最新高中数学苏教版必修4：三角函数、三角恒等变换知识点总结优秀名师资料

高中数学苏教版必修4：三角函数、三角恒等变换知识点
总结
（1）在直角坐标系内讨论角：
角的顶点在原点，始边在x轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的
角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

0（2）?与{,|,,360k，,,k,Z}或{,|,,2k,，,,k,Z},角终边相同的角的集合：与,角终边在同一条直线上的角的集合：；
与,x角终边关于轴对称的角的集合：；
与,角终边关于轴对称的角的集合：； y
与,角终边关于轴对称的角的集合：； y,x
?一些特殊角集合的表示：
终边在坐标轴上角的集合：；
终边在一、三象限的平分线上角的集合：；
终边在二、四象限的平分线上角的集合：；
终边在四个象限的平分线上角的集合：；（3）区间角的表示：
?象限角：第一象限角：；第三象限角：；
第一、三象限角：； ?写出图中所表示的区间角：
y y
x x O O
4
要正确理解“oo0~90间的角”= ；
“第一象限的角”= ；“锐角”= ；
o“小于90的角”= ；
,（5）由,的终边所在的象限，通过来判断所在的象限。

2
,来判断所在的象限 3
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（6）弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一
l已知角,,的弧度数的绝对值，其中为以角作为圆心角时所对圆弧的长，|,|,lr
r为圆的半径。

注意钟表指针所转过的角是负角。

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（1）任意角的三角函数定义：
以角,,x的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个
异于原点的点rcos,,，点到原点的距离记为，则；；P(x,y)Psin,,
sec,,csc,, ；；；； tan,,cot,,
如：角(a,,3a),的终边上一点，则。

r>0 cos,，2sin,,
（2）在图中画出角,的正弦线、余弦线、正切线；
y y y y
a a x a x x a O O O O
,x x,(0,)sinxtanx2
（3）特殊角的三角函数值：
,,,,,3,, 0 64322
sin,
cos,
tan,
cot, 2009-12-27
（1）同角三角函数的关系
商数关系倒数关系
,,?cot=1 tan平方关系 ,sin ,=tan 1cos,1 2222sin,,,,+ cos=1， 1+tan=，1+cot= 22 cos,sin,
（2）诱导公式：
：，，； 2k,，,,,
：，，； ,，,,,
：，，； ,,,,
：，，； ,,,,,
：，，； 2,,,,,
,：，，； ,,,,2
,：，，；，,,,2
3,：，，； ,,,,2
3,：，，；，,,,2
诱导公式可用概括为：
,,3,,,,,,,,2K?,-,?,?,?的三角函数奇变偶不变，符号看象限的三角函数22
（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用：
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?已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值。

注意：用平方关系，有两个结果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍，或分象限加以
讨论。

?求任意角的三角函数值。

步骤：
oo公式三、一公式一 ~360角的
公式二、三角函数四、五、任意负角的任意正教的 0
六、七、三角函数三角函数 oo0八、九 ~90角的求值三角函数 ?已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多个．步骤： ?确定角,所在的象限；
?如函数值为正，先求出对应的锐角,；如函数值为负，先求出与其绝对值对 1 应的锐角,； 1
?根据角,所在的象限，得出间的角——如果适合已知条件的角在第二限；0~2, 则它是,,,；如果在第三或第四象限，则它是,，,或2,,,； 111
?如果要求适合条件的所有角，再利用终边相同的角的表达式写出适合条件的所有
角的集合。

3,如cos,,，则，；；sin(,,),sin,,tan,,m2
15,_________。

cot(,,),2
对于函数xfx()，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个T 值时，fxTfx()()，,fx()都成立，那么就把函数叫做，不为零的常数T
叫做这个函数的．
y,sinxy,|cosx|y,cos|x| y,cosx
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y=tan x y=tan |x| y=|tan x| y,|sinx|y,sin|x|
,k 求函数f(x)=3sin (的周期。

并求最小的正整数k,使他的周期不大
k,0)(x，)53
于1
注意理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数都有最小正周期，如常函数
f(x)＝c（c为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期．
如函数函数f(x)的周f(x，k),f(x,k)任意的x,R
期T=2k; 如函数函数f(x)f(x，k),f(k,x)任意的x,R
(x，k)，(k,x)的对称轴是 x,,k2
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对函数y＝Asin(ωx＋,)＋k (A k＞0, ω＞0, ,?0,?0),其图象的基本变换有：．．．．．．．．．．．．．．．．
(1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A的变化引起的．A＞1,伸长；A＜1,缩短． (2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长． (3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．,＞0,左移；,＜0，右移．两角和与差的三角函数关系倍角公式
sin(,,,,,,sin2,,,)=sin?coscos?sin =2sin?cos ,,
22,,,cos2=cos-sin
22cos(,,,,,=2cos,,,)=cos?cossin?sin -1=1-2sin ,,
2tan,tan2,, 22009-12-27 tan,,tan,1,tan,tan(,,,), 1,tan,,tan,
积化和差公式
半角公式 1sin,,,?cos=[sin(+)+sin(-)] ,,, 2,,,,，,1cos1cos ,,,,，sincos1cos,,,?sin=[sin(+)-sin(-)] ,,,2222 2 1cos,,,?cos=[cos(+)+cos(-)] ,,,,,1,cos,sin,1,cos = ,tan,,221，cos,sin,1，cos, 1sin,,,?sin= -[cos(+)-cos(-)] ,,, 2 升幂公式和差化积公式 ,21+cos,=
2cos ,，,,,,2sin,+sin= 2sincos, ,2221-cos,= 2sin ,，,,,,2sin,-sin=
2cossin, ,,222 1?sin,=()sin,cos ,，,,,,22cos,+cos=2coscos, 22 ,,1=sin+
cos 22 ,，,,,,,,cossin,,-cos= -= 2sinsin2sincos, 2222 降幂公式 12tan,,+ cot= ,,,1cos2sin,,cos,sin2,2sin,, tan,,,- cot= -2cot2 2
,，,1cos222cos1+cos,,= 2cos, 2222sin,,+ cos=1 ,21-cos,= 2sin12 sin,,?cos=sin2, ,,22 1?sin,=(sin,cos) 22
33sin3,,3sin,,4sin,cos3,,4cos,,3cos,
三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵
活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
1
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,,,,3,,2,4,2,3,2242
,,,, ,2,,,3624
o30,,ooooo,,,,,1545306045 sin,cos,21212
,,, ,,(,，,),,，,,,(,,)424
,, 2,,(,，,)，(,,,),(，,),(,,)44
2
3
1
2222oo 1,sin,，cos,,sec,,tan,,tan,cot,,sin90,tan454
1，cos,
5
1，tan,1,tan, ,_______________,______________1,tan,1，tan, tan,，tan,,____________1,tan,tan,,___________；；
tan,,tan,,____________1，tan,tan,,___________；；
2 ；1,tan,, ； 2tan,,
ooootan20，tan40，3tan20tan40, ；
= ； sin,，cos,,
= ； asin,，bcos,,
tan,,
1，cos,,1,cos,,
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oo如：sin50(1，3tan10), ；； tan,,cot,,
,,,24 ； coscoscos,999
,,,35 ；推广： cos，cos，cos,777
,,,246 ；推广： cos，cos，cos,777
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