黄慧冬《14.2.1平方差公式》

《14.2.1平方差公式》教案设计
一、指导思想与理论依据
在教学设计时，我以布鲁纳认知发现学习理论的实质——主动的形成认知结构为指导
思想，结合“让每一个孩子都能够享受成功的快乐”的阳光教育理念，设计了平方差公式这
节课。

基于这种指导思想和教育理念，根据学生的认知特点和所学知识的特征，我在教学
过程中重点安排了：复习回顾，引入新知；自主学习，发现新知；巩固运用，拓展新知等
活动，使学生经历数学知识的形成与应用过程，以达到促进学生有效学习的目的。

二、教学背景分析
（一）教学内容分析
在教学过程中，特别是探索新知这一环节，和学生一起研究从特殊到一般的推导过程，进而得到平方差公式。

这将有助于训练学生观察、探究、发现、归纳的思维能力，使学生
领会到学习数学的思想方法。

对于平方差公式的学习，为以后的因式分解、分式的化简、
解一元二次方程、函数等内容的学习奠定了基础，同时也为学习完全平方公式提供了方法。

因此，确定本节课的教学重点是掌握公式的结构特征及如何正确运用公式计算。

（二）学生情况分析
在前面的学习中，学生已经学习了有理数运算、整式的加减及整式乘法等知识，掌握
了多项式乘法的法则，也经历过对幂的乘法、多项式乘法的推导过程，有一定的逻辑思维，能够有条理的分析问题。

本节课，通过学生自主合作学习，能够分析出平方差公式的结构
特征，会利用数形结合思想，理解平方差公式，在运算中，了解公式中字母的广泛含义。

因此，确定本课的教学难点是正确理解公式中字母的广泛含义及用图形面积解释公式的几
何意义。

三、教学目标的设置
知识与技能目标：经历探究平方差公式的推导过程；了解平方差公式。

式的及几何意义；理解平方差公式的结构特征，并能运用平方差公式进行运算。

过程与方法目标：在探究平方差公式的过程中，体验从“特殊到一般”的研究数学问题
的方法；通过对平方差公式的几何意义的了解，体会代数与几何的内在统一。

情感、态度、价值观目标：通过学生的拼图、解题等活动，感受探索几何图形面积的
多种拼接方法的乐趣，体验巧妙运用公式解题的价值。

四、教学策略及方法分析
针对本节课的教学重点—平方差公式的结构特征及运用公式正确运算，我在教学中从
学生刚刚学过的多项式乘法入手，通过学生的自主探究与合作学习，参与平方差公式的推
导过程；从而掌握公式的特征，并能够紧紧抓住特征，利用公式正确计算。

针对本节课的教学难点—正确理解公式中字母的广泛含义，教学中，学生可以通过观察，练习，发现公式中的，不仅可以是数字，也可以是多项式，从而体会整体的数学思想
在学习中的运用。

对于怎样用几何图形的面积解释平方差公式，主要是通过学生“剪”“拼”的
活动，把不规则的图形拼接成规则的图形，进而使学生更直观、形象的理解了平方差公式
的几何意义。

教学过程设计
一.前置学习
1.问题引入：问题：你能口答下列各题吗？
（1）2001×1999
（2）998×1002
（3）403×397
师生活动：学生尝试，学生不能快速口答出结果，教师引导，这三个式子有什么特征呢？从而导出新课：今天我们将进行新课的学习《平方差公式》，通过学习你将快速地计算出结果。

设计意图：通过设置悬疑，激发学生的学习兴趣，营造良好学习氛围。

1．知识回顾：多项式乘以多项式的运算法则是什么呢？
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn (二项式乘以二项式，乘积一定都有四项吗？)
(x+3)(x+5)=x2+5x+3x+15= x2+8x+15（结果有时可以合并同类项） 2．计算下列多项式的积,你能发现他们的运算形式与结果什么规律?
(x+4) (x-4)=___________;
(1+2a) (1-2a)=__________;
(m+6n) (m-6n)=__________;
(5x+y) (5x-y)=_______
二．合作探究，展示交流：
1．根据以上计算题思考：
（1）式子的左边具有什么共同特点？
（2）它们的结果有什么特征？
（3）试试用文字语言表示所发现的规律：
（4）我发现了这样的规律，可以用字母表示为：(a+b)(a-b)=a2-b2
3.再来验证下列多项式的积．看是否具有上述规律
（1）（x+3）（x-3）=
（2）(3a+2) (3a-2)=
我们把具有特殊形式和特殊结论的多项式的乘法算式归纳为乘法公式，因为上面的算式的结果是平方差的形式，故我们把上面这个公式称为平方差公式。

