广西陆川县中学2020届高三数学12月月考试题 理
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广西陆川县中学2020年秋季期高三12月月考
理科数学试题
第I 卷(选择题,共60分)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合{
}{
}
2
|20,|3,0x
A x x x
B y y x =--<==≤,则=B A I A .)2,1(- B .)1,2(-
C .]1,1(-
D .(0,1] 2.已知复数z 满足
111
121z i i
=+
+-,则复数z 的虚部是( ) A .15 B .15i C .15- D .15
i -
3.已知向量,a b r r 是互相垂直的单位向量,且1c a c b ⋅=⋅=-r r r r
,则()
35a b c b -+⋅=r r r r ( )
A .1-
B .1
C .6
D .6-
4. 已知变量x 与变量y 之间具有相关关系,并测得如下一组数据
则变量x 与y 之间的线性回归方程可能为( )
A .$
0.7 2.3y x =- B .$0.710.3y x =-+ C .$10.30.7y x =-+ D .$
10.30.7y x =- 5.设()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++,其中,,,a b αβ都是非零实数,若()20171f =-,那么()2018f =( )
A .1
B .2
C .0
D .1- 6. 若01m <<,则( )
A .()()11m m log m log m +>-
B .(10)m log m +> C. ()2
11m m ->+
D .()()1
132
11m m ->-
7. 已知一个棱长为2的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为( )
A .
9
2
B . 4 C. 3 D .310
8. 若函数()324f x x x ax =+--在区间()1,1-内恰有一个极值点,则实数a 的取值范围为( ) A .()1,5 B .[)1,5 C. (]1,5 D .()(),15,-∞⋃+∞
9.如图,将45︒直角三角板和30︒直角三角板拼在一起,其中45︒直角三角板的斜边与30︒直角三角板的30︒角所对的直角边重合.若,0,0DB xDC yDA x y =+>>u u u r u u u r u u u r
,则x y +=( )
A .13+
B .123+ C.23D .2310. 已知,,,A B
C
D 是同一球面上的四个点,其中ABC ∆是正三角形,AD ⊥平面ABC ,26AD AB ==,则该球的体积为( )
A .323π
B .48π C. 24π D .16π
11.已知抛物线2:4C x y =,直线:1l y =-,,PA PB 为抛物线C 的两条切线,切点分别为,A B ,则 “点P 在l 上”是“PA PB ⊥”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C. 充要条件
D .既不充分也不必要条件
12. 已知函数()2
1ln 1
f x x =-
+(, 2.71828x e e >=L 是自然对数的底数).若
()()2ln f m e f n =-,则()f mn 的取值范围为( )
A .5,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B .9,110⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 5,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D .3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
(13)已知x ,y 满足2040330x y x y x y -+-≥⎧⎪
+-≤⎨⎪-+≤⎩
则3z x y =-+的最小值为 .
(14)已知双曲线22
221x y a b
-=(0,0a b >>)的一条渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦
长为2,则该双曲线的离心率为 .
(15)设数列}{n a 的前n 项和为n S ,若31=a 且12n n n a S S -=⋅则}{n a 的通项公式
=n a .
(16)如图,设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为
,,a b c ,cos cos sin a C c A b B +=,且6
CAB π
∠=
.
若点D 是ABC ∆外一点,2,3DC DA ==,则当四边 形ABCD 面积最大值时,sin D = .
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-. (1)证明:{}n a 是等比数列,并求其通项公式; (2)求数列1n n a ⎧⎫
+⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T .
18. (本小题满分12分)
在ABC ∆中,角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,,且A b c B a cos )3(cos -=. (1)求A cos 的值;
(2)若3=b ,点M 在线段BC 上,→→→=+AM AC AB 2,23||=→
AM ,求ABC ∆的面积.
19. (本小题满分12分)
为了引导居民合理用电,国家决定实行合理的阶梯电价,居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).
(1超出第二阶梯的部分每度0.8元,试计算A 居民用电户用电410度时应交电费多少元? (2)现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望; (3)以表中抽到的10户作为样本估计全市..
的居民用电,现从全市中依次抽取10户,若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大,求k 的值.
20.(本小题满分12分)已知函数x b bx x x f 21)()(2
-⋅++=
(1)当1-=b 时,求函数)(x f 的单调区间; (2)求函数)(x f 在]0,1[-上的最大值.
