第六章 拉压超静定问题
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FN1
B' C' A' x
Δl1
FN1l EA
FN3 l e F N3 Δl 3 E 3 A3
(4)补充方程
FN2
FN3 l e FN1l Δe E 3 A3 E A
联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力，进而求出装配 应力.
§6-4 简单超静定梁
Ⅰ.超静定梁的解法 q A 例：求解图示超静定梁 的支座反力，并画剪力 图和弯矩图。 分析：可以铰支座B为 “多余”约束，解除 “多余”约束后的基本 静定系为A端固定的悬 臂梁。
1
2 A
3
F
工程中很多建筑结构的力学模型并不是 静定结构，而是超静定结构。
第六章 力法
“鸟巢”国家体育场 杆件结构中大量采用超静定结构
土木工程中常见的简单超静定结构？
B
大型承重桁架
多跨连续梁
既然静定结构可以承担荷载，为什么工程中还 要使用超静定结构呢？ 原因：采用超静定结构要比静定结构更经济，更安全。 例如 (1)通过给静定梁增加支座，降低梁的最大弯矩。
原结构
相当系统
例：求三杆桁架内力,杆长 L1=L2，L3 =L ,面积 A1=A2=A， A3 ,弹性模量 E1=E2=E，E3
B
3 1
D
C
2 N1 N3
A P
A P
N2
解: (1) 列静力平衡方程 X 0 N1 sin N 2 sin 0
Y 0
(3) 利用物理关系(参见教材中的附录Ⅳ)所得的 补充方程为
ql 4 FB l 3 0 8 EI 3 EI
3 从而解得“多余”未知力 FB ql 8
所得FB为正值表示原来假设的指向(向上)正确。 (4) 固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡 方程求得为 5 1 2 FA ql M A ql 8 8
第六章 简单的超静定问题
本章内容 §6-1 超静定问题及其解法 （理解） §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
（掌握） （了解）
（掌握）
§6-1 超静定问题及其解法
*静定问题 ：由静力平衡方 程可确定全部未知力(包括 支反力与内力)的问题。
B
1 2
45
A
C
F
*超静定问题：根据静力平 衡方程不能确定全部未知力 的问题。
和
位移等均可利用相当系统进行计算。 (3) “多余”约束的选择是任意的，但应以计算 方 便为原则。
如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余” 约束，则求解比较复杂。
q
A
C l/2 l/2
B
补充方程为： wB = 0 wB 的求解比较复杂
q
A C l/2 l/2
B
FB
§6-2 拉压超静定问题
Ⅰ.拉压超静定基本问题
(5) 画剪力图和弯矩图（利用相当系统画内力图）
q
A l B
FB=3ql/8 剪力图：斜直线
FSA右 5ql ql FB 8
3ql FSB左 FB 8 弯矩图：抛物线
M A右 M max
MB 0
ql 2 8 9ql 2 128
思考：该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？ 如何求解？ A q B l q MA A B
MB 4 m 3 EI
MB 5 m 3 EI
B
右
30 103 N 3 m 2 m 5 m 2 m 6 EI 5 m
4. 将物理关系代入变形几何相容方程，从而解得
M B 31.80 kN m
这里的负号表示实际的中间支座处梁截面上
的弯矩与所设相反，即为负弯矩。
A
变形几何相容方程为：
0
例题6-8 试求图a所示等截面连续梁的约束力FA ,
FB , FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁
的弯曲刚度EI=5×106 N· m2。
解: 1. 列静力平衡方程
两端铰支的连续梁其超静定次数就等于中间支座的
数目。此梁为一次超静定梁。
FA FB FC
