高等数学第十章曲线积分
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y x
du PdxQd , (yx, y)G—单连域.
四、两类曲线积分之间的联系
L P d Q x d L (P y co Q sco )ds .s
其中, 为有向曲线弧L在点(x, y) 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲线积分的解题方法
解题方法流程图
I LPdxQdy
Yes
积分与路径无关
代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分L 2xyds,
由于L关于 y轴对称, 函数 2xy关于 x为奇函数, 故有
L 2xyds0.
解：由奇偶对称性可知 L 2xyds 0, 所以
(2xy3x24y2)ds (2xy12)ds
L
L
2L xyds12Lds
01a2 1a2
注：由于被积函数 f(x, y)定义在曲线 L上, 故 x, y满足曲线L
(0t2);
而
1
d sx2y2d t 2 a(1co t)2s d,(t0t2)
1
故
2
I yd sa (1 co t)s 2 a (1 co t)2d st
L
0
4a2
2
s
in3
t
dt8a2
s
in3 ud
u
0
2
0
16a2
2sin3 udu
32
a2.
0
2
【例2】计算曲线积分 L x2 y2 ds,其中L为圆周 x2 y2 ax.
f (x, y)ds f[(t) ,(t)]2 (t) 2 (t)dt
L
（2）直角坐标：若L:y(x)(x0 xX);则
f (x, y)ds Xf[x,(x)]12(x)dx
L
x0
（3）极坐标：若L: ()(12); 则
L
f
(
x,
y)ds 1 2f(c o s,s in )2 () 2 ()d r
的方程。因此，计算第一型曲线积分时应首先需要利用曲线
方程化简被积函数，这是计算曲线积分的一个重要知识点.
【例6】* 求 I L(x1 2)2(2 y1)2ds, 其中L: x2y21.
分析 此题若用选取参数方程计算，将会很麻烦。注意到积分
曲线是x2 y2 1, 而由轮换对称性可知： x2ds y2d,s 故
y x
成立？若上述等式成立，则曲线积分在单连域 D内与积分路径 无关. 此时的计算方法是，看积分曲线L是否封闭. 若L为封闭
曲线,则利用积分与路径无关的等价命题，便可知所求积分为零;
若L不是封闭曲线, 通常采用取特殊路径的方法（如取平行于
坐标轴的折线L )来计算所给积分，即
I Pd Q x dyPd Q x.dy
L与L构成封闭曲线，然后在封闭曲线LL上应用Green
公式, 即
Q P
PdQ x d y( )dx.dy
LL
D x y
再计算L PdxQd,y最后将两式相减便得原曲线积分的值,即
I( )PdxQdy
L L
L
六、对坐标的曲线积分的物理应用
求变力沿曲线所作的功：WFdrPdxQd. y
AB
（4）参数方程：若 :x ( t)y ,( t)z ,( t)(t);则
f(x, y, z)ds f[( t),( t),( t)] 2 ( t) 2 ( t) 2 ( t)dt
注： 被积函数可用积分曲线方程化简！
四、对弧长的曲线积分的应用
1．几何应用 求曲线的弧长 奇偶对称性：
0
f(x, y)ds
L
f (x, y)ds
L1
L关于x轴对称，f (x, y)为y的奇函数 L关于x轴对称，f (x, y)为y的偶函数
三、对弧长的曲线积分的计算方法
方法：化为定积分计算（注：下限<上限）“描述代入”法
（1）参数方程：若 L :x(t),y (t)(t );则
分析 由于圆周 x2 y2 ax在极坐标下的方程为 acos,
故从解题方法框图上看，我们可采用线路3的方法计算。
解：
圆周
x2
y2
ax在极坐标下的方程为
acos(2
),
2
则 d s 22dad. 故
y
L
x2 y2 ds
2
ads
2
.
