高中数学第5章导数及其应用1、2瞬时变化率__导数提升训练苏教版选择性必修第一册

瞬时变化率——导数
基础过关练
题组一 曲线的割线、切线的斜率
1.已知函数f (x )=x 2
图象上四点A (1,f (1))、B (2,f (2))、C (3,f (3))、D (4,f (4)),割线AB 、
BC 、CD 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则 ( )
A.k 1<k 2<k 3
B.k 2<k 1<k 3
C.k 3<k 2<k 1
D.k 1<k 3<k 2
2.过曲线y =x 2
+1上两点P (1,2)和Q (1+Δx ,2+Δy )作曲线的割线,当Δx =0.1时,割线的斜率为 ;当Δx =0.001时,割线的斜率为 .
3.若抛物线y =x 2-x +c 上一点P 的横坐标是-2,在点P 处的切线恰好过坐标原点,则实数c 的值为 .
题组二 瞬时速度与瞬时加速度
4.(2020江苏苏州中学高二下阶段调研)一个物体的位移s 关于时间t 的运动方程为
s (t )=1-t +t 2,其中s 的单位:m,t 的单位:s,那么物体在t =3 s 时的瞬时速度是 ( )
A.5 m/s
B.6 m/s
C.7 m/s
D.8 m/s
5.(2020江苏无锡一中高二下期中)一辆汽车做直线运动,位移s 与时间t 的关系为s =at 2
+1,若汽车在t =2时的瞬时速度为12,则a = ( ) A.12 B.1
3 C.2 D.3
6.(2020江苏常熟高二下期中)火车开出车站一段时间内,速度v (单位:m/s)与行驶时间t (单位:s)之间的关系是v (t )=0.4t +0.6t 2
,当加速度为2.8 m/s 2
时,火车开出去 ( )
A.3
2 s B.2 s C.5
2 s D.7
3 s
7.(2020北京陈经纶中学高二下期中)若一辆汽车在公路上做加速运动,设t 秒时的速度为
v (t )=1
2t 2+10,其中v 的单位是m/s,t 的单位是s,则该车在t =2 s 时的瞬时加速度
为 .
8.已知某物体的运动方程是s ={
3t 2+2,0≤t <3,29+3(t -3)2
,t ≥3,
则该物体在t =1时的瞬时速度
为 ;在t =4时的瞬时速度为 .
9.航天飞机升空后一段时间内,第t s 时的高度为h (t )=5t 3
+30t 2
+45t +4,其中h 的单位为m,t 的单位为s .
(1)h (0),h (1),h (2)分别表示什么?
(2)求第2 s内的平均速度;
(3)求第2 s末的瞬时速度.
题组三导数的定义及其应用
10.函数f(x)在x=x0处的导数可表示为()
A.f'(x0)=lim
Δt→0t(t0+Δt)-t(t0)
Δt
B.f'(x0)=lim
Δt→0
[f(x0+Δx)-f(x0)]
C.f'(x0)=f(x0+Δx)-f(x0)
D.f'(x0)=t(t0+Δt)-t(t0)
Δt
11.汽车在笔直公路上行驶,如果v(t)表示t时刻的速度,则导数v'(t0) ()
A.表示当t=t0时汽车的加速度
B.表示当t=t0时汽车的瞬时速度
C.表示当t=t0时汽车的位移变化率
D.表示当t=t0时汽车的位移
12.已知函数f(x)=ax+4,若f'(1)=2,则a=.
13.函数f(x)=√t2+1在x=0处的导数为.
题组四导数的几何意义
14.函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是()
A.在点(x0,f(x0))处与y=f(x)的图象只有一个交点的直线的斜率
B.过点(x0,f(x0))的切线的斜率
C.点(x0,f(x0))与点(0,0)的连线的斜率
D.函数y=f(x)的图象在点(x0,f(x0))处的切线的斜率
15.已知函数f(x)在R上可导,且f(x)的图象如图所示,则下列不等式正确的是()
A.f'(a)<f'(b)<f'(c)
B.f'(b)<f'(c)<f'(a)
C.f'(a)<f'(c)<f'(b)
D.f'(c)<f'(a)<f'(b)
16.(2020江苏连云港智贤中学高二下月考)已知函数y=f(x)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程是y=x+3,则f(1)+f'(1)=.