21.(本小题满分12分)已知函数)1ln()(+=x x f . (1)当)0,1(-∈x 时,求证:)()(x f x x f --<<;
(2)设函数a x f e x g x
--=)()()(R a ∈,且)(x g 有两个不同的零点21,x x )(21x x <, ①求实数a 的取值范围; ②求证:021>+x x .
请考生在22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy 的原点,极轴为x 轴的正半轴,两种坐标系
中的长度单位相同,曲线C
的参数方程为11x y α
α⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩(α为参数),直线l 过点
(1,0)-,且斜率为
12,射线OM
(1)求曲线C 和直线l 的极坐标方程;
(2)已知射线OM 与圆C 的交点为,O P ,与直线l 的交点为Q ,求线段PQ 的长.
23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
(1)函数|3|)(-=x x f ,若存在实数x ,使得)1()4(2-+≤+x f m x f 成立,求实数m 的取值范围;
(2)设R z y x ∈,,,若422=-+z y x ,求2
2
2
4z y x ++的最小值.
理科数学试题参考答案及评分标准
1-5: DCDBA 6-10: DABBA 11、12:CC
13. 0
14
2
15. 3,118
,2(53)(83)
n n n n =⎧⎪⎨≥⎪--⎩
16.
17.(1)证明:当1n =时,12a =,
由1122,22n n n n S a S a ++=-=-得1122n n n a a a ++=-, 即12n n a a +=, 所以
1
2n n
a a +=, 所以数列{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列,于是2n n a =. (2)解:令11
2
n n n n n b a ++==, 则1232341
2222
n n
n T +=
++++L ,① ①12⨯得234112341
222222n n n n n T ++=+++++L ,②
①﹣②,得23111111122222n n n n T ++=+++++L 13322
n n ++=-
所以3
32
n n n T +=-
. 17. (1)因为A b c B a cos )3(cos -= ,由正弦定理得:A B C B A cos )sin sin 3(cos sin -= 即A C A B B A cos sin 3cos sin cos sin =+,A C C cos sin 3sin = 在ABC ∆中,0sin ≠C ,所以3
1
cos =
A ………………5分 (2)→
→
→
=+AM AC AB 2,两边平方得:2
2
2
42→
→
→
→→=⋅++AM AC AB AC AB
由3=b ,23||=→
AM ,31cos =A 得1843
13292
⨯=⨯⨯⨯++c c 解得:(舍)或97-==c c
所以ABC ∆的面积
273
2
23721=⨯⨯⨯=S ………………12分
19. (1)2278.0)400410(6.0)210400(5.0210=⨯-+⨯-+⨯元 …………2分
(2)设取到第二阶梯电量的用户数为ξ,可知第二阶梯电量的用户有3户,则ξ可取0,1,2,3
247)0(31037===C C p ξ4021
)1(3101
327=
==C C C p ξ 407)2(3102317===C C C p ξ120
1
)3(31033=
==C C p ξ 故ξ的分布列是
所以10
1203402401240)(=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ………………7分 (3)可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯,满足)5
3
,10(~B X ,可知
k
k k C k X p -==1010)
5
2()53()()10,3,2,1,0(⋅⋅⋅=k ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧≥≥-----+-++-)
1(1011101010)1(1011101010)52()53()52()53()5
2()53()52()53(k k k k k k k k k k k k C C C C ,解得533528≤≤k ,*N k ∈ 所以当6=k 时,概率最大,所以6=k ………………12分 20. (1)函数的定义域为]21
,(-∞,当1-=b 时,x
x x x f 21)
1(5)(---=
'……3分
由
0)(='x f 得,0=x 或1=x (舍去)。
当]0,(-∞∈x 时,
0)(≥'x f ,]2
1
,0[∈x 时,0)(≤'x f
所以函数的单调减区间是]0,(-∞,增区间是]2