0a
2
acos ad
2
2
2a2 2 0
cosd
2a2
L 封闭
Yes
I0
No 取特殊曲线L
P Q y x
No
积分与路径有关
Yes
No
L 封闭
确定D
对L补上特殊曲线L
I PdxQdy 应用Green公式 L
在封闭曲线L L 上应用Green公式
转化为 定积分
转化为定积分
Q P
I
D
x
y
dxdy
QP IDxydxdyLPdxQdy
由上图可以看出，计算第二型曲线积分时，首先要找出函数 P(x, y), Q(x, y)及积分曲线 L , 然后判断等式 P Q , (x, y)D是否
L
L
由奇偶对称性知：L(xy)ds0. 故本题有如下简单的解法。
解: I L(x1 2)2(2 y1)2ds
L(x2y424 5)(xy)ds
(x2 y2 5)ds
L
44
x2y2 x2y2
5
L( 2 8 )d s4L ds
(11)ds525515
L2 8 4
42 4
【例7】设螺旋线弹簧一圈的方程为xacot,syasint,z kt,
L
设 :x (t)y ,(t)z ,(t); t从变到 ; 则
P (x ,y ,z)d x Q (x ,y ,z)d y R (x ,y ,z)dz
{P [(t) ,(t) ,(t)](t)Q [ ( t )( t , )( t , ) ( t ) ] R [ ( t )( t , )( t , ) ( t ) ] d
L
L1
L2
2. 方向性：设L是L的反向曲线弧，则F(x, y)drF(x, y)dr.
L
L
3. 奇偶对称性：
0
L关于x轴对称，f (x, y)为y的偶函数
P(x, y)dx
L
2 f (x, y)dx L关于x轴对称，f (x, y)为y的奇函数
L1
0
L关于y轴对称，f (x, y)为x的偶函数
Q(x, y)dy
L
d s x2(t)y2(t)z2(t)dt a2 k2 dt
故 Iz (x2y2)(x,y, z)ds (x2y2)x (2y2z2)ds
L
L
2a2(a2k2t2)a2k2d t2a2 a2k2(3a242k2)
0
3
六、对坐标对曲线积分典型例题
【例1】计算曲线积分IL (x2y2)d x (x2y2)d,其y中L为曲线
0
0
0
a
aexd x4aae d 2 2e2xdx
0
0
0
ea(2a)2.
4
【例5】 设 L为椭圆 x2 y2 1, 其周长记为 a,
43
求 (2xy 3x24y2)d.s L
分析 由于积分曲线 L: x2 y2 1可恒等变形为 L: 3x24y21,2
43
而被积函数 2xy3x24y2中又含有3x2 4y2,故可将 3x24y2 12
注: 下限起点A , 上限终点B .
2．格林（Green）公式计算法
LPdxQdyDQ xP ydx.d（y注意使用条件！）
（这里 L 为区域 D 的正向边界曲线)
3．利用积分与路径无关的条件计算法
PdxQdy与路径无关 PdxQdy0，c为区域内任意闭曲线.
L
c
P Q , (x, y)G─单连域.
其中0t2,它的线密度(x,y,z)x2y2z2.求此线关于 z
轴的转动惯量I z .
分析 本题为对弧长的曲线积分在物理中的应用问题，应先
将所求的转动惯量用对弧长的曲线积分Iz (x2y2)(x,y, z)ds
L
表示，然后计算积分即可。
解：所求的转动惯量为Iz (x2y2)(x,y,z)d,s而
AB
五、对弧长的曲线积分典型例题
【例1】计算 I L yds,其中 L为摆线 x a (t st i)n ,y a (1 cto ) s
的一拱 (a0,0t2).
分析 由于本题积分曲线 L的方程为参数形式，从计算方 法框图上看，我们可采用线路2的方法计算.
解：
由于
xa(t sint) L:ya(1cost),
L
2．物理应用
质量 质心
M(x, y)ds
L
xM 1 Lx(x, y)ds, y M 1 Ly(x, y)ds.
转动惯量 Ix y2(x, y)ds, Iy x2(x, y)ds
L
L
对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）
一、对坐标的曲线积分的概念
1．定义
n
L P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d l y 0 ii 1 m P (i,i) x i Q (i,i) y i
解：积分曲线L为闭曲线（如图）
可分解为 LL 1L2L3,
其中
L 1 O:A y 0 ,(0x a );
L2A:Ba,(04);
a
L3O:Byx,(0x
). 2
y
L3
0
L1
L2
x
故 Iex 2y2d sex 2y2d sex 2y2ds
L 1
L 2
L 3
a
a e x1 ( 0 ) 2 d x 4 e aa 2 ( a ) 2 d 2 e 2 x1 ( x ) 2 dx
2．物理意义
W F d r(P i Q j)(di x dj) y P d Q xdy
AB
AB
AB
变力 F (x ,y)P (x ,y)iQ (x ,y)j沿LAB所作的功.
二、对坐标的曲线积分的性质
1．可加性：若LL1L2（方向不变），则
F(x, y) d r F(x, y)drF(x, y)dr
高等数学第十章曲线积分
二、对弧长的曲线积分的性质
1．线性性质：[f(x, y)g(x, y)d ] sf(x, y)d sg(x, y)d.s
L
L
L
2．可加性： 若LL1L2, 则
f (x, y)ds f(x, y)d sf(x, y)d.s
L
L1
L2
3．L的弧长：s Lds
4. 单调性：设在上 L，f(x, y)g(x, y).则 f(x, y)d sg(x, y)d.s
.
L
ax
【例3】计算
I
xds,
L
其中 L为双曲线
xy 1从点( 1 ,
2
2 )至
点(1, 1)的弧段．
分析
由于本题积分曲线 L的方程可化为 y
1 或x
x
1的 y
形式, 故从计算方法框图上看, 我们可采用线路1的方法计算。
但考虑到化为以 x为积分变量的定积分计算比较困难, 故本题
积分曲线 L应采用 x
y2x,x,
0x1 ,
L
2 Q(x, y)dy L关于y轴对称，f (x, y)为x的奇函数
L1
三、对坐标的曲线积分的计算方法
1．直接计算法：（化为定积分计算） “描述代入”法 （1）参数方程：
设 L :x(t),y(t);t从变到; 则
P(x,y)dxQ(x, y)dy { P [(t),(t)] (t) Q [(t),(t)] (t)d }t
1 y
的形式.
解: 由于 L : x 1 , 1y2;所以
y
I
xds
L
21
1 y
1 x2dy
2 1
1 y4 y3
dy 1 2
21
1y4d
1 y2
1
1y4
2
2
1
2 y2 1 1 y2
2y3 1y4
dy
2 2
17 2
81
2y dy 1y4
2 171 2
1 d(y2) 2 171l n4 17
（2）直角坐标：
设 L: y(x);x从a变到b; 则
P(x,y)dxQ(x, y)dya b {P [x ,(x ) ]Q [x ,(x ) ](x )d }x
L
设 L:x(y);y从c变到 d ; 则
P(x,y)dxQ(x, y)dyc d{P [(y),y](y) Q [(y),y]d }y
L
2 8 21 1(y2)2
2 8 2 1 2
【例4】 计算 I e x2y2ds, 其中 L为圆周 x2y2 a2, L 直线 yx及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．
分析 由于积分曲线 L为闭曲线, 由三段组成 LL1L2L3
故应根据每段曲线的特点，选择不同的计算方法. 在 L1与 L 3 上可用框图中线路1的方法计算，在 L 2上可用线路3的方 法计算。
L
L
若上式不成立，则曲线积分与积分路径有关。此时的计算方
法是，看积分曲线L是否封闭. 若L为封闭曲线, 则直接利用
Green公式计算所给积分，即
Q P
ILPdQ x dy D(xy)dxdy
若L不是封闭曲线, 则计算方法一般有两种, 一种是将曲线
积分化为定积分来计算；另一方法是通过补特殊路径 L, 使
y1|1x| (0x2)沿 x增大的方向.
分析 由于 P Q ,
y x
故曲线积分与路径有关. 又因为曲线L
不是封闭的，按解题方法流程图，计算本题有两种方法：
一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用
补特殊路径，然后应用Green公式计算。本题采用第一种方 法计算比较简便，这里应首先将积分曲L线 的方程改写为
du PdxQd , (yx, y)G—单连域.
