【步步高 浙江专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七 第2讲

第2讲 不等式选讲
【高考考情解读】 本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，从能力上主要考查学生的基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．
1． 算术—几何平均不等式
a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n
a 1a 2…a n (a 1>0，a 2>0，…，a n >0)．
2． 绝对值三角不等式
定理1 如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2 如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )·(b －c )≥0时，等号成立． 3． 绝对值不等式的解法
(1)|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x >a 或x <－a .
(2)|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≤－c 或ax ＋b ≥c .
(3)|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 的解法有三种：①根据绝对值的意义结合数轴直观求解；②用零点分段法去绝对值，转化为三个不等式组求解；③构造函数，利用函数图象求解．
4． 证明不等式的基本方式
(1)比较法 作差或作商比较．
(2)综合法 根据已知条件、不等式的性质、基本不等式，通过逻辑推理导出结论． (3)分析法 执果索因的证明方法． (4)反证法 反设结论，导出矛盾．
(5)放缩法 通过把不等式中的部分值放大或缩小的证明方法． (6)数学归纳法 证明与正整数有关的不等式． 5． 一般形式的柯西不等式
设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i
＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立.
考点一 含绝对值不等式的解法
例1 (2013·辽宁)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a ＞1.
(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；
(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值． 解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋6，x ≤2，
2，2＜x ＜4，
2x －6，x ≥4.
当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|得－2x ＋6≥4，解得x ≤1； 当2＜x ＜4时，f (x )≥4－|x －4|无解；
当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|得2x －6≥4，解得x ≥5； 所以f (x )≥4－|x －4|的解集为{x |x ≤1或x ≥5}． (2)记h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2a ，x ≤0，
4x －2a ，0＜x ＜a ，
2a ，x ≥a .
由|h (x )|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋1
2.
又已知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}， 所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a －1
2＝1，a ＋12＝2，
于是a ＝
3.
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗
易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
(1)若不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 无实数解，则a 的取值范围是________．
答案 (－∞，3]
解析 由绝对值的几何意义知|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3，而|x ＋1|＋|x －2|<a 无解，∴a ≤3.
(2)(2012·陕西)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2,4]
解析 利用绝对值不等式的性质求解． ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，
可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.
(3)(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a |，g (x )＝x ＋3. ①当a ＝－2时，求不等式f (x )<g (x )的解集；
②设a >－1，且当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，1
2时，f (x )≤g (x )，求a 的取值范围． 解 ①当a ＝－2时，不等式f (x )<g (x )化为|2x －1|＋|2x －2|－x －3<0. 设函数y ＝|2x －1|＋|2x －2|－x －3，
则y ＝⎩⎨⎧
－5x ，x <1
2
，
－x －2，12
≤x ≤1，
3x －6，x >1，
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x ∈(0,2)时，y <0， 所以原不等式的解集是{x |0<x <2}． ②∵a >－1，则－a 2<1
2，
∴f (x )＝|2x －1|＋|2x ＋a
|
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－4x ＋1－a ⎝
⎛⎭⎫x <－a 2a ＋1 ⎝⎛⎭
⎫－a 2≤x <124x ＋a －1 ⎝⎛⎭
⎫x ≥12
当x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，1
2时，f (x )＝a ＋1， 即a ＋1≤x ＋3在x ∈⎣⎡⎭⎫－a 2，1
2上恒成立． ∴a ＋1≤－a 2＋3，即a ≤4
3，
∴a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，4
3. 考点二 证明不等式 例2 已知a ，b 为正实数．
(1)求证：a 2b ＋b 2
a
≥a ＋b ；
(2)利用(1)的结论求函数y ＝(1－x )2x ＋x 2
1－x
(0<x <1)的最小值．
(1)方法一：左边乘上因式(a ＋b )后展开，再利用基本不等式证明；
方法二：运用作差比较法证明． (2)运用(1)中证出的不等式求解． (1)证明 方法一 ∵a >0，b >0，
∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫a 2
b ＋b 2
a ＝a 2＋
b 2＋a 3
b ＋b
3
a ≥a 2＋
b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. ∴a 2b ＋b 2
a ≥a ＋
b ，当且仅当a ＝b 时等号成立． 方法二 ∵a 2b ＋b 2
a －(a ＋
b )＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2ab
＝a 3－a 2b －(ab 2－b 3)
ab
＝a 2(a －b )－b 2(a －b )ab
＝(a －b )2(a ＋b )ab
.