题组五求曲线的切线方程
17.(2021江苏镇江八校高三上期中联考)曲线y=f(x)=x-x2在点(1,0)处的切线方程是
()
A.x-2y-1=0
B.x+2y-1=0
C.x-y-1=0
D.x+y-1=0
18.若曲线y=f(x)=x2+ax+b在点(1,1)处的切线方程为3x-y-2=0,则()
A.a=-1,b=1
B.a=1,b=-1
C.a=-2,b=1
D.a=2,b=-1
19.(2020广东实验中学高二上期末)与直线2x-y+4=0平行且与抛物线y=x2相切的直线方程是.
20.过点M(1,1)且与曲线y=x3+1相切的直线方程为.
能力提升练
题组一瞬时速度与瞬时加速度
1.(2020江苏无锡锡东高级中学4月线上检测,)若小球自由落体的运动方程为s(t)=1
2
gt2(g为常数),该小球在t=1到t=3的平均速度为t,在t=2的瞬时速度为v2,则t和v2关系为()
A.t>v2
B.t<v2
C.t=v2
D.不能确定
2.()一物体沿斜面自由下滑,测得下滑的位移s与时间t之间的函数关系为s=3t3,则当t=1时,该物体的瞬时加速度为()
A.18
B.9
C.6
D.3
题组二导数的定义及其应用
3.(2021江苏苏州陆慕高级中学高二下质检,)已知函数f(x)可导,则lim
Δt→0t(1-Δt)-t(1)
-Δt
等于()
A.f'(1)
B.不存在
f'(1) D.以上都不对
C.1
3
4. (2019江苏南通启东中学高二下月考,)若函数f(x)满足f'(x0)=-3,则当h无限趋近
无限趋近于.
于0时,t(t0+t)-t(t0-3t)
t
5.()服用某种药物后,人体血液中药物的质量浓度f(x)(单位:μg/mL)与时间t(单位:min)的函数关系式是y=f(t),假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6,试解释它们的实际意义.
题组三导数的几何意义
6.(2020江苏南京中华中学高二上段测,)函数y=f(x)的图象如图所示,f'(x)为函数f(x)的导函数,则下列结论正确的是 ()
A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)
B.0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)
C.0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)
D.0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)
7.(多选)(2021江苏无锡一中高三上10月检测,)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t),用-t(t)-t(t)
的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强
t-t
弱.已知整改期内,甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.则结论正确的是()
A.在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强
B.在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强
C.在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标
D.甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强
8.(多选)()已知函数f(x)的定义域为R,其导函数f'(x)的图象如图所示,则对于任意x1,x2∈R(x1≠x2),下列结论正确的是 ()
A.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
C.f(t1+t2
2)>t(t1)+t(t2)
2
D.f(t1+t2
2)<t(t1)+t(t2)
2
题组四求曲线的切线方程
9.(2020江苏淮安淮阴中学高二下期末,)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为.
10.(2019江苏南通海安中学高二下月考,)已知曲线f(x)=ax2+bx+1
4
与直线y=x相切于点A(1,1),若对任意x∈[1,9],不等式f(x-t)≤x恒成立,则所有满足条件的实数t组成的集合为.
11.(2020福建厦门二中高二上期中,)已知曲线y=f(x)=x2,y=g(x)=1
t
,过两条曲线的交点作两条曲线的切线,求两切线与x轴围成的三角形的面积.(请用导数的定义求切线的斜率)
答案全解全析 基础过关练
1.A k 1=
t (2)-t (1)
2-1
=4-1=3,k 2=
t (3)-t (2)
3-2
=9-4=5,k 3=
t (4)-t (3)
4-3
=16-9=7,
则k 1<k 2<k 3,故选A. 2.答案 2.1;2.001
解析 ∵Δy =(1+Δx )2
+1-(12
+1)=2Δx +(Δx )2
,∴Δt Δt
=2+Δx ,
∴割线的斜率为2+Δx.
当Δx =0.1时,割线的斜率为2+0.1=2.1. 当Δx =0.001时,割线的斜率为2+0.001=2.001. 3.答案 4 解
析
抛物
线
在点P
处切
线
的斜率为
k =lim
Δt →0Δt
Δt =lim
Δt →0
[(-2+Δt )2
-(-2+Δt )+t ]-(6+t )Δt
=lim
Δt →0
-5Δt +(Δt )
2
Δt
=-5,
因为点P 的横坐标是-2, 所以点P 的纵坐标是6+c , 故直线OP 的斜率为-6+t 2
,
根据题意有-6+t 2
=-5,解得c =4.
