高考数学二轮专题复习提能增分篇突破三大题冲关解答题的应对技巧保分题冲关系列2文

保分题冲关系列(二)
(时间：45分钟 分数：60分)
1．(2015·山东聊城二模)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知A ＝π6
，a ＝b cos C .
(1)求角C 的大小；
(2)如图，在△ABC 的外角∠ACD 内取一点P ，使PC ＝2，过点P 作PM ⊥CA 于M ，PN ⊥CD 于N ，设线段PM ，PN 的长分别为m ，n ，∠PCM ＝x ，且
π6<x <π2
，求f ()x ＝mn 的最大值及相应x 的值．
解：(1)由a ＝b cos C 和余弦定理，得
2a 2＝a 2＋b 2－c 2，即a 2＋c 2＝b 2，
所以△ABC 是直角三角形，其中B ＝π2，A ＝π6
， 于是得C ＝π3
. (2)在Rt △PMC 中，PC ＝2，∠PMC ＝π2，∠PCM ＝x ，π6＜x ＜π2，所以m ＝PC sin x ＝2sin x .
在Rt △PNC 中，PC ＝2，∠PNC ＝π2，∠PCN ＝2π3
－x ， 所以n ＝PC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3－x . 于是f (x )＝mn ＝2sin x ·2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝4sin x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫sin 2π3cos x －cos 2π3sin x ＝23sin x cos x ＋2sin 2
x ＝3sin 2x ＋1－cos 2x
＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1. 因为π6＜x ＜π2，所以π6＜2x －π6＜5π6，
当2x －π6＝π2，即x ＝π3
时，f (x )取得最大值3. 2．(2015·内蒙古呼伦贝尔二模)已知公差不为零的等差数列{a n }，满足a 1＋a 3＋a 5＝12.且a 1，a 5，a 17成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求使S n ＜5a n 成立的最大正整数n 的值．
解：(1)∵a 1＋a 3＋a 5＝12，
∴3a 3＝12，∴a 3＝4.
∵a 1，a 5，a 17成等比数列，
∴a 25＝a 1a 17，
∴(4＋2d )2＝(4－2d )(4＋14d )，
∵d ≠0，解得d ＝1，
∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝4＋(n －3)＝n ＋1，
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n ＋1，n ∈N *.
(2)∵a n ＝n ＋1，S n ＝n n ＋2， ∴n n ＋2≤5(n ＋1)，
即n 2－7n －10≤0，即7－892≤n ≤7＋892
，且n ∈N *， ∴n ＝8，即n 的最大值是8.
3.(2015·山东济南二模)济南天下第一泉风景区为了做好宣传工作，准备在A 和B 两所大学分别招募8名和12名志愿者，将这20名志愿者的身高编成如图所示茎叶图(单位：cm)．若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高精灵”，身高在175 cm 以下 (不包括175 cm)定义为“帅精灵”．已知A 大学志愿者的身高的平均数为176 cm ，B 大学志愿者的身高的中位数为168 cm.
(1)求x，y的值；
(2)如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选2人．求至少有一人为“高精灵”的概率．
解：(1)由题意，得
159＋168＋170＋170＋x＋176＋182＋187＋191
8
＝168，
160＋y＋169
2
＝168，
解得x＝5，y＝7.
(2)由题意知“高精灵”有8人，“帅精灵”有12人，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，则抽取的“高精灵”和“帅精灵”的人数分别为：
8×5
20＝2和12×
5
20
＝3.
记抽取的“高精灵”为b1，b2，抽取的“帅精灵”为c1，c2，c3，
从已抽取的5人中任选两人的所有可能为：
(b1，b2)，(b1，c1)，(b1c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10种．
设“选取的两人中至少有一人为“高精灵””为事件A，则事件A包括(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共7种．
所以P(A)＝7
10
.
因此，如果用分层抽样的方法从“高精灵”和“帅精灵”中抽取5人，再从这5人中选
2人，则至少有一人为“高精灵”的概率为7
10
.
4．(2015·山东菏泽一模)如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC，FD，形成如图所示的多面体，且AC＝ 6.
(1)证明：平面ABEF ⊥平面BCDE ；
(2)求三棱锥E －ABC 的体积．
(1)证明：正六边形ABCDEF 中，连接AC ，BE ，交点为G ，
易知AC ⊥BE ，且AG ＝CG ＝3，
在多面体中，由AC ＝6，知AG 2＋CG 2＝AC 2
，
故AG ⊥GC ，
又GC ∩BE ＝G ，GC ，BE ⊂平面BCDE ，
故AG ⊥平面BCDE ，
又AG ⊂平面ABEF ，所以平面ABEF ⊥平面BCDE ；
(2)解：连接AE ，CE ，则AG 为三棱锥A －BCE 的高，GC 为△BCE 的高．在正六边形ABCDEF 中，BE ＝2AF ＝4，
故S △BCE ＝12×4×3＝23， 所以 V E －ABC ＝V A －BCE ＝13×23×3＝2.。