Fy 0 FA FB FC 30 20 4 0
(5) 联立平衡条件解求三杆内力
Ⅱ.装配应力和温度应力 (1) 装配应力
B 1 C
1、静定结构无装配应力
2
A
B 1 3 D 2 A1 A C
2、超静定结构存在装配应力
(2) 温度应力 1、静定结构无温度应力
A
B
2、超静定结构存在温度应力
A
B
铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由 伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。钢轨温度 每改变1℃，每根钢轨就会承受1.645吨的压力或拉力
20 KN/m
超静定结构 A B 20 KN/m 相当系统 A 30KN C
D
MB B
30KN D
C
左 右 变形几何相容方程： B B
3. 利用教材中的附录Ⅳ可得物理关系为
20 KN/m 相当系统 A
MB
B
30KN D C
B
左
20 10
3
N/m 4 m
3
24 EI
由此求得
1
1
F FB a FB b 0
EA EA
2 2
Fa FB l
所得FB为正值，表示FB的 指向与假设的指向相符，
即向上。
4. 由平衡方程 FA+FB-F=0
得 FA=F-Fa/l=Fb/l
5. 求C点的位移 利用相当系统(如图)求得
FN AC a ΔC Δl AC EA Fb l a Fab EA lEA
B1 C1 A1 2 l
1
B
C A e a a
C1 3
C'
l1 = l2
B1 C1 A1 2 1 B C A l3 l C1 3 e C''
Δl1 Δl3 Δe
(1)平衡方程 FN3 FN1 FN2 0 (2)变形几何方程为 (3)物理方程
FN1 FN2
Δl1 Δl3 Δe
q
A
C l/2 l/2
B
A
l
B
超静定梁
q
①解除“多余”约束 基本静定系
B
相A 当 系 统
④ 补充方程为
l/2
FC l
FC l 3 5ql 4 0 384 EI 48 EI
于是可求出多余未知力FC。
②在基本静定系上加上 原有荷载及“多余”未知力 ③变形几何相容方程wC=0
Ⅲ. 注意事项 (1) 任何超静定问题都是可以求解的： 超静定次数 = 补充方程数； (2) 求出“多余”未知力后，超静定结构的内力
要求出超静定结构全部的支座反力，除了静力 平衡方程外，还要列出补充方程，补充方程的数目 等于超静定次数。
复习：平面力系独立的平衡方程的数目 1、平面汇交力系
Fx 0 Fy 0
Fx 0 Fy 0 MO 0
2、平面任意力系
3、平面共线力系 Fx 0
如何列补充方程？
5. 求支座约束力：
20 KN/m 相当系统 A MB B 30KN D
C
FA 32.05 kN , FB 66 kN , FC 11.64 kN
绘出剪力图和弯矩图. FA FB FC
FB 66 kN FC 11.64 kN
根据变形协调条件列变形几何相容方程
超静定拉压杆 超静定扭转杆 超静定梁
gi l1 , l2 ,… 0 gi 1 , 2 ,… 0 gi w1 , w2 ,1 , 2… 0
利用力与变形之间的物理关系得到力的补充方程 物理方程 ： 拉压 gi FN1 , FN2 ,… 0 扭转 gi T1 , T2 ,… 0 梁
FA 32.05 kN
32.05
18.40
FS 图
1.603 47.95 31.80 11.64
单位：kN
M图
25.68 23.28
单位：kN·m
B
l q
A
l
相当系统
B FB
解: (1)列平衡方程，可知为一次超静定梁。 FB FA q Y 0 FA FB ql 0
MA A B l
MA 0 ql FB l M A 0 2
2
q
A l
FB B
(2)解除多余约束，得到相当系统如上图所示， 变形几何相容方程为：wB 0
(2)通过给静定梁增加支座，降低梁的最大挠度。 (3)超静定梁在某一截面破坏后，该截面变成塑 性铰，该梁变成静定梁，可以继续承担荷载。
q
A
q
B
A
B
Ⅰ.关于超静定问题的概述
FA
FAx A l (a)
q
FB
FA FAx A
FC
q
FB B l/2
B
C
l/2
(b)
超静定问题中，多于维持平衡所必需的约束（支座 或杆件）称为“多余”约束。 多余约束的数目称为超静定次数。
例题6-1 求图示等直杆AB上,下端 的约束力，并求C截面的位移。
杆的拉压刚度为EA。
解: 1. 有两个未知约束力FA , FB， 但只有一个独立的平衡方程 FA+FB-F=0 故为一次超静定问题。
2. 取固定端B为“多余”约 束。相当系统如图b，变形几 何相容方程 B 0 即ΔlAC+ΔlCB=0 3. 补充方程为
M B 0 FA 4 20 4 2 30 3 FC 5 0
方法一： 取中间的可动铰支座B为“多余”约束。
20 KN/m 超静定结构 A B
30KN
D C
20 KN/m 相当系统 A
30KN D C
FB
变形几何相容方程：wB 0
方法二：取中间支座截面处阻止左,右两侧梁相对 转动的内部角约束为“多余”约束。
路面变形缝
例题6-3 两铸件用两根钢杆 1,2 连接，其间距为 l =200mm. 现要将制造得过长了e=0.11mm的铜杆 3 装入铸件之间，并 保持三根杆的轴线平行且等间距 a. 试计算各杆内的装配应 力. 已知：钢杆直径 d=10mm，铜杆横截面积为2030mm的 矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa. 铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体。
N1 cos N 2 cos N 3 P 0
(2) 变形几何相容方程
B 3 D C
L1 L3 cos
(3) 力与变形的物理关系 N 3 L3 N 1 L1 L3 L1 E3 A3 E1 A1
1
A
2
L2
L3
A1
L1
(4) 建立补充方程 由几何和物理方程消除位移 N 3 L3 N 1 L1 cos E1 A1 E3 A3
gi FP , q, m… 0
超静定问题的基本思路 (1)查明多余约束力的数量,并列平衡方程。 (2)按多余约束的数量，列出多余约束处的 变形几何相容方程。
(3)将力与变形的物理关系代入变形几何相
容方程中，得到力的补充方程。 (4)联立平衡方程和补充方程求多余约束力。
Ⅱ.列补充方程的基本方法
B' C' A' x
Δl1
FN1l EA
FN3 l e F N3 Δl 3 E 3 A3
(4)补充方程
FN2
FN3 l e FN1l Δe E 3 A3 E A
联立平衡方程与补充方程求解,即可得装配内力，进而求出装配 应力.
§6-4 简单超静定梁
Ⅰ.超静定梁的解法 q A 例：求解图示超静定梁 的支座反力，并画剪力 图和弯矩图。 分析：可以铰支座B为 “多余”约束，解除 “多余”约束后的基本 静定系为A端固定的悬 臂梁。
1
2 A
3
F
工程中很多建筑结构的力学模型并不是 静定结构，而是超静定结构。
第六章 力法
“鸟巢”国家体育场 杆件结构中大量采用超静定结构
土木工程中常见的简单超静定结构？
B
大型承重桁架
多跨连续梁
既然静定结构可以承担荷载，为什么工程中还 要使用超静定结构呢？ 原因：采用超静定结构要比静定结构更经济，更安全。 例如 (1)通过给静定梁增加支座，降低梁的最大弯矩。
原结构
相当系统
例：求三杆桁架内力,杆长 L1=L2，L3 =L ,面积 A1=A2=A， A3 ,弹性模量 E1=E2=E，E3
B
3 1
D
C
2 N1 N3
A P
A P
N2
解: (1) 列静力平衡方程 X 0 N1 sin N 2 sin 0
Y 0
(3) 利用物理关系(参见教材中的附录Ⅳ)所得的 补充方程为
ql 4 FB l 3 0 8 EI 3 EI
3 从而解得“多余”未知力 FB ql 8
所得FB为正值表示原来假设的指向(向上)正确。 (4) 固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡 方程求得为 5 1 2 FA ql M A ql 8 8
第六章 简单的超静定问题
本章内容 §6-1 超静定问题及其解法 （理解） §6-2 拉压超静定问题 §6-3 扭转超静定问题 §6-4 简单超静定梁
