高中数学教师备课必备系列(函数的应用):专题七 在函数零点问题中求解参数范围
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专题七 在函数零点问题中求解参数范围
函数的零点是高中新课标中新增内容,在教材中给出了具体的定义:“对于函数)(x f y =,我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数0)(=x f 的零点,这样函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 的实数根,也就是函数)(x f y =的图象与X 轴交点的横坐标,所以方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图象与X 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点”
对于函数零点问题,我们除了可应用根的存在性定理直接求解外,还可利用“方程0)(=x f 有实根⇔函数)(x f y =的图象与X 轴有交点⇔函数)(x f y =有零点” 题目进行适当转换,得到各种不同的求解策略。
兹总结如下:
一 、函数零点的存在性定理指出:“如果函数)(x f y =在区间a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且0)()(<b f a f ,那么,函数)(x f y =在区间(a,b )内有零点,即存在),(b a c ∈,使得0)(=c f ,这个c 也是方程0)(=x f 的根”。
根据函数零点的存在性定理判断函数在某个区间上是否有零点(或方程在某个区间上是否有根)时,一定要注意该定理是函数存在零点的充分不必要条件:如
例1、函数x
x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是( ) (A )(0,1); (B )(1,2); (C ) (2,e ); (D )(3,4)。
分析:显然函数x
x x f 2)1ln()(-
+=在区间1,2]上是连续函数,且0)1(<f ,0)2(>f ,所以由根的存在性定理可知,函数x x x f 2)1ln()(-+=的零点所在的大致区间是(1,2),选B
例2.函数2
)(x x f =在下列区间是否存在零点?( )
(A )(-3,-1); (B )(-1,2); (C ) (2,3); (D )(3,4)。
分析:利用函数零点的存在性定理分析,函数2)(x x f =在所给出的四个区间中都不满足
条件0)()(<b f a f ,但由函数2)(x x f =的图象可知它一定有零点0=x 。
仅当函数)(x f y =在区间a,b]上是单调函数时,函数零点的存在性定理才是函数存在零点的充要条件。
二 、求解有关函数零点的个数(或方程根的个数)问题。
函数零点的存在性定理,它仅能判断零点的存在性,不能求出零点的个数。
对函数零点
的个数问题,我们可以通过适当构造函数,利用函数的图象和性质进行求解。
如:
1. 对于求一个陌生函数的零点个数,若能把已知函数分解成两个熟悉的函数,那么可利用构造函数法化归为求两个熟悉函数图象的交点个数求解,如:
例3.求x x x f 2)(2-=零点的个数。
分析:本题直接求解,无法下手,由函数x x x f 2)(2-=的零点也是方程02)(2=-=x x x f 的根,即方程x x 22=的解,但这个方程不是
熟悉的常规方程,由方程的解与两函数图象交点的关系,可构
造函数21x y =、x y 22=,在同一坐标系中作出它们的图象,可得
出它们有三个交点,所以x x x f 2)(2-=零点的个数有三个。
2对于一元高次函数,可利用导数法研究函数图象的特征,作出函数的图象,确定图象与X 轴交点的情况求解。
如:
例4.函数1096)(23-+-=x x x x f 零点的个数为
分析: 1096)(23-+-=x x x x f ,∴)3)(1(39123)(2
/--=+-=x x x x x f
令0)(=x f ,得3,121==x x 列出x,y /,y 的对应值表如下:
作出函数1096)(23-+-=x x x x f 的草图可知,函数)(x f 的图
象与X 轴仅有一个交点,则)(x f 仅有一个零点。
注意:本类型题的特点是找出函数)(x f 的图象与X 轴交点,
实质上仍是求函数)(x f y =与函数0=y 交点的情况。
若把0=y
换成a y =,相当在原题中引入参数a ,得出一般情况下的解法,如:
例5、(例4变式题)试讨论函数a x x x x f --+-=1096)(23(R a ∈)零点的个数。
分析:方法1:直接模仿例4的解法,可得如下表格:
然后再结合函数)(x f 的图象与X 轴的关系,确定分类讨论的标准,由极大值、极小值与零的关系,讨论图象与X 轴交点情况,得出如下结论:
当010>--=a y 极小值即10-<a 时有一个交点;当010=--=a y 极小值即10
-=a 时有两个交点;当010<--=a y 极小值
且06>--=a y 极大值即610-<<-a 时有三个交点;当06=--=a y 极大值即6-=a 时有两个交点;当06<--=a y 极大值即6->a 时有一个交点.