又∵a >0，b >0，∴(a －b )2(a ＋b )
ab ≥0，
当且仅当a ＝b 时等号成立． ∵a 2b ＋b 2
a
≥a ＋b . (2)解 ∵0<x <1，∴1－x >0，
由(1)的结论，函数y ＝(1－x )2x ＋x 2
1－x ≥(1－x )＋x ＝1.
当且仅当1－x ＝x ，即x ＝1
2时等号成立．
∴函数y ＝(1－x )2x ＋x 2
1－x
(0<x <1)的最小值为1.
(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①
作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．
(2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式或绝对值不等式的性质证明．
(2013·课标全国Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：
(1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2
a
≥1.
证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤1
3.
(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2
a ＋a ≥2c ，
故a 2b ＋b 2c ＋c 2
a ＋(a ＋
b ＋
c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2
a ≥1. 考点三 不等式的综合应用
例3 (1)(2013·陕西)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )
的最小值为________．
答案 2
解析 由柯西不等式(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时“＝”成立，得(am ＋bn )(bm ＋an )≥(am ·an ＋bm bn )2＝mn (a ＋b )2＝2.
(2)已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1
c )2≥63，并确定a ，b ，c 为何
值时，等号成立．
证明 方法一 因为a ，b ，c 均为正数，由算述一几何平均不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )2
3，
①
1a ＋1b ＋1c ≥3(abc )－13， 所以(1a ＋1b ＋1c )2≥9(abc )－23
.
②
故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2≥3(abc )23＋9(abc )－23.
又3(abc )23＋9(abc )－2
3≥227＝63，
③
所以原式成立．
当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )－2
3时，③式等号成立．
故当且仅当a ＝b ＝c ＝31
4
时，原不等式等号成立．
方法二 因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式得 a 2＋b 2≥2ab ， b 2＋c 2≥2bc ， c 2＋a 2≥2ac .
所以a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac . ① 同理1a 2＋1b 2＋1c 2≥1ab ＋1bc ＋1
ac ，
②
故a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1
c
)2
＝a 2＋b 2＋c 2＋1a 2＋1b 2＋1c 2＋2ab ＋2bc ＋2
ac
≥ab ＋bc ＋ac ＋3ab ＋3bc ＋3
ac
≥6 3.③
所以原不等式成立．
当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅当a ＝b ＝c ，(ab )2＝(bc )2＝(ac )2＝3时，③式等号成立．
故当且仅当a ＝b ＝c ＝31
4
时，原不等式等号成立．
利用算术—几何平均不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，
构造出算术—几何平均不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立．
(1)(2012·湖北)设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2
＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋c
x ＋y ＋z 等于
( )
A.14
B.1
3
C.12
D.34
答案 C
解析 通过等式找出a ＋b ＋c 与x ＋y ＋z 的关系． 由题意可得x 2＋y 2＋z 2＝2ax ＋2by ＋2cz ，
①
①与a 2＋b 2＋c 2＝10相加可得 (x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝10， 所以不妨令⎩⎪⎨⎪
⎧
x －a ＝a ，y －b ＝b ，
z －c ＝c
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧
x －a ＝b ，y －b ＝c ，z －c ＝a
， 则x ＋y ＋z ＝2(a ＋b ＋c )，即a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝1
2
.
(2)已知函数f (x )＝|x －2|＋|x －4|的最小值为m ，实数a ，b ，c ，n ，p ，q 满足a 2＋b 2＋c 2＝n 2＋p 2＋q 2＝m . ①求m 的值；
②求证：n 4a 2＋p 4b 2＋q 4
c
2≥2.
①解 方法一 f (x )＝|x －2|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2x －6(x ≥4)，2(2<x <4)，
－2x ＋6(x ≤2)，
可得函数的最小值为2.故m ＝2.
方法二 f (x )＝|x －2|＋|x －4|≥|(x －2)－(x －4)|＝2， 当且仅当2≤x ≤4时，等号成立，故m ＝2.
②证明 ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫n 2a 2＋⎝⎛⎭⎫p 2b 2＋⎝⎛⎭⎫q 2c 2·(a 2＋b 2＋c 2)≥⎝⎛⎭⎫n 2a
·a ＋p 2b ·b ＋q 2
c ·c 2， 即⎝⎛⎭
⎫n 4a 2＋p 4b 2＋q 4
c 2×2≥(n 2＋p 2＋q 2)2＝4， 故n 4a 2＋p 4b 2＋q 4
c
2≥
2.
