天柱县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

天柱县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，且120a =-，在区间()3,5内任取一个实数作为数列{}n a 的公差，则n S 的最小值仅为6S 的概率为（ ） A ．
15 B ．16 C ．314 D ．13
2． （2015秋新乡校级期中）已知x+x ﹣1=3，则x 2+x ﹣2等于（ ）
A ．7
B ．9
C ．11
D ．13
3． 过抛物线y 2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1+x 2=﹣6，则|AB|为（ ） A ．8
B ．10
C ．6
D ．4
4． 高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A ．34种
B ．35种
C ．120种
D ．140种
5． 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ） A ．720 B ．270 C ．390 D ．300
6． 有30袋长富牛奶，编号为1至30，若从中抽取6袋进行检验，则用系统抽样确定所抽的编号为（ ） A ．3，6，9，12，15，18 B ．4，8，12，16，20，24 C ．2，7，12，17，22，27 D ．6，10，14，18，22，26
7． 已知函数f （x ）=2x ﹣2，则函数y=|f （x ）|的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8． 已知函数()x F x e =满足()()()F x g x h x =+，且()g x ，()h x 分别是R 上的偶函数和奇函数， 若(0,2]x ∀∈使得不等式(2)()0g x ah x -≥恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A ．(-∞
B ．(-∞
C ．
D ．)+∞
9． 在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA 1=，M 为A 1B 1的中点，则AM 与平面AA 1C 1C 所成
角的正切值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．设a=sin145°，b=cos52°，c=tan47°，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．b ＜a ＜c D ．a ＜c ＜b
11．已知集合{2,1,1,2,4}A =--，2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈，则A B = （ ） A ．{2,1,1}-- B ．{1,1,2}- C ．{1,1}- D ．{2,1}-- 【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．
12．已知函数f （x ）满足：x ≥4，则f （x ）=；当x ＜4时f （x ）=f （x+1），则f （2+log 23）=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．已知函数2
2tan ()1tan x f x x =
-，则()3
f π
的值是_______，()f x 的最小正周期是______. 【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 14．不等式
的解集为 ．
15．已知平面上两点M （﹣5，0）和N （5，0），若直线上存在点P 使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：
①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1 是“单曲型直线”的是 ．
16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60︒角；④DM 与BN 是异面直线．
以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．
17．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数()2
ln f x x x =-的单调递增区间为__________． 18．已知向量,满足42
=，2||=，4)3()(=-⋅+，则与的夹角为 .
【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.
三、解答题
19．已知函数
（a ≠0）是奇函数，并且函数f （x ）的图象经过点（1，3），
（1）求实数a ，b 的值； （2）求函数f （x ）的值域．
20．在平面直角坐标系中，△ABC 各顶点的坐标分别为：A （0，4）；B （﹣3，0），C （1，1） （1）求点C 到直线AB 的距离； （2）求AB 边的高所在直线的方程．
21．（本小题满分12分）如图, 矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M ,AB 边所在直线的方
程为360x y --=点()1,1T -在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.
