二阶Emden-Fowler型变时滞中立型微分方程的振荡性

二阶Emden-Fowler型变时滞中立型微分方程的振荡性张晓建
【摘要】The oscillatory behavior of a class of second-order Emden-Fowler-type nonlinear neutral variable delay functional differential equations is studied in this ing a couple generalized Riccati transformation and some necessary analytic techniques,we establish two new oscillation criteria for the equations,which improve and generalize some corresponding known results.%利用广义双黎卡提变换技术及一些分析技巧,研究了一类二阶Emden-Fowler型非线性中立型变时滞泛函微分方程的振荡性,获得了该类方程振荡的2个新的判别准则,推广并改进了现有文献中的一些结果.【期刊名称】《浙江大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2018(045)003
【总页数】6页(P308-313)
【关键词】振荡性;变时滞;Emden-Fowler型微分方程;Riccati变换
【作者】张晓建
【作者单位】邵阳学院理学与信息科学系,湖南邵阳422004
【正文语种】中文
【中图分类】O175.7
0 引言
研究如下形式的二阶非线性广义Emden-Fowler型变时滞微分方程的振荡性：[a(t)φ1(z′(t))]′+q(t)f(φ2(x(δ(t))))=0，t≥t0
(1)
其中，z(t)=x(t)+p(t)x(τ(t)),φ1(u)=|u|λ-1u,φ2(u)=|u|β-1u(λ>0,β>0为实常数)；a,p,q∈C([t0,+∞),R)；f∈C(R,R)且当u≠0时，uf(u)>0.并总假设以下条件成立：(H1) a∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，且q(t)>0，p(t)≥0.
(H2) 滞量函数τ,δ：[t0,+∞)→(0,+∞)，并且满足：及τ∘δ=δ∘τ，τ′(t)≥τ0(这里τ0>0为常数).
(H3) 当u≠0时f(u)/u≥L(这里常数L>0).
方程(1)的解及其振荡性定义可参见文献[1-2]. 由于时滞泛函微分方程在自然科学和工程技术中应用广泛，近年来，变时滞的中立型泛函方程的定性理论(特别是解的振荡和非振荡性、渐近性等)研究引起了国内外学者的极大兴趣[1-15]. 如黄记洲等[3]、曾云辉等[4]分别在条件
a-1/λ(t)dt=+∞
(2)
和
a-1/λ(t)dt<+∞
(3)
下研究了二阶Emden-Fowler型微分方程
{a(t)|[x(t)+p(t)x(τ(t))]′|λ-1[x(t)+p(t)x(τ(t))]′}′+q(t)|x(δ(t))|β-1x(δ(t))=0
(4)
的振荡性，得到了方程(4)的若干新的振荡准则. 值得注意的是，文献[3-4]有限制条件：
a′(t)≥0，0≤p(t)<1，
(5)
在λ<β时，文献[3]未得到方程(4)的振荡准则，并且在条件(3)下，文献[3-4]得到的结论是：方程(4)的每一个解x(t)或者振荡或者显然不能确定方程(4)是否振荡. 此结论在应用时也很不方便，因为无法知道方程(4)的解x(t)在什么条件下是振荡的、在什么条件下满足
本文可看作文献[1]或[5]的延续. 文献[1]在条件(2)下研究了方程(1)的振荡性，得到了方程(1)振荡的一些新准则，这些振荡准则改进了现有文献中的一些结果(如去掉了限制条件(5)，在λ≤β和λ>β时均有方程(1)的振荡准则，在特殊情形即λ=β时提高了精确度等). 文献[5]又在一定程度上改进了文献[1]中定理1的结论，得到以下结果：
定理[5] 设条件(H1)～(H3)及式(2)成立，0≤p(t)≤p0<+∞(其中常数p0≥0)，若有函数φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得当λ≤β时，
(6)
当λ>β时，
其中，常数T≥t0充分大，η>0，
函数Q(t)及Ψ(t,t1)的定义如下：
Q(t)=min{q(t),q(τ(t))}，
Ψ(t,t1)=
t1≥t0，
则方程(1)是振荡的.
值得注意的是，由于受条件0≤p(t)<1的限制，文献[3-4]的结果不能用于下列方程(其中常数ρ0>0):
因为不满足条件(2)，所以文献[1,5]中的定理对上述方程也不适用.
本文的目的是利用广义的双Riccati(黎卡提)变换及不等式分析技巧，在条件(3)下建立方程(1)振荡的一些新的准则，以改进和丰富现有文献中的一系列结果.
1 方程的振荡准则
引理1[1] 设A>0，B>0，α>0均为常数，则当x>0时，
(8)
定理1 设条件(H1)～(H3)及式(3)成立，并且0≤p(t)≤p0<+∞(p0为常数)，如有函数φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))使得当λ≤β时式(6)成立，当λ>β时式(7)成立，并且
+∞，
(9)
其中，常数
函数
Q(t)=min{q(t),q(τ(t))}，
k>0为常数，ζ(t)=a-1/λ(s)ds，
则方程(1)是振荡的.
证明反证法: 设方程(1)有一个最终正解x(t)(当方程(1)有一个最终负解x(t)时类似可证)，则存在t1≥t0，使得当t≥t1时，x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0. 由文献[1]或[5]中定理1的证明知，函数a(t)φ1(z′(t))严格单调减小且最终定号，从而z′(t)最终为正或为负，因此只需考虑下列2种情形：
(i) z′(t)>0(t≥t1)；(ii) z′(t)<0(t≥t1).
情形(i) z′(t)>0(t≥t1). 由文献[5]中定理1的证明知，方程(1)是振荡的.
