高一物理机械能守恒题型总结(教师版)

机械能守恒定律的综合运用
【典型例题】
问题1、单一物体的机械能守恒问题：
例1. 是竖直平面内的四分之一圆弧形轨道，在下端B点与水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑，已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦，求：
（1）小球运动到B点时的动能；
（2）小球下滑到距水平轨道的高度为R时速度的大小和方向；
（3）小球经过圆弧形轨道的B点和水平轨道的C点时，所受轨道支持力各是多大。

解析：（1）小球从A滑到B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，则。

（2）由机械能守恒有。

小球速度大小为，速度方向沿圆弧在该点的切线方向向下，如图所示，即图中角。

由几何关系知，速度方向与竖直方向的夹角为。

（3）由机械能守恒得①
由牛顿第二定律得②
由①②式解得。

小球运动到C点，在竖直方向上受力平衡，。

答案：（1）。

（2），与竖直方向夹角。

（3）；mg。

变式、如图所示，O点离地面高度为H，以O点为圆心，制作四分之一光滑圆弧轨道，小球从与O点等高的圆弧最高点滚下后水平抛出，试求：
（1）小球落地点到O点的水平距离；
（2）要使这一距离最大，R应满足何条件？最大距离为多少？
解析：（1）小球在圆弧上滑下过程中受重力和轨道弹力作用，但轨道弹力不做功，即只有重
力做功，机械能守恒，可求得小球平抛的初速度。

根据机械能守恒定律得
设水平距离为s，根据平抛运动规律可得
（2）因H为定值，则当时，即时，s最大，最大水平距离。

问题2、双物体的机械能守恒问题：
例2. 如图所示，质量分别为2m、m的两个物体A、B可视为质点，用轻质细线连接跨过光滑圆柱体，B着地A恰好与圆心等高，若无初速度地释放，则B上升的最大高度为多少？
解析：释放后，系统加速运动，当A着地时B恰好达水平直径的左端，此时A、B速度均
为，这一过程系统机械能守恒，此后B物体竖直上抛，求出最高点后即可得出结果，下面用机械能守恒定律的三种表达式来求解。

（1）用求解。

由
有，
得，B以竖直上抛，则上抛最大高度，故B上升的最大高度为。

（2）用△求解。

对A、B系统，△，△，
由△有，得。

同理可得。

（3）用△求解。

对A物体：△，对B物体：△。

由△有，则。

同理可得。

答案：。

变式1、如图所示，A物体用板托着，位于离地面处，轻质细绳通过光滑定滑轮与
A、B相连，绳子处于绷直状态，已知A物体质量，B物体质量，现将板抽走，A将拉动B上升，设A与地面碰后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，问：B 物体在上升过程中离地的最大高度为多大？（取）
解析：在A下降B上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得
解得
代入数据有
A着地后，B做竖直上抛运动，竖直上抛能上升的高度为
代入数据有
B物体上升过程中离地面的最大高度为。

答案：。

变式2、一轻绳通过无摩擦的定滑轮和在倾角为角的光滑斜面上的物体连接，另一端和套在光滑竖直杆上的物体连接，设定滑轮到竖直杆距离，又知物体由静止从AB连接为水平位置开始下滑时，和受力恰平衡，如上图所示，（）求：
（1）下滑过程中的最大速度；
（2）沿竖直杆能够向下滑的最大距离。

解析：（1）、与地组成的系统的机械能守恒，物体由静止开始先做加速度不断减小的加速运动，当加速度减小到0时，速度最大，此时受力平衡，随后，向下做加速度不断增大的减速运动，速度为0时下滑到最大距离，选取AB水平面为重力势能零势能面，设的最大速度为，对从B到C过程，设开始时斜面上绳长为，至C时斜面上绳长为，由机械能守恒定律：
①
设∠ACB=，则，，
则，②
又。

③
再根据、此时受力平衡，可知绳子拉力：
，，
∴，④
将②、③、④代入①式，整理得：。

（2）设沿竖直杆能够向下滑的最大距离为H，设此时斜面上绳长为，则由机械能守恒定律：
，
又，
代入上式解得。

问题3、机械能守恒与圆周运动的综合问题：
例3. 把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆（如图所示），摆长为l，最大偏角为，小球运动到最低位置时的速度是多大？
解析：小球摆动过程中受重力和细线的拉力作用，细线的拉力与小球的运动方向垂直，不做功，所以这个过程中只有重力做功，机械能守恒。

小球在最高点作为初状态，如果把最低点的重力势能定为0，在最高点的重力势能就是
，而动能为零，即。

小球在最低点作为末状态，势能，而动能可以表示为。

运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，即。

把各个状态下动能、势能的表达式代入，得
，
由此解出。

从得到的表达式可以看出，初状态的角越大，越小，就越大，v也就越大，也就是说，最初把小球拉得越高，它到达最下端时的速度也就越大，这与生活经验是一致的。

答案：。

变式1、如图所示，用一根长为L的细绳，一端固定在天花板上的O点，另一端系一小球A，在O点的正下方钉一钉子B，当质量为m的小球由水平位置静止释放后，小球运动到最低点时，细线遇到钉子B，小球开始以B为圆心做圆周运动，恰能过B点正上方C，求OB 的距离。

解析：小球在整个运动过程中，仅受到重力和绳的拉力，而拉力对它不做功，所以在整个运动过程中机械能守恒，小球从释放位置运动到C点的过程中机械能守恒，以过C的水平面为零势能面，设小球在C点的速度为
则有：
而
所以
小球在竖直平面内以B为圆心做圆周运动，而且恰能经过C点，即在C点仅由重力提供向心力，所以：
由以上各式可得：，则
变式2、如图所示，半径的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与粗糙的水平地面相切于圆环的端点A，一质量m=0.10kg的小球，以初速度在水平地面
上向左做加速度的匀减速直线运动，运动后，冲上竖直半圆环，最后小球落在C点，求A、C间的距离（）
解析：匀减速运动过程中，有。

恰好做圆周运动时物体在最高点B满足：
，得。

假设物体能到达圆环的最高点B，由机械能守恒有
，
解得。

因为，所以小球能通过最高点B。

小球从B点做平抛运动，有
，，
解得。

答案：1.2m。

变式3、如图所示，一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道ABC，其半径，轨
道在C处与水平地面相切，在C处放一小物块，给它一水平向左的初速度，结果它沿CBA运动，通过A点，最后落在水平地面上的D点，求C、D间的距离s。

取重力加速度。

解析：设小物块的质量为m，过A处时的速度为v，由A到D经历的时间为t，有。

①。

②。

③
由①②③式并代入数据得。

答案：1m。

【模拟试题】
1、如图所示，某人站在阳台上，以的速度把质量为m的小球斜向上抛出，不计空气的
阻力，则小球到达空中的B点时的动能为
A. B.
C. D.
2、将一球竖直上抛，若该球所受的空气阻力大小不变，则其上升和下降两过程的时间及损失的机械能的关系是
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
3、如图所示的装置中，木块M与地面间无摩擦，子弹m以一定的速度沿水平方向射入木块并留在其中，然后，将弹簧压缩至最短，现将木块、子弹、弹簧作为研究对象，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的过程中系统的
A. 机械能守恒
B. 机械能不守恒
C. 产生的热能等于子弹动能的减少量
D. 弹簧压缩至最短时，动能全部转化成热能
4、一个物体以一定的初速度竖直上抛，不计空气阻力，那么如图中，表示物体的动能
随高度h变化的图象A，物体的重力势能随速度v变化的图象B，物体的机械能E随高度h变化的图象C，物体的动能随速度v的变化图象D，可能正确的是
5、以相同大小的初速度将物体从同一水平面分别竖直上抛和斜上抛，沿光滑的足够长的固定斜面的表面上滑，如图所示，三次达到的高度分别为、、，空气阻力不计，
则下列判断正确的是
A. B.
C. D.
6、某同学身高1.8m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8m高的横杆，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度大约为（g取）
A. B. C. D.
7、如图所示，将一根长的金属链条拉直放在倾角的光滑斜面上，链条下
端与斜面下边缘相齐，由静止释放后，当链条刚好全部脱离斜面时，其速度大小为______。

（g取）
8、小钢球质量为m，沿光滑的轨道由静止滑下，轨道形状如图所示，与光滑轨道相接的圆形轨道的半径为R，要使小球沿光滑圆轨道恰能通过最高点，物体应从离轨道最低点多高的地方开始滑下？
9、细绳的一端固定，另一端系一质量为m的小球，小球绕细绳的固定点在竖直平面内做圆周运动，绳在最高点和在最低点的拉力差为多大？
10、如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角，另一边与地面垂直，顶上有
一定滑轮，一柔软的细线跨过定滑轮，两边分别与A、B连接，A的质量为4m，B的质量为m。

开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。

物体A与斜面间无摩擦，设当A沿斜面下滑s距离后，细线突然断了，求物块B上升的最大距离H。

【试题答案】
1. B（选B点所在平面为零势能面，则小球在B点只有动能，而在A点处机械能为
，由机械能守恒可知，故选项B正确。

）
2. C（上升和下降两过程，小球通过的位移大小相等，由受力分析知小球上升过程的加速度大于下降过程的加速度，小球上升的时间应小于下降的时间；小球运动过程中损失的机械能等于克服空气阻力做的功，因为空气阻力大小不变，上升、下降两过程的位移大小相等，所以上、下过程损失的机械能相等。

）
3. B （子弹以一定的速度沿水平方向射向木块并留在其中这一过程中，摩擦力对M做的功（M位移小）小于子弹克服摩擦力做的功，机械能减少，机械能不守恒，子弹减少的动能一部分转化为热能，另一部分转化成M的动能和弹簧的势能，然后，将弹簧压缩至最短这一过程中只有系统内弹力做功，机械能守恒，但全过程机械能不守恒，从子弹射向木块直至弹簧被压缩至最短，动能一部分转化成热能，另一部分转化成势能。

应选B。

）
4. A、B、C、D（以一定初速度竖直上抛的物体，不计空气阻力，机械能守恒，因此C选
项正确，由机械能守恒定律可得，所以A选项正确，由公式
可知B选项正确，又因为，所以D选项正确。

）
5. D（由于在三种情况下，均只有重力对物体做功，因此物体的机械能守恒，竖直上抛运动，物体在最高点时的速度为零，选取抛出点为零势能参考面，则物体在初状态的机械能为
，末状态的机械能为，由机械能守恒定律，可得
，∴。

对于斜上抛运动，物体到达最高点时速度不为零，设为，
则由机械能守恒定律可得，∴，∴，对
于沿光滑斜面向上滑动的物体，到达最高点时物体的速度为零，因此有，∴
，，故答案应选D。

）
6. B（设该同学的重心在其身体的中点上，把他看成质点，他上升的最大高度是，根
据机械能守恒，，即，所以最接近。

）
7. （取水平面为参考平面，根据机械能守恒定律有，解得。

）
8. 。

（刚释放时，小球的机械能为。

到达圆轨道的最高点时机械能为。

根据机械能守恒定律：。

要使小球刚好沿圆轨道通过最高点，应有
，，
解得。

）
9. 。

（在最高点，设此时小球的速度为，绳子拉力为，由向心力公式可得
，
∴。

①
小球在做圆周运动时，从最高点向最低点运动过程中机械能守恒，设绳子长度为L，最低点时速度为，则由机械能守恒定律△可得。

②
小球在最低点时，设绳的拉力为，则有
，∴。

③
由①②③式，且可得。

）
10. （设物体A沿斜面向下滑动s时速度为v，则由机械能守恒定律可得：
s，即为。

①
细线断开瞬间，物块B上升的速度为，此后B做竖直上抛运动，设上升的距离为h，则有。

②
物体B上升的最大高度。

③
由①②③式，可解出）。