22．已知函数f （x ）=
（a ＞0）的导函数y=f ′（x ）的两个零点为0和3．
（1）求函数f （x ）的单调递增区间；
（2）若函数f （x ）的极大值为，求函数f （x ）在区间[0，5]上的最小值．
23．在平面直角坐标系xOy 中，经过点且斜率为k 的直线l 与椭圆
有两个不同的交点
P 和Q ．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
24．定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），则
（1）求f（0）；
（2）证明：f（x）为奇函数；
（3）若f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
天柱县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】D
【解析】
考点：等差数列．
2．【答案】A
【解析】解：∵x+x﹣1=3，
则x2+x﹣2=（x+x﹣1）2﹣2=32﹣2=7．
故选：A．
【点评】本题考查了乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．【答案】A
【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=1，
∵抛物线y2=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点
∴|AB|=2﹣（x1+x2），
又x1+x2=﹣6
∴∴|AB|=2﹣（x1+x2）=8
故选A
4．【答案】A
【解析】解：从7个人中选4人共种选法，只有男生的选法有种，所以既有男生又有女生的选法有﹣=34种．
故选：A．
【点评】本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题
5．【答案】C
解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，
首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；
所求方案有：
+
+
=390．
故选：C ． 6． 【答案】C
【解析】解：从30件产品中随机抽取6件进行检验， 采用系统抽样的间隔为30÷6=5， 只有选项C 中编号间隔为5，
故选：C ．
7． 【答案】B
【解析】解：先做出y=2x
的图象，在向下平移两个单位，得到y=f （x ）的图象，
再将x 轴下方的部分做关于x 轴的对称图象即得y=|f （x ）|的图象．
故选B
【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题，先作出y=f （x ）的图象，再将x 轴下方的部分做关于x 轴的对称图象即得y=|f （x ）|的图象．
8． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为函数()x
F x e =满足()()()F x g x h x =+,且()(),g x h x 分别是R 上的偶函数和奇函数,()()()()()()(],,,,0,222x x x x
x
x
e e e e e g x h x e
g x h x g x h x x ---+-∴=+=-∴==∀∈ 使得不等式
()()20g x ah x -≥恒成立, 即
2202
2
x
x
x x
e e
e e a --+--≥
恒成立, ()2
222
x x x x
x x
x x
e e e e
a e e e e -----++∴≤
=
--
()2x x x x
e e e e
--=-+
+, 设x x t e e -=-，则函数x x t e e -=-在(]0,2上单调递增,22
0t e e -∴<≤-, 此时不等
式2t t +≥当且仅当2
t t
=,
即t =, 取等号
,a ∴≤故选B.
考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.
【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.
9． 【答案】D
【解析】解：双曲线（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±x
联立方程组，解得A （，），B （，﹣），
设直线x=与x 轴交于点D ∵F 为双曲线的右焦点，∴F （C ，0）
∵△ABF 为钝角三角形，且AF=BF ，∴∠AFB ＞90°，∴∠AFD ＞45°，即DF ＜DA
∴c ﹣
＜
，b ＜a ，c 2﹣a 2＜a 2∴c 2＜2a 2，e 2
＜2，e ＜
又∵e ＞1
∴离心率的取值范围是1＜e ＜
故选D
【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a ，c 的齐次式，再解不等式．
10．【答案】A
【解析】解：∵a=sin145°=sin35°，b=cos52°=sin38°，c=tan47°＞tan45°=1， ∴y=sinx 在（0，90°）单调递增， ∴sin35°＜sin38°＜sin90°=1， ∴a ＜b ＜c 故选：A
【点评】本题考查了三角函数的诱导公式的运用，正弦函数的单调性，难度不大，属于基础题．
11．【答案】C
【解析】当{2,1,1,2,4}x ∈--时，2log ||1{1,1,0}y x =-∈-，所以A B = {1,1}-，故选C ． 12．【答案】A
【解析】解：∵3＜2+log 23＜4，所以f （2+log 23）=f （3+log 23） 且3+log 23＞4
∴f （2+log 23）=f （3+log 23）
=
故选A ．
二、填空题
13．
【答案】π.
【解析】∵22tan ()tan 21tan x f x x x ==-
，∴2()tan 33f ππ==221tan 0
x k x ππ⎧≠+⎪
⎨
⎪-≠⎩
，∴()f x 的定义域为(,)(,
)(,)244442k k k k k k π
π
π
πππ
ππππππ-
+-
+-
++++ ，k Z ∈，将()f x 的图象如下图画出，从而
可知其最小正周期为π
，故填：，π
.