1,0[………………5分 (2)因为x
b x x x f 21)235()(--+-=
',由由0)(='x f 得,0=x 或532b
x -=
①当
1532-≤-b 时,即3
7
≥b 时,在]0,1[-上,0)(≥'x f ,即)(x f 在]0,1[-上递增,所以b f x f ==)0()(max
②当05321≤-<
-b 时,即3732<≤b 时,在]532,1[b --上,0)(≤'x f ,在]0,5
32[b
-上,0)(≥'x f 即)(x f 在]532,1[b --上递减,在]0,5
32[b
-递增;
因为b f f ==-)0(,3)1(,
所以当
332≤≤b 时,3)1()(max =-=f x f ;当37
3<<b 时,b f x f ==)0()(max ③当0532>-b 时,即3
2<b 时,在]0,1[-上,0)(≤'x f ,即)(x f 在]0,1[-上递减,所
以3)1()(max =-=f x f
综上可得⎪⎩⎪⎨⎧≤>=)3(3)3()(max b b b x f ………………12分
21:(1)记)1ln()(+-=x x x q ,则1
111)(+=
+-=x x
x x q ,在)0,1(-上,0)(<'x q 即)(x q 在)0,1(-上递减,所以0)0()(=>q x q ,即)()1ln(x f x x =+>恒成立 记)1ln()(+-+=x x x m ,则1
111)(-=
--+
='x x
x x m ,在)0,1(-上,0)(>'x m 即)(x m 在)0,1(-上递增,所以0)0()(=<m x m ,即0)1ln(<+-+x x 恒成立
)()1ln(x f x x --=+--<………………5分
(2)①a x e x g x
-+-=)1ln()(,定义域:),1(+∞-,则1
1)(+-='x e x g x 易知)(x g '在),1(+∞-递增,而0)0(='g ,所以在)0,1(-上,
0)(<'x g
)(x g 在]0,1(-递减,在),0[+∞递增,+∞→-→+y x ,1,+∞→+∞→y x ,
要使函数有两个零点,则01)0()(<-==a g x g 极小值 故实数a 的取值范围是),1(+∞………………7分
②由①知2101x x <<<-,记)0,1(),()()(-∈--=x x g x g x h
1
1
11)()()(+--
++-
=-'+'='-x e x e x g x g x h x x 当)0,1(-∈x 时,由①知:)1ln(+--<x x ,则11
)1ln(+-=
<+--x e e x x
再由)1ln(+>x x 得,11)
1ln(+=<+--x e
e x x
011<+--x e x ,01
1
<+--x e x
故0)(<'
x h 恒成立,)0,1()()()(-∈--=x x g x g x h 在单调递减
0)0()(=>h x h ,即)()(x g x g ->,而011<<-x ,)()(11x g x g ->
0)()(21==x g x g ,所以)()(12x g x g ->,由题知,),0(,21+∞∈-x x ,)(x g 在),0[+∞递增,
所以12x x ->,即021>+x x ………………12分
22.因为曲线C
的参数方程为11x y α
α⎧=-+⎪⎨
=+⎪⎩(α为参数)
,所以消参α后的
普通方程是:2)1()1(2
2
=-++y x
将θρθρsin ,cos ==y x 代入整理得:0sin 2cos 2=-+θθρ 即曲线C 的极坐标方程为0sin 2cos 2=-+θθρ 直线l 过点(1,0)-,且斜率为
1
2,
直线l 的普通方程为012=+-y x 将θρθρsin ,cos ==y x 代入整理得:01sin 2cos =+-θρθρ………………5分 (2)将43πθ=
代入曲线C 和直线l 的极坐标方程可得,2243cos 243sin 2||=-=ππOP ,3
2
4
3cos 43sin
21||=-=
ππOQ 所以线段PQ 的长为3
253222=-………………10分
23.解:令)1()4(2)(--+=x f x f x g ,则|4||1|2)(--+=x x x g ,即
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+<<---≤--=)4(6)41(23)1(6)(x x x x x x x g
作出的图像,如图所示,易知其最小值为-5 ………………5分 所以5)(min -=≥x g m ,实数的取值范围是),5[+∞-
(2)由柯西不等式:2
2
2
2
2
2
2
)22(])2([])2(11[z y x z y x -+≥++⋅-++ 即16)22()4(62
2
2
2
=-+≥++z y x z y x ,故3
84222≥++z y x 当且仅当
2121-=
=z y x 时,即3
4
,31,32-===z y x 时等号成立, 所以2
224z y x ++的最小值为3
8. ………………10分。