（掌握） （了解）
（掌握）
§6-1 超静定问题及其解法
*静定问题 ：由静力平衡方 程可确定全部未知力(包括 支反力与内力)的问题。
B
1 2
45
A
C
F
*超静定问题：根据静力平 衡方程不能确定全部未知力 的问题。
和
位移等均可利用相当系统进行计算。 (3) “多余”约束的选择是任意的，但应以计算 方 便为原则。
如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余” 约束，则求解比较复杂。
q
A
C l/2 l/2
B
补充方程为： wB = 0 wB 的求解比较复杂
q
A C l/2 l/2
B
FB
§6-2 拉压超静定问题
Ⅰ.拉压超静定基本问题
(5) 画剪力图和弯矩图（利用相当系统画内力图）
q
A l B
FB=3ql/8 剪力图：斜直线
FSA右 5ql ql FB 8
3ql FSB左 FB 8 弯矩图：抛物线
M A右 M max
MB 0
ql 2 8 9ql 2 128
思考：该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？ 如何求解？ A q B l q MA A B
MB 4 m 3 EI
MB 5 m 3 EI
B
右
30 103 N 3 m 2 m 5 m 2 m 6 EI 5 m
4. 将物理关系代入变形几何相容方程，从而解得
M B 31.80 kN m
这里的负号表示实际的中间支座处梁截面上
的弯矩与所设相反，即为负弯矩。
A
变形几何相容方程为：
0
例题6-8 试求图a所示等截面连续梁的约束力FA ,
FB , FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁
的弯曲刚度EI=5×106 N· m2。
解: 1. 列静力平衡方程
两端铰支的连续梁其超静定次数就等于中间支座的
数目。此梁为一次超静定梁。
FA FB FC
Fy 0 FA FB FC 30 20 4 0
(5) 联立平衡条件解求三杆内力
Ⅱ.装配应力和温度应力 (1) 装配应力
B 1 C
1、静定结构无装配应力
2
A
B 1 3 D 2 A1 A C
2、超静定结构存在装配应力
(2) 温度应力 1、静定结构无温度应力
A
B
2、超静定结构存在温度应力
A
B
铁路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由 伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。钢轨温度 每改变1℃，每根钢轨就会承受1.645吨的压力或拉力
20 KN/m
超静定结构 A B 20 KN/m 相当系统 A 30KN C
D
MB B
30KN D
C
左 右 变形几何相容方程： B B
3. 利用教材中的附录Ⅳ可得物理关系为
20 KN/m 相当系统 A
MB
B
30KN D C
B
左
20 10
3
N/m 4 m
3
24 EI
由此求得
1
1
F FB a FB b 0
EA EA
2 2
Fa FB l
所得FB为正值，表示FB的 指向与假设的指向相符，
即向上。
4. 由平衡方程 FA+FB-F=0
得 FA=F-Fa/l=Fb/l
5. 求C点的位移 利用相当系统(如图)求得
FN AC a ΔC Δl AC EA Fb l a Fab EA lEA
B1 C1 A1 2 l
1
B
C A e a a
C1 3
C'
l1 = l2
B1 C1 A1 2 1 B C A l3 l C1 3 e C''
Δl1 Δl3 Δe
(1)平衡方程 FN3 FN1 FN2 0 (2)变形几何方程为 (3)物理方程
FN1 FN2
Δl1 Δl3 Δe
q
A
C l/2 l/2
B
A
l
B
超静定梁
q
①解除“多余”约束 基本静定系
B
相A 当 系 统
④ 补充方程为
l/2
FC l
FC l 3 5ql 4 0 384 EI 48 EI
于是可求出多余未知力FC。
②在基本静定系上加上 原有荷载及“多余”未知力 ③变形几何相容方程wC=0