四、两类曲线积分之间的联系
L P d Q x d L (P y co Q sco )ds .s
其中, 为有向曲线弧L在点(x, y) 处的切向量的方向角.
五、对坐标的曲线积分的解题方法
解题方法流程图
I LPdxQdy
Yes
积分与路径无关
代入，从而简化被积函数，然后再计算；对于积分L 2xyds,
由于L关于 y轴对称, 函数 2xy关于 x为奇函数, 故有
L 2xyds0.
解：由奇偶对称性可知 L 2xyds 0, 所以
(2xy3x24y2)ds (2xy12)ds
L
L
2L xyds12Lds
01a2 1a2
注：由于被积函数 f(x, y)定义在曲线 L上, 故 x, y满足曲线L
(0t2);
而
1
d sx2y2d t 2 a(1co t)2s d,(t0t2)
1
故
2
I yd sa (1 co t)s 2 a (1 co t)2d st
L
0
4a2
2
s
in3
t
dt8a2
s
in3 ud
u
0
2
0
16a2
2sin3 udu
32
a2.
0
2
【例2】计算曲线积分 L x2 y2 ds,其中L为圆周 x2 y2 ax.
f (x, y)ds f[(t) ,(t)]2 (t) 2 (t)dt
L
（2）直角坐标：若L:y(x)(x0 xX);则
f (x, y)ds Xf[x,(x)]12(x)dx
L
x0
（3）极坐标：若L: ()(12); 则
L
f
(
x,
y)ds 1 2f(c o s,s in )2 () 2 ()d r
的方程。因此，计算第一型曲线积分时应首先需要利用曲线
方程化简被积函数，这是计算曲线积分的一个重要知识点.
【例6】* 求 I L(x1 2)2(2 y1)2ds, 其中L: x2y21.
分析 此题若用选取参数方程计算，将会很麻烦。注意到积分
曲线是x2 y2 1, 而由轮换对称性可知： x2ds y2d,s 故
y x
成立？若上述等式成立，则曲线积分在单连域 D内与积分路径 无关. 此时的计算方法是，看积分曲线L是否封闭. 若L为封闭
曲线,则利用积分与路径无关的等价命题，便可知所求积分为零;
若L不是封闭曲线, 通常采用取特殊路径的方法（如取平行于
坐标轴的折线L )来计算所给积分，即
I Pd Q x dyPd Q x.dy
L与L构成封闭曲线，然后在封闭曲线LL上应用Green
公式, 即
Q P
PdQ x d y( )dx.dy
LL
D x y
再计算L PdxQd,y最后将两式相减便得原曲线积分的值,即
I( )PdxQdy
L L
L
六、对坐标的曲线积分的物理应用
求变力沿曲线所作的功：WFdrPdxQd. y
AB
（4）参数方程：若 :x ( t)y ,( t)z ,( t)(t);则
f(x, y, z)ds f[( t),( t),( t)] 2 ( t) 2 ( t) 2 ( t)dt
注： 被积函数可用积分曲线方程化简！
四、对弧长的曲线积分的应用
1．几何应用 求曲线的弧长 奇偶对称性：
0
f(x, y)ds
L
f (x, y)ds
L1
L关于x轴对称，f (x, y)为y的奇函数 L关于x轴对称，f (x, y)为y的偶函数
三、对弧长的曲线积分的计算方法
方法：化为定积分计算（注：下限<上限）“描述代入”法
（1）参数方程：若 L :x(t),y (t)(t );则
分析 由于圆周 x2 y2 ax在极坐标下的方程为 acos,
故从解题方法框图上看，我们可采用线路3的方法计算。
解：
圆周
x2
y2
ax在极坐标下的方程为
acos(2
),
2
则 d s 22dad. 故
y
L
x2 y2 ds
2
ads
2
.
