数学模型 饮酒驾车模型

一、实验目的
理解数据拟合基本内容，掌握Matlab软件求解数据拟合的基本方法
二、实验用仪器设备、器材或软件环境
Matlab软件
三、求解问题
据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？
请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：
1. 对大李碰到的情况做出解释；
2. 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：
1）酒是在很短时间内喝的；
2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

参考数据
1. 人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：
四、数学模型
1.模型假设
1、假设每瓶啤酒内的酒精含量一定。

2、假设食物不影响人体对酒精的吸收。

3、假设人体血液体积一定。

4、假设人体对酒精的吸收、消化、排泄功能正常。

5、假设人体血液中的酒精量与喝入的酒精量成线性关系。

6、假设酒精进入中心室以后直接排出体外。

2.符号说明
0D ：进入吸收室中的酒精含量（单位：mg ）。

0k ：吸收室中的酒精转移到中心室的速率系数。

k ：中心室的酒精排出体外的速率系数。

2k ：长时间内喝酒，酒精进入中心室的速率。

()t f 0：酒精在t 时刻转移到中心室的速率。

t ：时间（单位：时）。

()t c ：t 时刻血液中的酒精浓度。

()00x ：吸收室在0=t 时的酒精含量。

()t x 0：吸收室在t 时刻的酒精含量。

()t x 1：中心室在t 时刻的酒精含量。

()t x ：长时间内喝酒中心室在t 时刻血液中的酒精含量。

V ：人体中血液的体积。

1V ：中心室中血液的体积。

模型一（快速饮酒问题）
（一）、模型建立与求解
快速饮酒与口服或肌肉注射药物的过程相似,这就相当于酒精进入中心室前先有一个将酒精吸收入血液的过程可以简化为有一个吸收室。