14．【答案】 （0，1] ．
【解析】解：不等式，即
，求得0＜x ≤1，
故答案为：（0，1]．
【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．
15．【答案】 ①② ．
【解析】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P 在以M 、N
为焦点的双曲线的右支上，即
，（x ＞0）．
对于①，联立，消y 得7x 2
﹣18x ﹣153=0，
∵△=（﹣18）2
﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．
对于②，联立，消y 得x 2
=
，∴y=2是“单曲型直线”．
对于③，联立，整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．
对于④，联立，消y 得20x 2
+36x+153=0，
∵△=362
﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．
故符合题意的有①②． 故答案为：①②．
【点评】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．
16．【答案】③④ 【解析】
试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①BM 与ED 是异面直线，所以是错误的；②DN 与BE 是平行直线，所以是错误的；③从图中连接,AN AC ，由于几何体是正方体，所以三角形ANC 为等边三角形，所以,AN AC 所成的角为60︒，所以是正确的；④DM 与BN 是异面直线，所以是正确的．
考点：空间中直线与直线的位置关系．
17．【答案】0,
2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
【解析】
2
18．【答案】
3
【解析】
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）∵函数是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）
∴，
∵a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0（3分）
又函数f（x）的图象经过点（1，3），
∴f（1）=3，∴，∵b=0，
∴a=2（6分）
（2）由（1）知（7分）
当x＞0时，，当且仅当，
即时取等号（10分）
当x＜0时，，∴
当且仅当，即时取等号（13分）
综上可知函数f（x）的值域为（12分）
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．
20．【答案】
【解析】解（1）∵
，
∴根据直线的斜截式方程，直线AB ：
，化成一般式为：4x ﹣3y+12=0，
∴根据点到直线的距离公式，点C 到直线AB 的距离为
；
（2）由（1）得直线AB 的斜率为，∴AB 边的高所在直线的斜率为，
由直线的点斜式方程为：
，化成一般式方程为：3x+4y ﹣7=0，
∴AB 边的高所在直线的方程为3x+4y ﹣7=0．
21．【答案】（1）320x y ++=；（2）()2
2
28x y -+=．
【解析】
试题分析：（1）由已知中AB 边所在直线方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，结合点()1,1T -在直线AD 上，可得到AD 边所在直线的点斜式方程，即可求得AD 边所在直线的方程；（2）根据矩形的性质可得
矩形ABCD 外接圆圆心纪委两条直线的交点()2,0M ，根据（1）中直线，即可得到圆的圆心和半径，即可求得矩形ABCD 外接圆的方程.
（2）由360
320
x y x y --=⎧⎨
++=⎩解得点A 的坐标为()0,2-,
因为矩形ABCD 两条对角线的交点为()2,0M ,
所以M 为距形ABCD 外接圆的圆心, 又()()2
2
200222AM =
-++=从而距形ABCD 外接圆的方程为()2
2
28x y -+=.1
考点：直线的点斜式方程；圆的方程的求解.
【方法点晴】本题主要考查了直线的点斜式方程、圆的方程的求解，其中解答中涉及到两条直线的交点坐标，
圆的标准方程，其中（1）中的关键是根据已知中AB边所在的直线方程以及AD与AB垂直，求出直线AD的斜率；（2）中的关键是求出A点的坐标，进而求解圆的圆心坐标和半径，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
22．【答案】
【解析】解：f′（x）=
令g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c
函数y=f′（x）的零点即g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的零点
即：﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c=0的两根为0，3
则解得：b=c=﹣a，
令f′（x）＞0得0＜x＜3
所以函数的f（x）的单调递增区间为（0，3），
（2）由（1）得：
函数在区间（0，3）单调递增，在（3，+∞）单调递减，
∴，
∴a=2，
∴；，
∴函数f（x）在区间[0，4]上的最小值为﹣2．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为，
代入椭圆方程得．
整理得①
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=，
解得或．即k的取值范围为．
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，
由方程①，．②
又．③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，
故没有符合题意的常数k．
【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质，2个向量共线的条件，体现了转化的数学而思想，属于中档题．24．【答案】
【解析】解：（1）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，
令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0），
则f（0）=0，
（2）令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），
又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x），
即可证得f（x）为奇函数；
（3）因为f（x）在R上是增函数，又由（2）知f（x）是奇函数，
f（k•3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），
即有k•3x＜﹣3x+9x+2，得，
又有，即有最小值2﹣1，
所以要使f（k•3x）+f（3x﹣9x﹣2）＜0恒成立，只要使即可，
故k的取值范围是（﹣∞，2﹣1）．。