恒成立问题题型分析及经典习题

恒成立题型及解题方法

一 一次函数型：

给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象 （直线）可得上述结论等价于

ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨

⎧>>0)(0)(n f m f

同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0

)(0

)(n f m f

在.

2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围

例1、已知二次函数满足，而且，请解决下列问题 （1）求二次函数的解析式。

（2）若在区间上恒成立 ，求的取值范围。

例2、设f(x)=x 2

-2ax+2,当x[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。 三.变量分离型

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求， 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成 函数的最值问题求解。

例、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。 四.根据函数的奇偶性、周期性等性质

若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)，(f(-x)=f(x))恒成立 若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。 例、若f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数，求α的值。 五.直接根据图象判断

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象， 则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

例1、当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2

<log a x 恒成立，求a 的取值范围。

例2、已知关于x 的方程lg(x 2

+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a 的取值范围。 训练题组

1、在∆ABC 中，已知2|)(|,2cos )2

4

(sin sin 4)(2

<-++

=m B f B B

B B f 且π

恒成立，求实数m 的范围。

0>(0)1f =(1)()2f x f x x +-=()2f x x m >+[1,1]-m

2、若当P(m,n)为圆1)1(2

2=-+y x 上任意一点时，不等式0≥++c n m 恒成立，则c 的取值范围是（ ） A 、1221-≤

≤--c B 、1212+≤≤-c

C 、12--≤c

D 、12-≥

c

3、设124()lg

,3

x x

a f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。

4、 设函数是定义在(,)-∞+∞上的增函数，如果不等式2

(1)(2)f ax x f a --<-对于任意

[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

5、 已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。

6、已知不等式：

3

2

)1(1211......2111+->++++++a Log n n n n a 对一切大于1的自然数n 恒成立，求实数a 的范围。 7、设x x x f 4)(2--= , a x x g -+=

13

4

)(,若恒有)()(x g x f ≤成立,求实数a 的取值范围.

8、已知向量a ρ=(x 2,x+1), b ϖ=(1-x,t) 若函数f(x)＝a ρ·b ϖ

在区间(－1，1)上是增函数，求t 的

取值范围。

9、设函数()

2()1x f x x e ax =--

（Ⅰ）若1

2

a =

，求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若当x ≥0时()f x ≥0，求a 的取值范围 10、已知函数1()ln 1a

f x x ax x

-=-+-()a R ∈.

(Ⅰ)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设2

()2 4.g x x bx =-+当14

a =时，若对任

意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.

11、已知函数1ln )1()(2

+++=ax x a x f 。（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）设1-<a .如果对任意),0(,21+∞∈x x ，1212|()()|4||f x f x x x -≥-，求a 的取值范围。

12、设函数()()()

3221

13f x x x m x x R =-++-∈，其中0m >（1）当1m =时，求曲线

()

y f x =在点

()()1,1f 处的切线的斜率（2）求函数()f x 的单调区间与极值（3）已知函

数

()

f x 有三个互不相同的零点

12

0,,x x ，且

12

x x <，若对任意的

[]()()

12,,1x x x f x f ∈>恒成立，求m 的取值范围 13、设函数1

()(01)ln f x x x x x

=

>≠且。

（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）已知12a

x

x >对任意(0,1)x ∈成立，求实数a 的取值范围。

14、已知实数0>a ，且满足以下条件：①、R x ∈∃，a x >|sin |有解；②、]4

3,4[

π

π∈∀x ，

01sin sin 2≥-+x a x ；求实数a 的取值范围

课后作业

1、 已知(],1x ∈-∞时，不等式()

21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。 2、 若[]2,2x ∈-时，不等式2

3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。

3、 若不等式)1(122

->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。 4、 若不等式()

2211x m x ->-对满足2m ≤的所有m 都成立，求x 的取值范围。

6、若不等式2

3log 0a x x -<在10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

内恒成立，求实数a 的取值范围。

7、已知函数4

()lg(5)5x x

f x m =+

+的值域为R ，则实数m 的取值范围是 。 8、已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。 9、已知函数()f x 的值域[0,4]([2,2])x ∈-，函数()1,[2,2]g x ax x =-∈-，

10[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-使得01()()g x f x =成立，则实数a 的取值范围是 。

10、对任意]1,1[-∈a ，不等式024)4(2

>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围。 函数)1,()32(log 2

2

1-∞+-=在mx x y 上为增函数，则实数m 的取值范围是 .

11、若曲线3

()ln f x ax x =+存在垂直于y 轴的切线，则实数a 取值范围是_____________.

12、若函数()f x =

R ，则a 的取值范围是 。

13、在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )