g(x) 仍为E上的可测函数。 a-g(x) r f(x)
f n lim f n ] 证明：发散点全体为 E[lim n n
收敛点全体为 E[lim f n lim f n ]
n n
再 在利用 lim f n和 lim f n是可测函数即可
n n
注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同.
⒌可测函数与简单函数的关系
M m
M m
n1

推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数 （连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。
对上式的说明：
( x) inf{f n ( x)}
E[ a ] E[ f n a ]
n1
( a-1/n
[ a
比较：E[ f a ] E
n 1

[ f a
1 ] n
第三章 可测函数
第一节 可测函数的定义及其简单性质
新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）
yi yi-1
Ei {x : yi 1 f ( x) yi }
yi 1 i yi
用 mEi 表示 Ei 的“长度”
( L)
[ a ,b ]
f ( x)dx lim i m Ei
注：Dirichlet函数是简单函数
0 1
（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数
设f(x)为E上有限实函数，称f(x) 在 x0 E 处连续 若 0, 0, 使得f (O( x0 , ) E) O( f ( x0 ), )
对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，f ( x)在x0 (a, b)处连续
n n m n
( x) inf{ f n ( x)}
lim sup f n ( x) inf sup{ f m ( x)} lim inf f n ( x) sup inf{ f m ( x)}
n n m n
E[ a] E[ f n a]
n1

E[ a] E[ f n a]
０
()
所以E[ f a ] ( O( x, ) ) E G E 反之 xE
[ f a ] x
故E[ f a] G E为可测集
⑷ R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。 证明：不妨设f单调增，对任意a∈R
令I a inf{x | f ( x) a}
( ai , bi )
i
g 1 ((ai , bi )) ( g 1 (( ai , bi )))
i i
g 可测
f 连续
第三章 可测函数
rQ
a-g(x)
r
f(x)
证明中利用了 Q是可数集和 反之 ( E[ f r ] E[ g a r ] ) E[ f a g ]也成立 R中的稠密集 rQ 两个性质
从而E[ f a g ] ( E[ f r ] E[ g a r ] )
(2) a R, E[ f a]可测 (3) a R, E[ f a]可测 (4) a R, E[ f a]可测 (5) a, b R, a b, E[a f b]可测(充分性要求 | f ( x) | )
证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及
若m (E[f≠g])=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立, 记作f(x)=g(x) a.e.于E。（almost everywhere）
证明：令E 1= E[f≠g]， E 2= E[f=g]，则m E1=0 从而 g(x)在E1上可测 ， 另外f(x)在E2上可测，从而 g(x)在E2上也可测 ， 进一步g(x)在E=E1 ∪E2上也可测 。