函数的求导法则

x
例 4 求函数 y＝arcsin x 的导数。
解：
y arcsin x 是 x sin y 的反函数 其中： x [1,1] ，y [ , ] 2 2 dx 而 cos y 1 sin 2 y 1 x 2 dy
由反函数求导法则：当 x 1 时
证:
在 x 处给增量
d y
因此
例 3 求函数 y＝e 的导数。
解：
x
y e x 是 x ln y 的反函数，而 x ln y 在 (0,) 内导数存在，且不为零 .
1 1 (e ) ＝y e x . (ln y ) 1 y
x
x 可推出 a ＝a ln a
(log a x)
sec x tan x
1 x ln a 1
1 x
2
(cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
( e x ) e x
(ln x)
1 x
(arcsin x) (arctan x)
1 1 例 8 设f ( x )＝ln x 1 －x －ln 2 ， 求 f 及 f ； 2 2 1 解： f ( x) ln x ln(1 x 2 ) ln 2 2 1 1 2x 1 x f ( x) 2 2 x 2 1 x x 1 x
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
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六、分段函数求导举例
3sin x＋x 2cos 1 ，x 0 例1 证明 f ( x)＝ x ，x＝ 0 0 在 x＝ 0 点可导，但 f ( x) 在 x＝ 0 点不连续。
例 6 求下列函数的导数
解：
1 y＝ln tan e ； 2 y＝sinn x sin nx （n为自然数）。
2x
(1)
y ln u ， u tan v ， v ew ， w 2x
2x 2 e dy dy du dv dw 1 sec2 v e w 2 sin e 2 x cos e 2 x dx du dv dw dx u
(arccos x)

1 1 x2
1 1 x2
(arc cot x)

1 1 x2
2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v (u v) uv u v
3. 复合函数求导法则
(C u ) C u ( C为常数 ) u uv u v (v 0) 2 v v
解： 1 求切点
x＝2 y＝2 切点为 2 , 2 又 切点在抛物线上 2 ＝ 4 ＋ 2b＋c

2 求斜率
y＝2 x＋b ， 令 2 x＋b x＝2＝ 1 b＝ －3
代入 式可得： c＝4
当b＝ －3 ， c＝4 时为所求。
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三、反函数的求导法则
拆复合函数为简单函数 (2) y (sin n x) sin nx “链”的方法： sin n x (sin nx) “令最后一道运算步骤 为一个新的函数。”
到有限个中间变量的情 形。
n 1 n n sin x cos x sin nx sin x cos nx n 注意： 复合求导的“链式法则 ”可推广
时 )
y y u u 故 f (u ) ( x ) g ( x) lim lim d x x 0 x x 0
例 5 证明 x ＝μx μ－1（x＞0 ，μ为任意实数）。
dy 1 ＝ dx dx dy
1 1 x2
.
类似可得：
arccos x ＝－
arctan x ＝
1 （－ 1＜x＜ 1 ） 2 1 －x
1 1 ＋x 2 （－＜x＜＋） （－＜x＜＋）
1 arccot x ＝－ 1 ＋x 2
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四、复合函数求导法则
定理3 可导，则
1 ( x3 4 cos x sin 1)
2 x 1 y x 1 (1 4 cos1 sin 1) ( 3 4 sin 1) 2
y
x ( 3 x 2 4 sin x)
例 2 试在抛物线 y x 2 bx c 的方程中，确定 b 和 c ，使该抛物线与直线 y＝x 在 x＝2 处相切。
可推出公式： C ＝ 0 x ＝n xn－1
n
sin x ＝cos x cos x ＝ sin x
1 ln x ＝ x
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二、四则运算求导法则
定理1
则
都在点 x 可导,
的和、 且
差、 积、 商 (除分母为 0的点外)
(v( x) 0)
（证明自学）
可推出公式：
解
例 2 设 y＝e
x
dy ，求 dx
x2
；
解
e ， x 1 例 3 设 f ( x)＝ ，试问 a ， b取何值时， x＞ 1 ax b， 解 f (1) 存在？
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七、内容小结
求导公式及求导法则
(见 P94)
注意: 1)
(uv ) u v,
u u v v
y e x ln sin x ( x ln sin x) 1 x (sin x) ln sin x x (sin x) sin x 1 x (sin x) ln sin x x cos x sin x
(sin x ) ln sin x x cot x
2
3 cos x 2 x cos 1 sin 1 ， x0 其导函数为 f ( x) x x 3 ， x0 1 另 lim sin 不存在， x 0 x 1 1 lim f ( x) lim (3 cos x 2 x cos sin ) 不存在 x 0 x 0 x x
x
试一试：推导一般公式 u ( x)
v( x)
＝？
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五、初等函数的求导问题
1. 常数和基本初等函数的导数 (P94)
(C ) 0 (sin x) cos x
(tan x)
1 ( x ) x (cos x) sin x
sec2 x
(sec x)
μ
证：
u ln x y x e ln x y eu ，
dy du u y e x 1 du dx x
( x ) x 1
得证.
导数公式的推广：
u ＝μuμ－1 u
μ
tan u ＝sec2u u
tan x ＝sec2 x
cot x ＝ csc2 x csc x ＝ csc x cot x
sec x ＝sec x tan x
ln x 1 log a x ＝ ＝ ln a x ln a
例1 设 解:
y x ( x 3 4 cos x sin 1) ,
2 cot u ＝－csc u u cos u ＝－sin u u
sin u cos u u
sec u ＝sec u tan u u

1 1 log au ＝ ln u ＝ u u u u ln a csc u ＝－csc u cot u u
2



1 1 x 4 f 2 2 x 1 x x1 3
2
1 f 2

0 ？
1 2 例 9 设y＝ f ＋ f ( x ) ，其中 f ( x ) 可导， x 求 y .
u g ( x) 在点 x 可导,
复合函数
在点
g ( x)
在点 x 可导, “链式法则”
且
d y dy du f (u ) g ( x) d x du dx
证:
y f (u )
在点 u 可导,
故
（当
y f (u )u u
y lim f (u ) u 0 u

2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .
3) 分段函数在特殊点处的导数要用定义讨论.
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思考与练习
设
在求 其中
( x) 在 x a 处连续,
f (a) 时, 下列做法是否正确?
因 f ( x) ( x) ( x a ) ( x) 故 f (a ) (a ) 正确解法:
第二节 函数的求导法则
第二节 函数的求导法则
一、定义求导的三步法则
二、四则运算求导法则 三、反函数求导法则 四、复合函数求导法则 五、初等函数求导问题 六、分段函数求导问题 七、内容小结
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一、定义求导的三步法则
(1) 取增量
Δy ;
y (2) 算比值 ; x (3) 求极限 Δy lim Δx 0 Δx 。
设 y f ( x) 为 x f 1 ( y ) 的反函数 , f 1 ( y ) 在 1 y 的某邻域内单调可导, 且 [ f ( y )] 0，则有 d y 1 1 f ( x) 1 或 dx dx [ f ( y )]
定理 2
x 0 , 由反函数的单调性知 y 1 x y f ( x x) f ( x) 0 , x y 且由反函数的连续性知 x 0 时必有y 0 , y 1 1 f ( x) lim lim x 1 x0 x y 0 [ f ( y )] y
导函数 f ( x) 在 x 0 点处间断。
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解：
e ， x0 e x x0 e ，
x x
e x 1 ex 1 f (0) lim 1 ， f (0) lim 1 x 0 x 0 x x
f (0) f (0)
解：
1 1 y f 2 2 f ( x) f ( x) x x 1 1 2 f 2 f ( x) f ( x) x x
例 10
解：
设 y ＝sin x
x
dy ，求 dx
；
ye
x ln sin x
f ( x) f (a) ( x a) ( x) f (a) lim lim x a x a xa xa lim ( x) (a )
xa
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解：
1 3 sin x x cos f ( x ) f ( 0) x f (0) lim lim x 0 x 0 x x sin x 1 lim (3 x cos ) 3 x 0 x x f ( x) 在 x 0 点处可导；
f (0) 不存在；
#
ex ， x0 导函数为 f ( x) x x0 e ，
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解：
1 可导必连续
f (1) e
x2 lim f ( x) lim e e ab e x 1 x 1 lim f ( x) lim (ax b) a b x 1 x 1