高考数学二轮复习钻石卷 高频考点训练10

2014高考数学（全国通用）二轮复习钻石卷高频考点训练10
一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．
1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
－9n ，第k 项满足5<a k <8，则k ＝( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6
解析 由a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
S 1n ＝1
S n －S n －1n ≥2，n ∈N *
＝⎩
⎪⎨⎪⎧
－8n ＝1，
2n －10n ≥2，n ∈N *
，
得a n ＝2n －10(n ∈N *
)，
由5<2k －10<8，
得7.5<k <9，因为k ∈N *
，所以k ＝8. 答案 B
2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2
＋n ，数列{b n }满足b n ＝1
a n a n ＋1
(n ∈N *
)，T n
是数列{b n }的前n 项和，则T 9等于( )
A.919
B.1819
C.2021
D.
940
解析 ∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋n ，∴n ＝1时，a 1＝2；n ≥2时，a n ＝S n
－S n －1＝2n ，∴a n ＝2n (n ∈N *
)，∴b n ＝
1
a n a n ＋1
＝
12n
2n ＋2
＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T 9＝1
4
⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－110＝14×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－110＝940.
答案 D
3．已知数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 013等于( ) A ．2 011×2 010 B ．2 013×2 012 C ．2 014×2 013 D ．2 0132
解析 由a n ＋1＝a n ＋2n ， ∴a n ＋1－a n ＝2n ，∴a 2－a 1＝2，
a 3－a 2＝4，
……
a 2 013－a 2 012＝4 024.
累加得a 2 013－a 1＝2＋4＋6＋…＋4 024＝2 012×4 026
2
＝2 012×2 013，又a 1＝0，故
a 2 013＝2 012×2 013.
答案 B
4．(2013·山东日照一模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n
＝( )
A ．6n －n 2
B ．n 2
－6n ＋18
C.⎩⎪⎨⎪⎧
6n －n 2 1≤n ≤3n 2
－6n ＋18
n >3
D.⎩⎪⎨⎪⎧
6n －n 2
1≤n ≤3
n 2
－6n
n >3
解析 由S n ＝n 2
－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7.
∴n ≤3时，a n <0；n >3时，a n >0.
∴T n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
6n －n 2
1≤n ≤3，n 2
－6n ＋18 n >3.
答案 C
5．已知曲线C ：y ＝1
x
(x >0)及两点A 1(x 1,0)和A 2(x 2,0)，其中x 2>x 1>0.过A 1，A 2分别作x
轴的垂线，交曲线C 于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与x 轴交于点A 3(x 3,0)，那么( )
A ．x 1，x 32，x 2成等差数列
B ．x 1，x 3
2，x 2成等比数列
C ．x 1，x 3，x 2成等差数列
D ．x 1，x 3，x 2成等比数列
解析 由题意，B 1，B 2两点的坐标分别为⎝
⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1
，⎝
⎛⎭
⎪⎫x 2，1x
2
，所以直线B 1B 2的方程为y
＝－
1x 1x 2(x －x 1)＋1x 1，令y ＝0，得x ＝x 1＋x 2，∴x 3＝x 1＋x 2，因此，x 1，x 3
2，x 2成等差数列． 答案 A
6．等比数列{a n }的各项均为正数，a k a k －2＝a 2
6＝1 024，a k －3＝8，若对满足a t >128的任
意t ，
k ＋t
k －t
≥m 都成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－6] B ．(－∞，－8] C ．(－∞，－10]
D ．(－∞，－12]
解析 a k a k －2＝a 2
6＝1 024⇒k ＝7，a 6＝32， 又a k －3＝a 4＝8，a n >0，所以q ＝2，a n ＝2n －1
.
由a t ＝2t －1
>128＝27⇒t ≥9，由题意知m ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫k ＋t k －t min
，
而⎝
⎛⎭
⎪⎫k ＋t k －t min ＝7＋97－9＝－8，故选B.
答案 B
二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上． 7．(2013·全国卷Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋1
3，则{a n }的通项公式是a n ＝
________.
解析 n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13，化简得：a n ＝－2a n －1，又a 1＝S 1＝
2
3
a 1＋1
3
，得a 1＝1，故{a n }为以1首项，以－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1.
答案 (－2)
n －1
8．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＋a 2＋a 5>13，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 1
的取值范围为________．
解析 设{a n }的公差为d (d ≠0)， 则a 2＝a 1＋d ，a 5＝a 1＋4d . 又a 2
2＝a 1·a 5，且d ≠0，∴d ＝2a 1. ∴a 1＋a 2＋a 5＝13a 1>13，∴a 1>1. 答案 (1，＋∞)
9．设数列{a n }，若a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *
)，则称数列{a n }为“凸数列”，已知数列{b n }为“凸数列”，且b 1＝1，b 2＝－2，则数列{b n }前2 013项的和为________．
解析 由“凸数列”的定义，可写出数列的前几项，
即b 1＝1，b 2＝－2，b 3＝－3，b 4＝－1，b 5＝2，b 6＝3，b 7＝1，b 8＝－2，… 故数列{b n }是周期为6的周期数列． 又b 1＋b 2＋b ＋b 4＋b 5＋b 6＝0，
故S 2 013＝S 335×6＋3＝b 1＋b 2＋b 3＝1－2－3＝－4，故填－4. 答案 －4
三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 10．(本小题10分)(2013·安徽凤阳二模)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1
2
，S n ＝
n 2a n －n (n －1)，n ＝1,2，…….
(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
n ＋1n S n 是等差数列，并求S n ； (2)设b n ＝
S n
n 3
＋3n 2
，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <512
.
证明 (1)由S n ＝n 2
a n －n (n －1)知， 当n ≥2时，S n ＝n 2
(S n －S n －1)－n (n －1)， 即(n 2
－1)S n －n 2
S n －1＝n (n －1)，
∴n ＋1n S n －n
n －1
S n －1＝1，对n ≥2成立． 又
1＋1
1
S 1＝1， ∴⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
n ＋1n S n 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴n ＋1n S n ＝1＋(n －1)·1.∴S n ＝n 2
n ＋1
.
(2)b n ＝
S n
n 3
＋3n
2
＝
1
n ＋1
n ＋3＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n ＋1－1n ＋3，
∴b 1＋b 2＋…＋b n
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋13－1
5＋…＋1n －1n ＋2＋1n ＋1－1n ＋3
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5
6－1n ＋2－1n ＋3<512
.
11．(本小题10分)(2013·山东卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋1
2
n
＝λ(λ为常数)．令c n ＝b 2n (n ∈N *
)，求
数列{c n }的前n 项和R n .
解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得
⎩⎪⎨⎪⎧
4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋2n －1d ＝2a 1＋2
n －1d ＋1.
解得a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *
. (2)由题意知T n ＝λ－n
2n －1，
所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－
n
2
n －1
＋
n －12
n －2
＝
n －2
2
n －1
.
故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n －1，n ∈N *
，
所以R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n －1
，
则14R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n
， 两式相减得
34R n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－14－(n －1)×⎝ ⎛⎭
⎪⎫14n
＝13－1＋3n 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ， 整理得R n ＝19⎝
⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.
所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝
⎛⎭⎪⎫
4－3n ＋14n －1.
12．(本小题10分)(2013·天津卷)已知首项为3
2的等比数列{a n }不是递减数列，其前n
项和为S n (n ∈N *
)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设T n ＝S n －1S n
(n ∈N *
)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．
解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5
＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2
＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32
，所
以q ＝－12，故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1
·32
n .
(2)由(1)得S n
＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
1＋1
2n
，n 为奇数，1－12n
，n 为偶数.
当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝3
2
，
故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝5
6.
当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，
所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－7
12.
综上，对于n ∈N *
，总有－712≤S n －1S n ≤56
.
所以数列{T n }的最大项的值为56，最小项的值为－7
12
.。