只有符合(a+b)(a-b)这样结构的乘法算式才能用平方差公式计算。

设计意图：引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急
于概括。

让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的结
构特征，为下一步运用公式进行简单计算打下基础。

4.平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2具有什么样的结构特征？
(1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)]
(2) 右边是乘式中两项的平方差，
(3) 公式中的 a和b 可以代表数，字母，也可以是代数式．
设计意图：让学生在交流中归纳平方差公式的特征,强化认知
5. 平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2代数说理和几何验证
你能验证上面你猜想的结论吗？
方法一：用多项式乘以多项式的运算法则计算(a+b)(a-b)
方法二：请从一个边长为a的正方形纸板上剪下一个边长为b的小正方形，拼成如上
图所示的长方形，你能根据图中的面积说明你猜想的结论成立吗？
设计意图：重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题。

三、探究提升，学以致用
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 )；(2) (-x+2y)(-x-2y). (3)(b+2a)(2a－b);
思考：你知道运用平方差公式要做到哪几步吗？
设计意图：分析它们分别是哪两个数和与差的积的形式．在做题的过程中巩固平方差
公式的特征，学生巩固法则，充分发挥学生主体性。

例2：身边的数学
1、狡猾的灰太狼, 把一块边长为a米正方形的土地.租给懒羊羊种植.一天,他对懒羊羊说:“我把你这块地一边增加5米,另一边减少5米,继续租给你,你也没有吃亏,你看如何?”懒
羊羊一听,觉得好象没有吃亏,就答应了.同学们,你们觉得懒羊羊有没有吃亏?
2、八年级一班要订购一批校服，老师说：“我们班有98名学生，每套校服102元，谁能帮老师算一算，一共要准备多少钱？这个问题你会用我们今天学习的知识解决了吗？
拓展：一千克苹果4.9元，小明的妈妈买了5.1千克的苹果，你能帮她算一算，一共要付多少钱吗？
设计意图：让学生在问题情境中探究，提高学习兴趣，增强合作意识，体会成功的喜悦。

并且感知数学来源于生活，也服务于生活。

练习1：下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1) (x+2)(x-2) = x2 - 2
(2) (-3a-2)(3a-2) = 9a2 – 4.
2、下列各式中,能用平方差公式运算的是( )
A. (-a+b)(-a-b)
B. (a-b)(b-a)
C. (2a-3b)(3a+2b)
D. (a+b)(a-c)
3.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
D.(-2b-5)(2b-5)
四、拓展延伸计算下列各题：
(1) (x+y)(x-y)(x2+y2) (灵活运用)
(2)(a+b)2-(a-b)2 (逆向思维训练)
设计意图：通过拓展练习，让不同层次的学生都有提高，教师更深入了解学生对本节知识的掌握情况，并对有困难的学生给予个别指导．
六、小结与反思
1、平方差公式：两数和与这两数的差的积，等于用式子表示：
(a+b)(a-b)=a2-b2
2、运用平方差公式时，应注意以下几个问题：
(1)公式左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
(2)公式右边是相同项的平方减去相反项的平方；
(3)公式中的a和b可以是数，也可以是单项式或多项式；
(4) 有些算式表面上不能运用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形就能运用公式了．
3、教学评价: 通过这节课的学习，你有什么收获？
设计意图：学生归纳总结本节课的主要内容—平方差公式，交流在探索过程中的心得和体会，不断积累数学活动经验．
五、作业布置 ----快乐训练营：
同步学习P64-65
六、板书设计：
七、教学反思：。