高考数学二轮复习微专题13利用基本不等式求代数式的最值问题(含解析)

微专题13 利用基本不等式求代数式的最值问题
基本不等式是高中数学的一个重要知识点，在全国各地的高考考纲中都属于C 级(熟例题：(2017·苏锡常镇二模)已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，求a24－2a ＋b2－
1
b 的最小值．
变式1若x>0，y>0，且x2＋y2＝1，则x 1－x2＋y
1－y2的最小值是________________．
变式2(2018·苏州调研三)设正实数x ，y 满足xy ＝x ＋9y
y －x
，则y 的最小值是________________．
串讲1已知正实数x ，y 满足x ＋2x ＋3y ＋4
y ＝10，则xy 的取值范围为________________．
串讲2已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m
M 的值为
________________．
(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a
＋18b 的最小值为________________．
若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，求4a －1＋16
b －1的最小值．
答案：16.
解析：因为a>0，b>0，1a ＋1
b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，2分
则
4a －1＋16b －1＝4（b －1）＋16（a －1）（a －1） （b －1）＝4b ＋16a －20ab －（a ＋b ）＋1
又4b ＋16a ＝4(b ＋4a)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝20＋4×b a ＋4a b ≥20＋4×2× b a ·4a
b
＝36，6分 微专题13
例题
答案：7.
解法1a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 2＋4b 2
4
－1，下面只要求a 2＋4b 2
的最小值即可．因为a ＋2b ＝
ab≥2ab ，所以ab≥8，当且仅当a ＝2b ＝4时取等号；又a 2＋4b 2
≥2(a·2b)≥32，当且仅
当a ＝2b ＝4时取等号，则a 2＋4b
24
－1≥7.
解法2a 2
4－2a ＋b 2－1b ＝a 2
＋4b 2
4－1＝（a ＋2b ）2
－4ab 4－1＝a 2b 2
－4ab 4－1＝
（ab －2）2
－44－1；因为a ＋2b ＝ab≥2ab ，得ab≥8，当且仅当a ＝2b ＝4时取等号，所以
（ab －2）2
－4
4－1≥7.
解法3因为ab －a －2b ＝0，所以a ＝2b b －1.那么a 2＋4b 2＝4b 2
＋4b 2
（b －1）2
4⎣⎢⎡⎦
⎥⎤（c ＋1）2＋（c ＋1）2
c 2＝ 4⎣
⎢⎡⎦⎥⎤c 2＋1c 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ＋2＝
4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭
⎪⎫c ＋1c 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c
≥4(22a 2
＋4b
2
4
－1≥7.
解法4因为ab －a －2b ＝0，有2a ＋1b ＝1，则a 2＋4b 2＝(a 2＋4b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2
a ＋1
b 2≥4ab·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2
2ab 2
＝32.，则a 2
＋4b
2
4
－1≥7.
解法5因为ab －a －2b ＝0，则2a ＋1b ＝1，则a 2＋4b 2＝(a 2＋4b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2
a ＋1
b 2＝a 2b 2＋16b 2a 2＋4a b ＋
16b a a 2
＋4b
2
4
－1≥7.
解法6因为ab －a －2b ＝0，令a ＝m ＋n ，2b ＝m －n ，有m 2
－n 2
＝4m ，n 2
＝m 22
＋4b 2
＝2(m 2
＋n 2
)＝2(2m 2
－4m)＝4(m －1)2
－4≥4(4－1)2a 2
＋4b 2
4
－1≥7.
解法7因为ab －a －2b ＝0，则2a ＋1b ＝1，设a ＝2cos 2θ，b ＝1sin 2θ；那么a 2＋4b 2
＝4cos 4
θ
＋4
sin 4θ＝4·sin 4θ＋cos 4θ
sin 4θcos 4θ
＝ 4·1－2sin 2
θcos 2
θsin 4θcos 4θ
＝
4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t 2－2t ，其中t ＝ sin 2
θcos 2
θ＝
sin 22θ4
≤1
4
，
则4⎝ ⎛⎭⎪
⎫1t 2－2t a 2＋4b 2
4
－1≥7. 解法8因为ab －a －2b ＝0，则2a ＋1b ＝1，设a ＝2cos 2θ，b ＝1sin 2θ，那么a 2＋4b 2
＝4cos 4
θ
＋4
sin 4θ＝4⎣
⎢⎡（sin 2θ＋
cos 2θ）2
sin 4θ＋ ⎦
⎥⎤
（sin 2θ＋cos 2θ）2
cos 4θ＝4 ⎣
⎢⎡sin 4
θ＋cos 4
θ＋2sin 2
θcos 2
θsin 4θ＋
⎦⎥⎤sin 4θ＋cos 4θ＋2sin 2θcos 2θcos 4θ＝4⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1＋t 4＋2t 2＋2t 2＋1t 4＋1a 2＋4b 2
4－1≥7. 说明：也可利用幂平均不等式得到如下结果：4
cos 4
θ＋4
sin 4θ
＝ 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤13
（sin 2θ）2＋13
（cos 2θ）2≥
4（1＋1）3
（sin 2θ＋cos 2θ）2＝32. 变式联想
变式1
答案：2 2.
解析：x 1－x 2＋y 1－y 2＝x y 2＋y
x 2≥
2
1xy ＝2xy
≥2
x 2＋y 22
＝ 2 2. 变式2
答案：3＋10.
解析：由题意可知y －x ＝1y ＋9x ，即y －1y ＝x ＋9
x ≥6，当且仅当x ＝3时，取等号；由y>0，
y －1y ≥6可知y 2
－6y －1≥0，解得y≥3＋10. 串讲激活
串讲1
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1，83.
解析：设xy ＝k ，代入整理得10＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋4k x ＋
3k ＋2x ≥
2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋4k （3k ＋2），解得1≤k≤83.
串讲2 答案：
2
2
. 解法1令a ＝1－x ，b ＝x ＋3，则a 2
＋b 2
＝4.又由－1≤x≤3可知a ，b ∈[0，2]．由
（a ＋b ）24＝a 2＋2ab ＋b 2a 2＋b 2
＝1＋2ab a 2＋b 2，当ab ＝0时，a ＋b ＝2；当ab≠0，（a ＋b ）2
4＝1＋2ab
a 2＋
b 2＝1＋2
b a ＋a b
，由b a ＋a b ≥2得1<（a ＋b ）2
4≤2，
即2<a ＋b≤2 2.综上可知，a ＋b∈[2，22]，m M ＝2
2
.
解法2y 2
＝4＋24－（x ＋1）2
∈[4，8]，∵y ≥0，∴y ∈[2，22]∴m＝α，M ＝22，∴m M ＝22
. 解法3设1－x ＝2cos α，3＋x ＝2sin α，α∈[0，π
2
]，
∴y ＝22sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，∴y ∈[2，22]，下面同解法2. 新题在线
答案：1
4
.
解析：由a －3b ＋6＝0可知a －3b ＝－6，且2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ，因为对于任意x ，2x
>0
恒成立，结合均值不等式的结论可得2a
＋2
－3b
≥2×2a ×2
－3b
＝2×2－6
＝14
，当且仅当
⎩
⎪⎨⎪⎧2a ＝2－3b
，a －3b ＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－1，时等号成立．综上可得2a ＋18b 的最小值为14.。