《高等数学》课件 3第三节 全微分 ppt

[ f ( x, y y) f ( x, y)]
fx ( x 1 x, y y) x f y ( x, y 2 y) y
( 0 1 , 2 1 )
z [ f x ( x0 , y0 ) ]x [ f y ( x0 , y0 ) ]y
lim
x0
0,
lim
x0
则该函数在该点偏导数 z , z 必存在,且有
x y
d z z x z y. x y
证: 由全增量公式
令y 0,
得到对 x 的偏增量
xz f ( x x, y) f (x, y) Ax o ( x )
z lim x z A
x x0 x 同样可证 z B , 因此有
二、可微分存在的条件
一元函数: 可微 可导
可微分的必要条件： 可微分
偏导数存在
定理1. 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微分, 则该函数在 该点偏导数 z , z 必存在,且有
x y
d z z x z y. x y
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微分,
xy ( x)2 ( y)2
xy
( x)2 ( y)2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
可微分的充分条件: 偏导数连续
可微分
定理2. 若函数
的偏导数 z , z x y
在点( x, y) 连续, 则函数在该点可微分, 且
z z x z y o( ).
x y
三、全微分的计算
V πr 2h. 记 r,h 和V 得增量依次为Δ r,Δ h和Δv,则有
ΔV dV VrΔr VhΔh 2π rhΔr π r2Δh. 把 r 20,h 100,Δ r 0.05,Δ h 1 代入,得
ΔV 2π 20 100 0.05 π 202 (1) 200π(cm3 ). 即此圆柱体在受压后体积减少了200πcm3 .
可微 连续 如果 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微, 则
z f (xx, yy) f (x, y)
Ax By o(),
lim z 0, 0
lim f (x x, y y) lim[ f (x, y) z] f (x, y)
(x,y)(0,0)
0
因此函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 处连续.
0
y0
y0
fx ( x, y) x f y ( x, y) y (x y)
注意到
x
y
, 故有
z f x ( x, y) x f y ( x, y) y o( )
所以函数
在点
可微分.
复习一元函数微分
微分的几何意义 微分是函数的局部线性化
f (x0 )
y lim x0 x
tan
第三节 全微分
一、全微分的定义 二、全微分存在的条件 三、全微分的几何意义 四、全微分的计算
第九章
பைடு நூலகம்
一、全微分的定义
引例: 圆柱体体积V πr2h, r r r, h h h, V π(r r)2 (h h) πr 2h
2πrhr πr 2h 2πrrh πh(r)2 π(r)2 h
2 | x |3
1 , 2 | x |
不存在.
所以f (x, y)在(0,0)不连续. x
同理可证f (x, y)在(0,0)不连续. y
f f (x, y) f (0,0)
x y sin
1
(x)2 (y)2
o( (x)2 (y)2 )
故f 在点(0,0)可微
df 0. (0,0)
解:
z x
3(1
ln
xy)2
(1
ln
xy)x
3(1 ln xy)2
,
x
z 3(1 ln xy)2
y
y
dz 3(1 ln xy)2(d x d y ). xy
例3. 计算函数 u x sin y e yz 的全微分. 2
解: u 1, u 1 cos y ze yz ,
解(1): z 2xy, x
解(2): z yexy , z xexy ,
x
y
z x2 2 y, y
dz z dx z dy x y
2xydx (x2 2 y)dy.
z x
x2 e2,
y1
z y
x2 2e2 .
y1
dz x2 e2dx 2e2dy.
y1
例2. 已知 z (1 ln xy)3 , 求d z .
n
几何意义:
M0
如果函数 z f ( x, y) 在点( x0, y0 ) 处可微,则曲面 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 近旁的一小部分可 以用平面来近似 ,这张平面就是曲面在该 点的切平面.
五*、全微分在近似计算中的应用
当函数 z f (x, y) 在点 (x, y) 的两个偏导数 fx (x, y), fy (x, y) 连续, 并且 |x|, |y| 都较小时, 有近似等式
z dz fx (x, y)x fy (x, y)y ,
即
f (x x, y y) f (x, y) fx (x, y)x fy (x, y)y .
例4. 有一圆柱体,受压后发生形变,它的半径由20cm 增大到20.05cm,高度由100cm减少到99cm.求此圆柱 体体积变化的近似值. 解: 设圆柱体的半径、高和体积依次为 r, h 和V,则有
1 , ( x, y) (0,0)
x2 y2 ( x, y) (0,0)
在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)不
连续，而 f 在点(0,0)可微.
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
( x, y) (0,0) ， ( x, y) (0,0) 讨论.
证 令 x cos, y sin ,
x
y 2 2
u ye yz , z
du u dx u dy u dz x y z
dx ( 1 cos y ze yz )dy ye yzdz. 22
四、全微分的几何意义
设二元函数 z f ( x, y) 在点( x0 , y0 ) 可微,则在
点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有 z dz f (x0 x, y0 y) f (x0, y0 ) fx (x0, y0 )x f y(x0, y0 )y
y
注意: 定理1 的逆定理不成立. 即:
偏导数存在,函数不一定可微分!
反例: 函数 f ( x, y)
x y , x2 y2 0 x2 y2
0,
x2 y2 0
易知 f x (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
z [ f x ( 0, 0 ) x f y ( 0, 0 ) y]
内容小结
1. 微分定义:
z
可微
o ( ) ( (x)2 (y)2 )
d z fx(x, y)dx fy(x, y) d y
函数连续
函 数 可偏 导
函 数 可 微分 偏导数连续
练习题 求下列函数的全微分:
(1) z x2 y2 2xy, dz x1;
y2
(2) z arctan y ; (3) z ysin x . x
记 z f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ),
空间中的平面方程
平 面 过 点 M0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )), 法 向 量 为n { f x ( x0 , y0 ), f y ( x0 , y0 ),1}.
则 lim xysin 1
( x ,y )( 0 , 0 )
x2 y2
lim 2 sin cos sin 1 0 f (0,0),
0
故函数在点(0,0)连续,
f (0,0) lim f (x,0) f (0,0) lim 0 0 0,
x
x 0
x
x x0
同理 f (0,0) 0. y
思考题
讨 论 函 数z
f (x,
y)
sin(xy) , xy
1,
xy 0, 在点(0,0) xy 0
处的连续性, 偏导数存在性及可微性.
答案: 在点(0,0)连续;
f x (0,0) 0, f y (0,0) 0;
在点(0,0)可微.
2. 试证函数
xy
sin
f (x, y)
0,
Δ z AΔx B Δy o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微分, AΔx BΔy 称为函数 f ( x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作
dz AΔx BΔy.
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微分.
关于 r 与 h 的二元一次齐次多项式 当(r,h) (0,0) 时是 (r)2 (h)2 的高阶无穷小
V 2πrhr πr 2h o( (r)2 (h)2 )
V 2 rhr r 2h
定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
处全增量
可表示成
附：
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z
x y
在点( x, y) 连续, 则函数在该点可微分, 且
z z x z y o( ).
x y
*证： z f ( x x, y y) f ( x, y)
[ f (x x, y y) f (x, y y) ]
.
y
d y = f ( x0 )x
=tan x
在图上是哪条线段？
y dy (x)
当x很小时
f (x0 )
y d y
o
用切线增量近似曲线增量
M x
x0
即： f ( x) f ( x x) f ( x ) f ( x ) x
f (x)
N
(x)
y
dy
. .
x0 x
x
返回
作业 P76: 1 (1) (2), 2.
当( x, y) (0,0)时，
f (x, y) ysin 1
x
x2 y2
x2y cos
(x 2 y )2 3
1 ,
x2 y2
当点P(x, y)沿直线y x趋于(0,0)时,
lim f (x, y)
( x ,x )( 0, 0 ) x
lim x sin 1
x 0
2|x| 2
x3 cos
例5. 计算 (1.04)2.02 的近似值.
解: 设 f ( x, y) x y ,
取 x 1, y 2,Δx 0.04,Δy 0.02,则 f x ( x, y) yx y1 , f y ( x, y) x y ln x, f (1,2) 1, f x (1,2) 2, f y (1,2) 0, (1.04)2.02 1 2 0.04 0 0.02 1.08.
令 x x0 x, y y0 y, 则
f ( x, y) f ( x0, y0 ) f x ( x0, y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ),
f ( x, y) f ( x0, y0 ) f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ),
若函数 z = f (x, y) 可微，则其全微分可写成
d z z dx z dy. x y
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数u f ( x, y, z) 的可微分,则
d
u
u x
dx
u y
d
y
u z
dz.
例1. (1) 计算函数z x2 y y2 的全微分; (2) 计算函数z exy 在点(2, 1) 处的全微分.