如图一 于是)(0t x 满足
⎩⎨
⎧=-='00
000
)0()(D x x k t x (1) 而药物进入中心室的速率为
)()(000t x k t f = (2)
将方程（1）的解代入（2）式得
()t k e D k t f 0000-= (3)
又由假设得出微分方程
)()()(10'1t kx t f t x -= (4)
)(1t x 与血液浓度)(1t c 、房室容积1V 之间显然有关系式 )(1t x =)(1t c 1V （5）
将（5）式代入（4）式得
1
00'
0)(V e D k kc t c t
k -+
-= （6） 用MATLAB 解此微分方程，可得
kt t k k e c e k k V D k t c -+-+-=])
([
)(1)(010
00 )(0k k ≠ （7）
即kt t k e c e k k V D k t c --+-=
1010
00)
()( （8）
因为k V D k ,,,10都是常数
故（8）式可以简化为t k kt Be Ae c 0---=
B A ,都为待定参数，其中)
(010
1k k V D k B -=
（二）、参数估计
将血样分成两部分，对于t 比较大时，
可近似有 kt Ae t c -=)( 两边取对数得kt A t c -=ln )(ln 利用MATLAB 将数据拟合 得出 2316.0,2477.5==k A 则t e t c 2316.01285.190)(-= 对于其余数据进行以下处理
t k kt Be t c Ae t c
0)()(~--=-=
t=[0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7] t =
Columns 1 through 13
0.2500 0.5000 0.7500 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000 6.0000 Column 14 7.0000
>> c=[30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 ] c =
30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 38 35
>> polyfit(t,c4,1) ans =
-0.4775 4.8708 >> exp(4.8708) ans =
130.4252 同理得出
4252.130=B 4775.00=k 从而得出快速喝入两瓶啤酒，
血液中酒精含量与时间t 的关系式：
t t e e t c 4775.02316.04252.1301285.190)(---=
经过n 小时后再喝入两瓶啤酒，可以进一步改进模型得血液中酒精含量与时间t 的关系式：
)(4775.0)(2316.04775.02316.04252.1301285.1904252.1301285.190)(n t n t t t e e e e t c -------+-=
模型二（慢速饮酒问题）
（一）、模型建立与求解
慢速饮酒与恒速静脉滴注过程相似，我们假设血液中酒精是比较长时间（两小时内）恒速进入中心室的，其速率为2k ，)(0t f 和初始条件为：
0)0(,)(20==c k t f
如图三，可得微分方程
)()()(0't kx t f t x -= （9）
又因为
),()(1t c V t x =
求导得
原理
)()('1't c V t x = （10）
把（10）代入（9）可得
)()()(10't c kV t f t Vc -= （11）
即
)()
()(1
0't kc V t f t c -=
（12） 可以利用MATLAB 解微分方程得
kt e c K
V t f t c -+=
110)
()( （13） 又因为
0)0(=c （14）
所以
k
V t f c 101)
(-
= （15） 把（15）代入（13）得
)1()
()(10kt e k
V t f t c --=
（16） 两小时以后，中心室没有酒精注入
即0)2(0=-t f （17） 把（17）代入（9）可得
)2()2('--=-t kx t x （18）
所以就有
)2()2(1'1--=-t c kV t c V
即)2()2('--=-t kc t c （19）
k t c t c -=--)
2()
2('
可以利用MATLAB 解微分方程得
)2(2)2(--=-t k e C t c （20）
2C 为常数，其值)2(2C C =，)1()
()2(210k e k
V t f C --=
（21） 把（21）代入（20）可得
)2(210)1()
()2(----=
-t k k e e k
V t f t c （22） 所以慢速饮酒时血液中的酒精含量与时间的关系为
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧≥-≤<-=----)
2()1()
()
20()1()
()()2(21010t e e k
V t f t e k
V t f t c t k k kt （23）
（二）、参数估计
据我们调查后得到两瓶啤酒的酒精含量为：
)(384001000203.0640mg D =⨯⨯⨯=
所以得
48.2202316
.047281
38400)(0=⨯⨯⨯
=Vk t f （24） 把（24）代入（23）可得血液中的酒精含量与时间的关系式
⎩⎨⎧≥-≤<-=----)
2()1(48.220)
20()
1(48.220)()2(2316.04632
.02316.0t e e
t e t c t t
五．实验步骤、编程及调试方法
图一的程序：
>> t=[8 9 10 11 12 13 14 15 16]; >> c=[28 25 18 15 12 10 7 7 4]; >> c1=log(c); >> polyfit(t,c1,1) ans =
-0.2316 5.2477 >> exp(5.2477) ans =
190.1285 >> c=190
.1285*exp(-0.2316*t)
图二的程序：
>> c2=190.1285*exp(-0.2316*t) c2 =
Columns 1 through 13
179.4327 169.3386 159.8123 150.8220 134.3301 119.6415 106.5591 94.9073 84.5295 75.2864 67.0541 59.7220 47.3753
Column 14
37.5811
六．实验数据处理及结果分析
图一
图二
七．分析、检验和结论;
1、对大李遇到的情况做如下解释
大李喝过一瓶啤酒，经过6小时后，代入模型可得其血液中的酒精含量为20
c毫
=
19<
.
97
克/百毫升，所以符合新的国家标准。

随后又喝一瓶啤酒，经过7小时后，代入改进后的模型
可得其血液中的酒精含量为20
24>
c毫克/百毫升，所以被定为饮酒驾车。

=
.
52
2.在喝3瓶啤酒的情况下
（1）酒是在很短的时间内喝的
程序：
>> c3=c2-c
c3 =
Columns 1 through 13
149.4327 101.3386 84.8123 68.8220 52.3301 42.6415 38.5591 26.9073 26.5295 24.2864 17.0541 18.7220 9.3753
Column 14
2.5811
根据所建立的模型一，画出其散点图（图四）如下
根据上图可知，在11小时内驾车违反上述标准。

（2）酒是在较长的时间内喝的
程序：
>> c4=log(c3)
c4 =
Columns 1 through 13
5.0068 4.6185 4.4404 4.2315 3.9576 3.7528 3.6522 3.2924 3.2783 3.1899 2.8364 2.9297 2.2381
Column 14
0.9482
根据所建立的模型二，画出其散点图如下
代入模型计算可得慢速喝酒以后在10小时内开车是违反规定的，也可以由上图得出。

八、心得体会
求解数据拟合问题，最主要的就是建模，模型的建立是解决问题的关键。

本次建模过程中，仍存在着一些不足：
1.本文的模型参数仅是依靠题中给出的一组数据拟合求解得出，可能有一点偏差。

2.模型为使计算简便，使所得的结果更理想化，忽略了一些次要的因素。

如：酒进入身
体后随着血液流动，人体对酒精的吸收率是随时间变化的，而本模型是在吸收率恒定的情况下，进行求解的。

对于这些问题，由于时间关系本模型还未能更好的研究，有待以后的改进和完善。