2023届高考数学总复习《立体几何》附答案解析

（2）若点 N 为 BC 的中点，求四面体 A'MNB 的体积．
【解答】证明：（1）连接 BD，设 BD∩EC＝F，连接 MF，
由题意可得四边形 BCDE 为正方形，则 F 为 BD 的中点，
∴MF 为△A′BD 的中位线，可得 MF∥A′B，
又 A′B⊄平面 EMC，MF⊂平面 EMC，
∴A'B∥平面 EMC；
2023 年高考：立体几何复习题及答案
1．如图，已知直角梯形 ABCD，BC∥AD，BC＝CD＝2，AD＝4，∠BCD＝90°，点 E 为 AD 的中点，现将三角形 ABE 沿 BE 折叠，得到四棱锥 A'﹣BCDE，其中∠A'ED＝120°， 点 M 为 A'D 的中点．
（1）求证：A'B∥平面 EMC；
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∵BE⊂平面 BEF，∴平面 BEF⊥平面 AMD， 结合题意分析知，点 F 在线段 AD 上，连接 MF， 过 A 作 AH⊥MF，交 MF 的延长线于点 H，
则结合已知条件得
，解得 AH ，
设 Dt ，
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【解答】解：（1）证明：由题意知 PC2+AC2＝PA2，∴PC⊥AC， 同理，PC⊥BC，又 AC∩BC＝C，∴PC⊥平面 ABC， ∵D，E 分别是 AC，PA 的中点，∴DE∥PC， ∴DE⊥平面 ABC， 又 DE⊂平面 BDE，∴平面 BDE⊥平面 ABC． （2）在△BDE 中，DE⊥BD，BD＝2 ，DE＝2，∴BE＝4， 如图，过 A 作 AM⊥BE 于 M，连接 MD， 在△ABE 中，AB＝BE＝4，AE＝2 ，解得 AM ，ME＝1， ∵DM⊂平面 BDE，∴AC⊥DM， 在 Rt△ADM 中，AM ，AD＝2，∴DM ， ∴DM2+EM2＝DE2，∴MD⊥BE， ∵AM∩MD＝M，∴BE⊥平面 AMD，
解：（2）过 A′作 ED 的垂线，交 DE 的延长线于点 O，
∵∠A′EB＝∠DEB＝90°，∴BE⊥A′E，BE⊥ED，
又 A′E∩ED＝E，∴BE⊥平面 A′ED，则 A′O⊥BE，
又 A′O⊥ED，BE∩ED＝E，∴A′O⊥平面 BCDE，
在 Rt△A′OE 中，A′E＝2，∠A′EO＝60°，∴
，
又点 N 为 BC 的中点，∴BN＝1，连接 DN，则
，
于是四面体 A′MNB 的体积 VA′﹣MNB＝VD﹣MNB＝VM﹣DNB
．
∴四面体 A′MNB 的体积为 ．
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2．如图，在三棱锥 P﹣ABC 中，△ABC 为正三角形，点 D，E 分别为 AC，PA 的中点，其 中 PA＝PB＝4 ，PC＝AC＝4． （1）证明：平面 BDE⊥平面 ABC； （2）若点 F 是线段 AC 上异于点 D 的一点，直线 AE 与平面 BEF 所成角的正弦值为 ， 求 的值．