0a
2
acos ad
2
2
2a2 2 0
cosd
2a2
L 封闭
Yes
I0
No 取特殊曲线L
P Q y x
No
积分与路径有关
Yes
No
L 封闭
确定D
对L补上特殊曲线L
I PdxQdy 应用Green公式 L
在封闭曲线L L 上应用Green公式
转化为 定积分
转化为定积分
Q P
I
D
x
y
dxdy
QP IDxydxdyLPdxQdy
由上图可以看出，计算第二型曲线积分时，首先要找出函数 P(x, y), Q(x, y)及积分曲线 L , 然后判断等式 P Q , (x, y)D是否
L
L
由奇偶对称性知：L(xy)ds0. 故本题有如下简单的解法。
解: I L(x1 2)2(2 y1)2ds
L(x2y424 5)(xy)ds
(x2 y2 5)ds
L
44
x2y2 x2y2
5
L( 2 8 )d s4L ds
(11)ds525515
L2 8 4
42 4
【例7】设螺旋线弹簧一圈的方程为xacot,syasint,z kt,
L
设 :x (t)y ,(t)z ,(t); t从变到 ; 则
P (x ,y ,z)d x Q (x ,y ,z)d y R (x ,y ,z)dz
{P [(t) ,(t) ,(t)](t)Q [ ( t )( t , )( t , ) ( t ) ] R [ ( t )( t , )( t , ) ( t ) ] d
L
L1
L2
2. 方向性：设L是L的反向曲线弧，则F(x, y)drF(x, y)dr.
L
L
3. 奇偶对称性：
0
L关于x轴对称，f (x, y)为y的偶函数
P(x, y)dx
L
2 f (x, y)dx L关于x轴对称，f (x, y)为y的奇函数
L1
0
L关于y轴对称，f (x, y)为x的偶函数
Q(x, y)dy
L
d s x2(t)y2(t)z2(t)dt a2 k2 dt
故 Iz (x2y2)(x,y, z)ds (x2y2)x (2y2z2)ds
L
L
2a2(a2k2t2)a2k2d t2a2 a2k2(3a242k2)
0
3
六、对坐标对曲线积分典型例题
【例1】计算曲线积分IL (x2y2)d x (x2y2)d,其y中L为曲线
0
0
0
a
aexd x4aae d 2 2e2xdx
0
0
0
ea(2a)2.
4
【例5】 设 L为椭圆 x2 y2 1, 其周长记为 a,
43
求 (2xy 3x24y2)d.s L
分析 由于积分曲线 L: x2 y2 1可恒等变形为 L: 3x24y21,2
43
而被积函数 2xy3x24y2中又含有3x2 4y2,故可将 3x24y2 12
注: 下限起点A , 上限终点B .
2．格林（Green）公式计算法
LPdxQdyDQ xP ydx.d（y注意使用条件！）
（这里 L 为区域 D 的正向边界曲线)
3．利用积分与路径无关的条件计算法
PdxQdy与路径无关 PdxQdy0，c为区域内任意闭曲线.
L
c
P Q , (x, y)G─单连域.
其中0t2,它的线密度(x,y,z)x2y2z2.求此线关于 z
轴的转动惯量I z .
分析 本题为对弧长的曲线积分在物理中的应用问题，应先
将所求的转动惯量用对弧长的曲线积分Iz (x2y2)(x,y, z)ds
L
表示，然后计算积分即可。
解：所求的转动惯量为Iz (x2y2)(x,y,z)d,s而
AB
五、对弧长的曲线积分典型例题
【例1】计算 I L yds,其中 L为摆线 x a (t st i)n ,y a (1 cto ) s
的一拱 (a0,0t2).
分析 由于本题积分曲线 L的方程为参数形式，从计算方 法框图上看，我们可采用线路2的方法计算.
解：
由于
xa(t sint) L:ya(1cost),
L
2．物理应用
质量 质心
M(x, y)ds
L
xM 1 Lx(x, y)ds, y M 1 Ly(x, y)ds.