方法2:通过构造函数1096)(2
3-+-=x x x x f 与a x g =)(转化求解,利用例4的方
法可得到函数)(x f y =的图象,讨论两个函数图象的位置关系,
可得出结论:当)10,(--∞∈a 仅有一个零点;
当10-=a 有二个零点;当)6,10(--∈a 有三个零点;
当6-=a 时有二个零点;当),6(+∞-∈a 仅有一个零点。
例6、已知5>a ,函数1)(23+-=ax x x f 在区间(0,3)内零点的个数为 。
分析:本题利用导数法可得出)(x f y =在区间(0,3)上是单调递减函数,且
01)0(>=f ,)5(0928)3(><-=a a f ,由函数的图象可知仅有一个零点。
三.求函数的具体零点或求方程的根。
对于某些特殊类型的函数,可通过研究式子的特征,构造新函数,转化求解。
如:
例7、求函数36)35()(55++++=x x x x f 的零点。
分析:考察036)35()(55=++++=x x x x f 的特点,直接求解难以入手,可转化为求
)()35()35(55x x x x +-=+++的解,
根据式子特点构造函数x x x g +=5)(,显然)(x g 为奇函数,且在R 上单调递增,由)()35()35(5
5x x x x +-=+++可化为)()()35(x g x g x g -=-=+,故利用函数)(x g 的性质可得x x -=
+35,则21-=x ,所以函数)(x f 的零点为2
1-=x 根据函数的零点情况,讨论参数的范围”是高考考查的重点和难点.对于这类问题,我们可以利用零点定理、数形结合思想、函数单调性与参数分离思想来求解.
一、利用零点定理求解参数范围
如果函数()y f x =在[],a b 上连续且满足()()0f a f b ⋅<,则()y f x =在区间(,)a b 上至少存在一个零点,即存在(,)c a b ∈,使得()0f c =.这就是零点定理.
对于高中阶段常遇到的问题:“已知连续函数()y f x =在[],a b 上单调,且在区间(,)a b 上存在一个零点,求参数的范围”可用()()0f a f b ⋅<求解.
例1 已知函数3
()2()R x f x x a a =+-∈在区间(0,1)内存在一个零点,则实数的取值范围
是 .
解:因为函数()f x 在区间(0,1)内存在一个零点,故(0)(1)0f f ⋅<,整理得(1)(3)0a a --<,解得13a <<.所以,实数的取值范围是(1,3).
二、利用数形结合思想求解参数范围
如果通过变形,可以将函数()f x 转化为两个函数(),()g x h x 之差的形式,那么(),()g x h x 图象交点的横坐标就是函数()f x 的零点.因此对于含参数函数()()()f x g x h x =-,我们可以利用数形结合思想作出(),()g x h x 的图象,并根据两图象的交点情况求解参数范围.
把原函数转化为两个函数时,要注意转化得到的两个函数的图象应该是比较容易画出的.在作图时,要利用函数奇偶性、单调性等性质,并标注出函数图象上的零点、最高点、最低点等一些特殊点,尽量把图象画准确,避免误判.
例2 已知函数322()(1)2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩ ,;,
.若关于的方程()f x k =有两个不等的实根,则
实数的取值范围是 .
解:当2x ≥时,2()f x x =
,此时()f x 在[)2,+∞上单调递减,且0()1f x <≤。
当2x <时,3()(1)f x x =-,此时()f x 过点(1,0),(0,1)-,且在(),2-∞上单调递增。
当2x →时,
()1f x →。
如图1所示作出函数()y f x =的图象,由图可得()f x 在()-2∞,
上单调递增且()1f x <,()f x 在[)2+∞,
上单调递减且0()1f x <≤,故当且仅当01k <<时,关于的方程()f x k =有两个不等的实根.即实数的取值范围是()0,1.
三、利用函数单调性求解参数范围
如果函数()y f x =在[],a b 上单调递增或递减,则()y f x =在(),a b 上至多只有一个零点.反之,如果函数()y f x =在(),a b 上单调且存在零点,那么()()0f a f b ⋅<必然成立.
对于某些形式复杂的函数()y f x =,如果直接作出其图象有困难,我们可以先通过求导数研究函数的单调性和极值,作出函数的大致图象,再观察函数()f x 图象与直线y b =的图象的交点.通过平移直线y b =确定交点个数,即可求解参数范围.
例3 已知函数2()sin cos f x x x x x =++.若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点,求实数的取值范围.
解:()2cos sin -sin (2cos )f x x x x x x x x '=++=+.因为2cos 0x +>,所以当0x >时,()0f x '>,()f x 在(0,)+∞上单调递增;当0x <时,()0f x '<,()f x 在(,0)-∞上单调递减.当0x =时,min ()(0)1f x f ==,当趋近于+∞或-∞时,都有()f x →+∞。
如图2所示,要使曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点,则实数的取值范围是(1,)+∞.
四、利用参数分离法求解参数范围
如果函数()y f x =或方程()0f x =中的参数变量能被分离出来,形成()a h x =形式,函数的零点问题就转化为与轴平行的直线y a =和函数()y h x =的图象的交点问题.通过讨论函数()y h x =的单调性或值域,即可判断函数的零点,由此可得参数范围.利用参数分离法求解,可以回避对参数取值情况的讨论.
例4 2013年高考数学陕西卷(理科)第21题第(2)问]已知函数()e (0)x
f x x =>,讨论
曲线()y f x =与曲线2
(0)y mx m =>公共点的个数.
解:曲线()y f x =与曲线2(0)y mx m =>公共点的个数即方程2e (0)x mx x =>的解的个数,也就是方程2e (0)x
m x x
=>的解的个数. 令2e ()(0)x g x x x =>,则243
e e 2e (2)()x x x x x x g x x x ⋅-⋅-'==.当(0,2)x ∈时,()0g x '<,()g x 在(0,2)上单调递减;当(2,)x ∈+∞时,()0g x '>,()g x 在(2,)+∞上单调递增.所以2min e ()(2)4
g x g ==. 又当趋近于0时,()g x 趋近于+∞;当趋近于+∞时,()g x 趋近于+∞.所以,当2e 0,4m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时,曲线()y f x =与曲线2(0)y mx m =>无公共点;当2
e 4m =时,它们有1个公共点;当2e ,4m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时,它们有2个公共点.
【练一练】
1.已知函数2
()21f x mx x =-+有且仅有一个正实数的零点,则实数m 的取值范围是
(A)(],1-∞ (B)(]{},01-∞ (C)()(],00,1-∞ (D)(),1-∞
2.已知函数32()393f x x x x =--+,若函数()()g x f x m =-在[]2,5-上有3个零点,求实数m 的取值范围.
【参考答案】
2.解:2
()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-,其图象为开口向上的二次图象,零点为1213-==,x x ,结合[]2,5-可得,当[)2,1(3,5]x ∈-- 时,()0f x '>;当(1,3)x ∈-时,()0f x '<,所以函数()f x 在[2,1)--和(3,5]上单调递增,在(1,3)-上单调递减.
故()(3)24,()(1)8f x f f x f ==-=-=极小值极大值,此外,(2)1,(5)8f f -==.
如图3所示,作出函数()f x 的大致图象,要使函数()()g x f x m =-在[]2,5-上有3个零点,只要使函数()f x 在[]2,5-上的图象与直线y m =有3个交点即可.
由图3可知,当8m ≥时,函数()f x 与直线y m =至多有2个交点;当[1,8)m ∈时,函数()f x 与直
线y m =有3个交点;当()-24-1m ∈,时,函数()f x 与直线y m =有2个交点;当-24m ≤时,
函数()f x 与直线y m =至多有1个交点.故[1,8)m ∈.。