4.A 因为Δt Δt =t (3+Δt )-t (3)
Δt
=
1-(3+Δt )+(3+Δt )2
-1+3-9
Δt
=Δt +5,
所以当Δt 无限趋近于0时,Δt +5无限趋近于5,即物体在t =3s 时的瞬时速度是5m/s,故选A.
5.D 因为Δt Δt =
t (2+Δt )-t (2)
Δt
=t (2+Δt )2
+1-4t -1Δt
=a Δt +4a ,所以当Δt 无限趋近于0时,a Δt +4a 无限趋近于4a ,所以汽车
在t =2时的瞬时速度为4a ,即4a =12,解得a =3.故选D. 6.B 设当加速度为2.8m/s 2
时,火车开出x s . 则Δt Δt =t (t +Δt )-t (t )
Δt
=
0.4(t +Δt )+0.6(t +Δt )2
-0.4t -0.6t 2
Δt
=0.4+1.2x +0.6Δt ,
当Δt 无限趋近于0时,0.4+1.2x +0.6Δt 无限趋近于0.4+1.2x ,所以0.4+1.2x =2.8,解得x =2.故选B. 7.答案 2m/s 2
解析 因为Δt Δt =
t (2+Δt )-t (2)
Δt
=
12(2+Δt )2
+10-12
×4-10Δt
=1
2Δt +2,
所以当Δt 无限趋近于0时,1
2
Δt +2无限趋近于2,即物体在t =2s 时的瞬时加速度为2m/s 2
.
8.答案 6;6
解析 当t =1时,Δs =3(1+Δt )2
+2-3×12
-2=3(Δt )2
+6Δt , ∴
Δt Δt
=3Δt +6,∴lim
Δt →0Δt
Δt
=6,
即当t =1时的瞬时速度为6.
当t =4时,Δs =29+3(4+Δt -3)2
-29-3(4-3)2
=3(Δt )2
+6Δt , ∴Δt
Δt =3Δt +6,∴lim
Δt →0Δt
Δt
=6,
即当t =4时的瞬时速度为6.
9.解析 (1)h (0)表示航天飞机发射前的高度;
h (1)表示航天飞机升空后第1s 时的高度; h (2)表示航天飞机升空后第2s 时的高度.
(2)航天飞机升空后第2s 内的平均速度为
t (2)-t (1)
2-1
=
5×23+30×22+45×2+4-(5×13+30×12+45×1+4)
1
=170(m/s).
(3)第2s 末的瞬时速度为
lim
Δt →0Δt
Δt =lim
Δt →0
t (2+Δt )-t (2)
Δt
=lim Δt →0
5(2+Δt )3+30(2+Δt )2
+45(2+Δt )+4-(5×23+30×22+45×2+4)
Δt
=lim
Δt →0
5(Δt )3
+60(Δt )2
+225Δt
Δt
=225(m/s).
因此第2s 末的瞬时速度为225m/s . 10.A 由导数的定义知A 正确.
11.A 由于v (t )表示t 时刻的速度,因此v'(t 0)表示当t =t 0时汽车的加速度,故选A. 12.答案 2
解析 由题意得,Δy =f (1+Δx )-f (1)=a (1+Δx )+4-a -4=a Δx ,∴lim Δt →0Δt
Δt
=a ,
∴f'(1)=a =2. 13.答案 0
解析 Δy =√(0+Δt )2
+1-√0+1 =2
√(Δt )2+1+1
=
2
√(Δt )2+1+1
,
∴Δt
Δt =
√(Δt )2
+1+1
,
∴当Δx →0时,√(Δt )2+1+1
→0,
即lim
Δt √(Δt )2
+1+1
=0,∴f (x )在x =0处的导数为0,即f'(0)=0.
14.D f'(x 0)的几何意义是函数y =f (x )的图象在点(x 0,f (x 0))处的切线的斜率.
15.A 由题意可知,f'(a ),f'(b ),f'(c )分别是函数f (x )在x =a 、x =b 和x =c 处切线的斜率,则有f'(a )<0<f'(b )<f'(c ),故选A. 16.答案 5
解析 由导数的几何意义可得,f'(1)=1,又M (1,f (1))在切线上,所以f (1)=1+3=4,则
f (1)+f'(1)=4+1=5.
17.D 由题意得,f'(1)=lim Δt →0Δt
Δt
=lim
Δt →0
(1+Δt )-(1+Δt )2
-1+1
Δt
=lim Δt →0
(-Δx -1)=-1,
所以曲线y =f (x )=x -x 2
在点(1,0)处的切线方程为y =-1×(x -1),即x +y -1=0,故选D. 18.B 由题意得,f'(1)=lim
Δt →0Δt
Δt
=lim Δt →0
(1+Δt )2
+t (1+Δt )+t -1-t -t
Δt
=lim
Δt →0
(Δt )2
+2Δt +t Δt
Δt
=2+a.
∵曲线y =f (x )=x 2
+ax +b 在点(1,1)处的切线方程为3x -y -2=0, ∴2+a =3,解得a =1.
又∵点(1,1)在曲线y =f (x )=x 2
+ax +b 上, ∴1+a +b =1,解得b =-1, ∴a =1,b =-1.故选B. 19.答案 2x -y -1=0 解析
设切点坐标为(x 0,y 0),y =f (x )=x 2
,则由题意可得,切线斜率
f'(x 0)=lim
Δt →0
t (t 0+Δt )-t (t 0)
Δt =2x 0=2,所以
x 0=1,则y 0=1,所以切点坐标为(1,1),故所求的直
线方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0. 20.答案 27x -4y -23=0和y =1 解析 Δt Δt
=
(t +Δt )3
+1-t 3-1Δt
=
3t (Δt )2
+3t 2Δt +(Δt )
3
Δt
=3x Δx +3x 2
+(Δx )2
, 则lim
Δt →0
Δt
Δt
=3x 2,因此y'=3x 2
. 设过点M (1,1)的直线与曲线y =x 3
+1相切于点P (x 0,t 03+1),根据导数的几何意义知曲线在点
P 处的切线的斜率
k =3t 02①,过点
M 和点P 的切线的斜率
k =t 03+1-1
t 0-1
②,由①-②得
3t 02=t 0
3
t 0
-1,
解得x 0=0或x 0=32
,所以k =0或k =27
4
,因此过点M (1,1)且与曲线y =x 3
+1相切的直线有两条,方程分别为y -1=27
4(x -1)和y =1,即27x -4y -23=0和y =1. 易错警示
要注意“在某点处的切线”和“过某点的切线”的差别,在某点处的切线中该点为切点,
过某点的切线中该点可能是切点,也可能不是切点.
能力提升练
1.C t =t (3)-t (1)
3-1
=
1
2
t ×(32-12)2
=2g ,
因为Δt Δt =t (2+Δt )-t (2)
Δt
=
12
t (2+Δt )2
-2t Δt
=2g +1
2g Δt ,所以当Δt 无限趋近于0时,2g +1
2g Δt 无限趋近于2g ,所以v 2=2g ,
即t =v 2.故选C. 2.答案 A
信息提取 ①物体下滑位移s 与时间t 之间的关系式为s =3t 3
;②求t =1时,该物体的瞬时加
速度.
数学建模 本题以物理中的瞬时加速度为背景构建函数模型,将物理中的瞬时加速度转化为数学中的瞬时变化率来求解.求解时可先由位移函数求得瞬时速度,再由瞬时速度求得瞬时加速度. 解析
Δt
Δt =t (t +Δt )-t (t )Δt =3(t +Δt )3
-3t 3Δt =9t 2+9t Δt +3(Δt )2
,当Δt 无限趋近于0
时,9t 2
+9t Δt +3(Δt )2
无限趋近于9t 2
,即该物体的瞬时速度v 与时间t 的关系为v (t )=9t 2
.
Δt Δt
=
t (1+Δt )-t (1)Δt
=
9(1+Δt )2
-9Δt
=9Δt +18,当Δt 无限趋近于0时,9Δt +18无限趋近于18,
所以当t =1时,该物体的瞬时加速度为18.故选A. 3.A 因为Δx →0,所以(-Δx )→0,所以lim Δt →0t (1-Δt )-t (1)-Δt =lim -Δt →0
t (1-Δt )-t (1)
-Δt =f'(1).故选A. 4.答案 -12
解析 当h 无限趋近于0时,
t (t 0+t )-t (t 0-3t )t =4×t (t 0+t )-t (t 0-3t )
4t
,
因为f'(x 0)=-3, 所以lim t →0
t (t 0+t )-t (t 0-3t )
4t =-3, 所以lim t →0
t (t 0+t )-t (t 0-3t )t =4×lim
t →0
t (t 0+t )-t (t 0-3t )
4t =-3×4=-12. 5.解析 f'(10)=1.5表示服药后10min 时,血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5μg/(mL·min),也就是说,如果保持这一速度,那么每经过1min,血液中药物的质量浓度将上升1.5μg/mL .f'(100)=-0.6表示服药后100min 时,血液中药物的质量浓度下降的速度为0.6μg/(mL·min),也就是说,如果保持这一速度,那么每经过1min,血液中药物的质量浓度将下降0.6μg/mL.