情形(ii) z′(t)<0(t≥t1).
首先，定义函数v(t)为
(10)
则v(t)<0(t≥t1). 由于a(t)φ1(z′(t))=a(t)×[-z′(t)]λ-1z′(t)是单调递减，则有
a(τ(t))[-z′(τ(t))]λ-1z′(τ(t))≥
a(t)[-z′(t)]λ-1z′(t)，
即a(τ(t))[-z′(τ(t))]λ≤a(t)[-z′(t)]λ，
亦即
注意到z′(t)<0，于是由式(10)可得
(11)
其次，定义函数w(t)为
w(t)==
则w(t)<0(t≥t1)，用与上面类似的方法可得
(12)
由文献[1]或文献[5]中定理1的证明知，下式仍然成立：
-L0Q(t)zβ(δ(t))≤0.
于是，利用z(δ(t))≥z(t)，并综合式(11)和(12)，可得
-L0Q(t)zβ-λ(t)-
(13)
若λ>β，则由z(t)>0，z′(t)<0(t≥t1)知，z(t)≤z(t1)，即zβ-λ(t)≥zβ-λ(t1)=k.若λ=β，则zβ-λ(t)=1.
若λ<β，则由a(t)(-z′(t))λ-1z′(t)单调减小，当s≥t1时，有
a(s)(-z′(s))λ-1z′(s)≤
a(t1)(-z′(t1))λ-1z′(t1)=-M，
其中M=-a(t1)(-z′(t1))λ-1z′(t1)>0为常数，于是a(s)(-z′(s))λ≥M，即z′(s)≤-
M1/λa-1/λ(s).进一步有z(u)-z(t)≤-M1/λa-1/λ(s)ds，即
z(t)≥z(u)+M1/λa-1/λ(s)ds≥M1/λa-1/λ(s)ds，
在上式中令u→+∞，得
z(t)≥M1/λa-1/λ(s)ds=M1/λζ(t)，
即
zβ-λ(t)≥kζβ-λ(t)，
其中k=M(β-λ)/λ>0是常数.
综合上述3种情形及函数π(t)的定义，由式(13)，有
(14)
上式两边同时乘以ζλ(t)，再从t1到t(t≥t1)积分，并利用ζ′(t)=-a-1/λ(t)及式(8)可得
L0Q(s)π(s)ζλ(s)ds≤
-+λζλ-1(s)ζ′(s)w(s)ds-
(15)
此外，再次利用a(t)(-z′(t))λ-1z′(t)的单调递减性，对s≥t≥t1，有a(s)(-z′(s))λ-1z′(s)≤a(t)(-z′(t))λ-1z′(t)，
即
两边对s从t到u(u≥t)积分，得
z(u)-z(t)≤a1/λ(t)z′(t)a-1/λ(s)ds，
从而
z(t)+a1/λ(t)z′(t)a-1/λ(s)ds≥0，
令u→+∞，则有
z(t)+a1/λ(t)z′(t)a-1/λ(s)ds≥0，t≥t1.
因此，
于是由函数w(t)的定义知，
-1≤w(t)ζλ(t)≤0，t≥t1.
(16)
同理可得
-1≤v(t)ζλ(t)≤0，t≥t1.
(17)
结合式(16)、(17)，由式(15)得
这与条件(9)矛盾. 定理证毕.
定理2 设条件(H1)～(H3)及式(3)成立，并且0≤p(t)≤p0<+∞(p0为常数)，如有函数φ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))使得当λ≤β时式(6)成立，当λ>β时式(7)成立，并且
(18)
其中函数Q(t)，π(t)及ζ(t)的定义同定理1，则方程(1)是振荡的.
证明前面部分的证明完全同定理1，可得式(14)、(16)和(17). 现将式(14)两边同时乘以ζλ+1(t)，再从t1到t(t≥t1)积分，注意到ζ′(t)=-a-1/λ(t)，则有
L0Q(s)π(s)ζλ+1(s)ds≤-ζλ+1(s)w′(s)ds-
ζλ+1(t)(-w(t))+ζλ+1(t1)w(t1)+
(19)
利用式(16)，可得
|ζλ+1(t)(-w(t))|≤|ζλ(t)w(t)|ζ(t)≤
ζ(t)<+∞，
类似地，利用式(17)，可得
|ζλ+1(t)(-v(t))|<+∞，
于是，由式(19)得
L0Q(s)π(s)ζλ+1(s)ds<+∞，
这与条件(18)矛盾. 定理证毕.
例1 考虑方程
(E)
其中ρ0>0为常数. 相当于方程(1)中a(t)=t2，
q(t)=ρ0，p(t)=1+sin t，f(u)=u，τ(t)=δ(t)=t/2，λ=β=1，t0=1.显然有
a-1/λ(t)dt=t-2dt<+∞.
现取φ(t)=t，t1=1，则
取T=3，则1/2≤Ψ(t,t1)≤1. 注意到L0=1，τ0=1/2，p0=2，于是，当ρ0>1.5时，
且
因此，由定理1知,当ρ0>1.5时方程(E)是振荡的.
注1 实际上，上述计算还可进一步精确. 如取T=3.5，则0.6≤Ψ(t,t1)≤1，当
ρ0>1.25时,
于是，由定理1知,当ρ0>1.25时,方程(E)是振荡的.
注2 由于不满足条件(2)，因此文献[1,5,9-10]中的结论对方程(E)不适用，又因不满足条件0≤p(t)<1，则文献[3-4]中的结果也不能用于方程(E)，其他文献如[2,6-8]中的定理也不能用于方程(E).
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