转动惯量 Ix y2(x, y)ds, Iy x2(x, y)ds
L
L
对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）
一、对坐标的曲线积分的概念
1．定义
n
L P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d l y 0 ii 1 m P (i,i) x i Q (i,i) y i
解：积分曲线L为闭曲线（如图）
可分解为 LL 1L2L3,
其中
L 1 O:A y 0 ,(0x a );
L2A:Ba,(04);
a
L3O:Byx,(0x
). 2
y
L3
0
L1
L2
x
故 Iex 2y2d sex 2y2d sex 2y2ds
L 1
L 2
L 3
a
a e x1 ( 0 ) 2 d x 4 e aa 2 ( a ) 2 d 2 e 2 x1 ( x ) 2 dx
2．物理意义
W F d r(P i Q j)(di x dj) y P d Q xdy
AB
AB
AB
变力 F (x ,y)P (x ,y)iQ (x ,y)j沿LAB所作的功.
二、对坐标的曲线积分的性质
1．可加性：若LL1L2（方向不变），则
F(x, y) d r F(x, y)drF(x, y)dr
高等数学第十章曲线积分
二、对弧长的曲线积分的性质
1．线性性质：[f(x, y)g(x, y)d ] sf(x, y)d sg(x, y)d.s
L
L
L
2．可加性： 若LL1L2, 则
f (x, y)ds f(x, y)d sf(x, y)d.s
L
L1
L2
3．L的弧长：s Lds
4. 单调性：设在上 L，f(x, y)g(x, y).则 f(x, y)d sg(x, y)d.s
.
L
ax
【例3】计算
I
xds,
L
其中 L为双曲线
xy 1从点( 1 ,
2
2 )至
点(1, 1)的弧段．
分析
由于本题积分曲线 L的方程可化为 y
1 或x
x
1的 y
形式, 故从计算方法框图上看, 我们可采用线路1的方法计算。
但考虑到化为以 x为积分变量的定积分计算比较困难, 故本题
积分曲线 L应采用 x
y2x,x,
0x1 ,
L
2 Q(x, y)dy L关于y轴对称，f (x, y)为x的奇函数
L1
三、对坐标的曲线积分的计算方法
1．直接计算法：（化为定积分计算） “描述代入”法 （1）参数方程：
设 L :x(t),y(t);t从变到; 则
P(x,y)dxQ(x, y)dy { P [(t),(t)] (t) Q [(t),(t)] (t)d }t
1 y
的形式.
解: 由于 L : x 1 , 1y2;所以
y
I
xds
L
21
1 y
1 x2dy
2 1
1 y4 y3
dy 1 2
21
1y4d
1 y2
1
1y4
2
2
1
2 y2 1 1 y2
2y3 1y4
dy
2 2
17 2
81
2y dy 1y4
2 171 2
1 d(y2) 2 171l n4 17
（2）直角坐标：
设 L: y(x);x从a变到b; 则
P(x,y)dxQ(x, y)dya b {P [x ,(x ) ]Q [x ,(x ) ](x )d }x
L
设 L:x(y);y从c变到 d ; 则
P(x,y)dxQ(x, y)dyc d{P [(y),y](y) Q [(y),y]d }y
L
2 8 21 1(y2)2
2 8 2 1 2
【例4】 计算 I e x2y2ds, 其中 L为圆周 x2y2 a2, L 直线 yx及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界．
分析 由于积分曲线 L为闭曲线, 由三段组成 LL1L2L3
故应根据每段曲线的特点，选择不同的计算方法. 在 L1与 L 3 上可用框图中线路1的方法计算，在 L 2上可用线路3的方 法计算。
L
L
若上式不成立，则曲线积分与积分路径有关。此时的计算方
法是，看积分曲线L是否封闭. 若L为封闭曲线, 则直接利用
Green公式计算所给积分，即
Q P
ILPdQ x dy D(xy)dxdy
若L不是封闭曲线, 则计算方法一般有两种, 一种是将曲线
积分化为定积分来计算；另一方法是通过补特殊路径 L, 使
y1|1x| (0x2)沿 x增大的方向.
分析 由于 P Q ,
y x
故曲线积分与路径有关. 又因为曲线L
不是封闭的，按解题方法流程图，计算本题有两种方法：
一是将第二型曲线积分直接转化为定积分计算；二是采用
补特殊路径，然后应用Green公式计算。本题采用第一种方 法计算比较简便，这里应首先将积分曲L线 的方程改写为