Ⅲ. 注意事项 (1) 任何超静定问题都是可以求解的： 超静定次数 = 补充方程数； (2) 求出“多余”未知力后，超静定结构的内力
要求出超静定结构全部的支座反力，除了静力 平衡方程外，还要列出补充方程，补充方程的数目 等于超静定次数。
复习：平面力系独立的平衡方程的数目 1、平面汇交力系
Fx 0 Fy 0
Fx 0 Fy 0 MO 0
2、平面任意力系
3、平面共线力系 Fx 0
如何列补充方程？
5. 求支座约束力：
20 KN/m 相当系统 A MB B 30KN D
C
FA 32.05 kN , FB 66 kN , FC 11.64 kN
绘出剪力图和弯矩图. FA FB FC
FB 66 kN FC 11.64 kN
根据变形协调条件列变形几何相容方程
超静定拉压杆 超静定扭转杆 超静定梁
gi l1 , l2 ,… 0 gi 1 , 2 ,… 0 gi w1 , w2 ,1 , 2… 0
利用力与变形之间的物理关系得到力的补充方程 物理方程 ： 拉压 gi FN1 , FN2 ,… 0 扭转 gi T1 , T2 ,… 0 梁
FA 32.05 kN
32.05
18.40
FS 图
1.603 47.95 31.80 11.64
单位：kN
M图
25.68 23.28
单位：kN·m
B
l q
A
l
相当系统
B FB
解: (1)列平衡方程，可知为一次超静定梁。 FB FA q Y 0 FA FB ql 0
MA A B l
MA 0 ql FB l M A 0 2
2
q
A l
FB B
(2)解除多余约束，得到相当系统如上图所示， 变形几何相容方程为：wB 0
(2)通过给静定梁增加支座，降低梁的最大挠度。 (3)超静定梁在某一截面破坏后，该截面变成塑 性铰，该梁变成静定梁，可以继续承担荷载。
q
A
q
B
A
B
Ⅰ.关于超静定问题的概述
FA
FAx A l (a)
q
FB
FA FAx A
FC
q
FB B l/2
B
C
l/2
(b)
超静定问题中，多于维持平衡所必需的约束（支座 或杆件）称为“多余”约束。 多余约束的数目称为超静定次数。
例题6-1 求图示等直杆AB上,下端 的约束力，并求C截面的位移。
杆的拉压刚度为EA。
解: 1. 有两个未知约束力FA , FB， 但只有一个独立的平衡方程 FA+FB-F=0 故为一次超静定问题。
2. 取固定端B为“多余”约 束。相当系统如图b，变形几 何相容方程 B 0 即ΔlAC+ΔlCB=0 3. 补充方程为
M B 0 FA 4 20 4 2 30 3 FC 5 0
方法一： 取中间的可动铰支座B为“多余”约束。
20 KN/m 超静定结构 A B
30KN
D C
20 KN/m 相当系统 A
30KN D C
FB
变形几何相容方程：wB 0
方法二：取中间支座截面处阻止左,右两侧梁相对 转动的内部角约束为“多余”约束。
路面变形缝
例题6-3 两铸件用两根钢杆 1,2 连接，其间距为 l =200mm. 现要将制造得过长了e=0.11mm的铜杆 3 装入铸件之间，并 保持三根杆的轴线平行且等间距 a. 试计算各杆内的装配应 力. 已知：钢杆直径 d=10mm，铜杆横截面积为2030mm的 矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E3=100GPa. 铸件很厚，其变形可略去不计，故可看作刚体。
N1 cos N 2 cos N 3 P 0
(2) 变形几何相容方程
B 3 D C
L1 L3 cos
(3) 力与变形的物理关系 N 3 L3 N 1 L1 L3 L1 E3 A3 E1 A1
1
A
2
L2
L3
A1
L1
(4) 建立补充方程 由几何和物理方程消除位移 N 3 L3 N 1 L1 cos E1 A1 E3 A3
gi FP , q, m… 0
超静定问题的基本思路 (1)查明多余约束力的数量,并列平衡方程。 (2)按多余约束的数量，列出多余约束处的 变形几何相容方程。
(3)将力与变形的物理关系代入变形几何相
容方程中，得到力的补充方程。 (4)联立平衡方程和补充方程求多余约束力。
Ⅱ.列补充方程的基本方法