江苏省姜堰市励才实验学校高三数学周练(九) 苏教版

姜堰市励才实验学校高三数学周练(九)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）．1. 已知U为实数集，2{|20},{|M x x x N x y =-<=，则)(N C M U ⋂={|01}x x <<2．在"1___9___4"=+中的“_ ▲__”处分别填上一个自然数，并使它们的和最小. 10；15 3．已知两条直线m n ，，两个平面αβ，．给出下面四个命题：①m n ∥，m n αα⇒⊥⊥；②αβ∥，m α⊂，n m n β⊂⇒∥； ③m n ∥，m n αα⇒∥∥；④αβ∥，m n ∥，m n αβ⇒⊥⊥．其中正确命题的序号是 ①、④ ．4．设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = 2 . 5．已知复数i m m m m )242()43(22--+-+（R m ∈）是纯虚数，则（im -1）2的值 为 i 21．6．如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2， 且侧棱1111AA A B C ⊥面,正视图是边长为2的正方形， 该三棱柱的左视图面积为___7．函数[]()sin (π0)f x x x x =∈-，的单调递 增区间是_ π06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，8．已知命题P ：“对R m R x ∈∃∈∀,使0241=+-+m x x”，若命题P ⌝是假命题，则实数m 的取值范围是：_ 1≤m ______9．若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则tan tan αβ=1210．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数)]6(6cos[-+=x A a y π（x =1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 20.5 ℃． 11．已知数列}{n a 的通项公式为n n n a )2(-⋅=，则数列{nnb a }成等比数列是数列}{n b 的通项公式为n b n =的 必要不充分 条件（对充分性和必要性都要作出判断）12．设2()lg 1f x a x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是(10)-，13．若不等式组220x y x y y x y a-0⎧⎪+⎪⎨⎪⎪+⎩≥，≤，≥，≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是01a <≤或43a ≥14．观察下列恒等式：∵ ααααtan 2)tan 1(2tan 1tan 22--=-，∴ ααα2tan 2tan 1tan -=---------------------------① ∴ ααα4tan 22tan 12tan -=------------------------②∴ ααα8tan 24tan 14tan -=------------------------③由此可知：32tan 18tan 416tan 232tan ππππ-++ = -8 ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.）15．已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π的最大值与最小值．解：（Ⅰ）设ABC △中角AB C ，，的对边分别为a b c ，，， 则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)θθ=+πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．16.设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．（I ）求实数a 的取值范围；（II ）试比较(0)(1)(0)f f f -与116的大小．并说明理由．解：（Ⅰ）令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，01133a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，03a ⇔<<- 第6题图_1 _ A _1 _ B_ A_1 _ A _1 _ B _ A 正视图ABC DE F 故所求实数a的取值范围是(03-，．（II ）2(0)(1)(0)(0)(1)2f f f g g a -== ，令2()2h a a =．当0a >时，()h a 单调增加，∴当03a <<-时，20()32)2(22)2(17122)h a h <<=--1216=<，即1(0)(1)(0)16f f f -< ．17．（本小题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，CB=CD,BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB,BD 的中点． 求证：（1）直线EF// 面ACD ； （2）平面⊥EFC 面BCD ．证明：（1）∵E,F 分别是AB BD ，的中点．∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ∥⊄面ACD ，AD ⊂面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ； （2）∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD ，∵CB=CD ，F 是ＢＤ的中点，∴CF ⊥BD又EF ∩CF=F, ∴BD ⊥面EFC ， ∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD18. 某国由于可耕地面积少，计划从今年起的五年填湖围造一部分生产和生活用地，若填湖费、购置排水设备费等所需经费与当年所填湖造地面积x （亩）的平方成正比，其比例系数为a ，设每亩水面的年平均经济效益为b 元，填湖造地后的每亩土地的年平均收益为c 元（其中a ，b ，c 均为常数）。

（1）若按计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x 的最大值。

（2）如果填湖造地面积按每年1%的速度减少，为保证水面的畜洪能力和环保要求，填湖造地的总面积不能超过现有水面面积的25%，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几。

注：根据下列近似值进行计算：0.992≈0.98, 0.993≈0.97, 0.994≈0.96, 0.995≈0.95, 0.996≈0.94,0.997≈0.93.解： 填湖面积 填湖及排水设备费 水面经济收益 填湖造地后收益x （亩） ax 2（元） bx cx（1）收益不小于支出的条件可以表示为,2bx ax cx +≥ 所以.0)]([,0)(2≤--≤-+b c ax x x c b ax当,0,0时即≤≤-≤-x abc b c 此时不能填湖造地； 当c －b>0，即,0时a b c x -≤≤此时所填面积的最大值为abc -亩。

（2）设该地现在水面m 亩，今年填湖造地x 亩。

则,25.0%)11(%)11(%)11(%)11(432m x x x x x ≤-+-+-+-+即.20,499.01)99.01(5mx m x ≤≤--所以 因此今年填湖造地面积最多只能占现有水面的20119.观察下列三角形数表1 -----------第一行2 2 -----------第二行34 3 -----------第三行 4 7 7 4 -----------第四行5 11 14 11 5… … … …… … … … …假设第n 行的第二个数为(2,N )n a n n *≥∈，（Ⅰ）依次写出第六行的所有6个数字； （Ⅱ）归纳出1n n a a +与的关系式并求出n a 的通项公式；（Ⅲ）设1,n n a b =求证：23b b ++…2n b +<解：（1）第六行的所有6个数字分别是6，16，25，25，16，6； （2）依题意)2(1≥+=+n n a a n n ，22=a)(......)()(134232--++-+-+=n n n a a a a a a a a(2)(1)223......(1)22n n n -+=++++-=+，所以)2(121212≥+-=n n n a n ；（3）因为1,n n a b =所以)111(222222n n n n n n b n --=-<+-= )]111(...3121()2111[(2......432n n b b b b n --++-+-<++++2)11(2<-=n20.已知d cx bx x x f +++=23)(在)0,(-∞上是增函数，在[]2,0上是减函数，且方程0)(=x f 有三个根，它们分别为α，2，β.(Ⅰ)求c 的值；(Ⅱ)求证：2)1(≥f ；(Ⅲ)求βα-的取值范围.解：(1)c bx x x f ++=23)(2/, )(x f 在)0,(-∞上是增函数，在[]2,0上是减函数 ∴当0=x 时, )(x f 取得极大值.∴0)0(/=f 即0=c(2)由2是0)(=x f 的根,∴0)2(=f ,)2(4+-=b d ,c bx x x f ++=23)(2/的两个根分别为32,021b x x -==∵在[]2,0上是减函数,∴2322≥-=bx ,即3-≤b 2371)1(3≥--=+++=b d c b f(3)由方程0)(=x f 有三个根，它们分别为α，2，β.可设)2)()(()(---=x x x x f βααβαββαβα2)22()2()(3-+++++-=x x x x f 即:βα---=2b ,αβ2-=d∴βα-=316)2(2)2(4)(222≥--=++=-+b d b αββα。