6.B 由题图可知,f (x )在x =2处的切线斜率大于在x =3处的切线斜率,且斜率为正, ∴0<f'(3)<f'(2), ∵f (3)-f (2)=
t (3)-t (2)
3-2
,
∴f (3)-f (2)可看作过(2,f (2))和(3,f (3))的割线的斜率,由题图可知
f'(3)<f (3)-f (2)<f'(2),
即0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2).故选B.
7.ABC设y=-t(t)-t(t)
t-t
,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t1,t2]这段时间内污水治理能
力强弱的数值计算式为-t(t2)-t(t1)
t2-t1
,由题图易知y甲>y乙,因此甲企业的污水治理能力比乙企业强,A正确;
由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表示,B正确;
在t3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,C正确;
由计算式-t(t)-t(t)
t-t
可知,甲企业在[0,t1]这段时间内污水治理能力最弱,D错误.
8.AD由题中图象可知,导函数f'(x)的图象在x轴下方,即f'(x)<0,且其绝对值越来越小,因此过函数f(x)图象上任一点的切线的斜率为负,并且从左到右切线的倾斜角是越来越大的钝角,由此可得f(x)的大致图象如图所示.
A选项表示x1-x2与f(x1)-f(x2)异号,即f(x)图象的割线斜率t(t1)-t(t2)
t1-t2
为负,故A正确;B
选项表示x1-x2与f(x1)-f(x2)同号,即f(x)图象的割线斜率t(t1)-t(t2)
t1-t2
为正,故B不正
确;f(t1+t2
2)表示t1+t2
2
对应的函数值,即图中点B的纵坐标,t(t1)+t(t2)
2
表示当x=x1和x=x2
时所对应的函数值的平均值,即图中点A的纵坐标,显然有f(t1+t2
2)<t(t1)+t(t2)
2
,故C不正
确,D正确.故选AD.
9.答案4x-y-2=0
解析∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即(-x)3+(a-1)(-x)2+a(-x)=-x3-(a-1)x2-ax,即a=1,∴f(x)=x3+x,
∴f'(1)=lim
Δt→0t(1+Δt)-t(1)
Δt
=lim Δt→0(1+Δt)3+(1+Δt)-2
Δt
=lim
Δt→0
[(Δx)2+3Δx+4]=4,f(1)=2,
∴曲线y =f (x )在x =1处的切线方程为y -2=4(x -1),即4x -y -2=0. 10.答案 {4} 解析 f'(1)=lim
Δt →0
t (1+Δt )-t (1)
Δt
=lim
Δt →0
t (1+Δt )2
+t (1+Δt )+1
4-t -t -1
4
Δt
=lim Δt →0
(2a +b +a Δx )=2a +b.
因为曲线f (x )=ax 2
+bx +1
4
与直线y =x 相切于点A (1,1),所以{t +t +1
4=1,
2t +t =1,
解得{
t =1
4,t =1
2,
所以f (x )=(
t +12
)2,
由f (x -t )≤x (1≤x ≤9)得(
t -t +12)2
≤x (1≤x ≤9),
解得(√t -1)2
≤t ≤(√t +1)2
(1≤x ≤9),
由此可得(√t -1)max 2
=4≤t ≤(√t +1)min 2
=4(1≤x ≤9), 所以所有满足条件的实数t 组成的集合为{4}.
11.解析 由{t =t 2,t =1
t ,
得{t =1,
t =1,故两条曲线的交点坐标为(1,1).两条曲线切线的斜率分别为f'(1)=lim
Δt →0
t (Δt +1)-t (1)
Δt =lim
Δt →0
(Δt +1)2
-12
Δt
=lim Δt →0
(Δx +2)=2,
g'(1)=lim Δt →0t (Δt +1)-t (1)
Δt =lim Δt →01
Δt +1-1
1Δt
=lim Δt →0
(-1
Δt +1)=-1.
所以两条切线的方程分别为y -1=2(x -1),y -1=-(x -1),即y =2x -1与y =-x +2,两条切线与x 轴的交点坐标分别为(1
2,0),(2,0),所以两切线与x 轴围成的三角形的面积为1
2×1×|2-1
2|=3
4.。