1． 对于带有绝对值的不等式的求解，要掌握好三个方法：一个是根据绝对值的几何意义，
借助于数轴的直观解法；二是根据绝对值的意义，采用零点分区去绝对值后转化为不等式组的方法；三是构造函数，通过函数图象的方法．要在解题过程中根据不同的问题情境灵活选用这些方法．
2． 使用绝对值三角不等式求最值很方便，如|x ＋2|＋|x －4|≥|(x ＋2)－(x －4)|＝6.
3． 易错点：解绝对值不等式时忽视去掉绝对值的分界点；在使用算述一几何平均不等式、
柯西不等式求最值时忽视讨论等号成立的条件．
1． 若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立，则m 的取值范围为________．
答案 [－3,5]
解析 ∵|x ＋1|＋|x －3|≥|(x ＋1)－(x －3)|＝4， ∴不等式|x ＋1|＋|x －3|≥|m －1|恒成立， 只需|m －1|≤4，即－3≤m ≤5.
2． 设函数f (x )＝|x －3|＋|x －a |，如果对任意x ∈R ，f (x )≥4，求a 的取值范围．
解 若a ＝3，则f (x )＝2|x －3|，不满足题设条件； 若a <3，
则f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧ －2x ＋a ＋3， x ≤a ，3－a ， a <x <3，
2x －a －3， x ≥3，
f (x )的最小值为3－a ； 若a >3，
则f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
－2x ＋a ＋3， x ≤3，a －3， 3<x <a ，
2x －a －3， x ≥a ，
f (x )的最小值为a －3，
所以对任意x ∈R ，f (x )≥4的充要条件是|a －3|≥4，解得a ≥7或a ≤－1. 故a 的取值范围为(－∞，－1]∪[7，＋∞)． 3． 设函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .
(1)不等式f (x )≤a 的解集为{x |0≤x ≤1}，求a 的值；
(2)若g (x )＝1
f (x )＋f (x ＋1)＋m 的定义域为R ，求实数m 的取值范围．
解 (1)由已知得|2x －1|≤a ，即－a ≤2x －1≤a ， 所以1－a 2≤x ≤1＋a 2
，
因为不等式f (x )≤a 的解集为{x |0≤x ≤1}， 所以⎩⎪⎨
⎪⎧
1－a 2＝0，1＋a 2＝1，
解得a ＝1.
(2)由g (x )＝1|2x －1|＋|2x ＋1|＋m 的定义域为R 知，
对任意实数x ，有|2x －1|＋|2x ＋1|＋m ≠0恒成立， 因为|2x －1|＋|2x ＋1|≥|(2x －1)－(2x ＋1)|＝2，
所以m ＋2>0.
所以m >－2，即实数m 的取值范围为(－2，＋∞)．
(推荐时间：40分钟)
一、填空题
1． (2013·江西)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为________．
答案 [0,4]
解析 由||x －2|－1|≤1得－1≤|x －2|－1≤1，
解⎩⎪⎨⎪⎧
|x －2|≥0
|x －2|≤2
得0≤x ≤4. ∴不等式的解集为[0,4]．
2． (2013·山东)在区间[－3,3]上随机取一个数x 使得|x ＋1|－|x －2|≥1成立的概率为_______．
答案 13
解析 由绝对值的几何意义知：使|x ＋1|－|x －2|≥1成立的x 值为x ∈[1,3]，由几何概型知所求概率为P ＝3－13＋3＝26＝1
3
.
3． 已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1
t
－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合
A ∩
B ＝________. 答案 {x |－2≤x ≤5} 解析 由|x ＋3|＋|x －4|≤9，
当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3； 当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立； 当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5. 综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}． 又∵x ＝4t ＋1
t
－6，t ∈(0，＋∞)，
∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当且仅当t ＝12
时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．
4． 设f (x )＝1a
x 2－bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(－1,3)，若f (7＋|t |)>f (1＋t 2)，则实数t 的取值范围是________．
答案 (－3,3)
解析 ∵1a
x 2－bx ＋c <0的解集是(－1,3)， ∴1a >0且－1,3是1a
x 2－bx ＋c ＝0的两根． 则函数f (x )＝1a x 2－bx ＋c 图象的对称轴方程为x ＝ab 2
＝1， 且f (x )在[1，＋∞)上是增函数，
又∵7＋|t |≥7>1,1＋t 2≥1，
则由f (7＋|t |)>f (1＋t 2)，得7＋|t |>1＋t 2，
即|t |2－|t |－6<0，亦即(|t |＋2)(|t |－3)<0，
∴|t |<3，即－3<t <3.
5． 设a ，b ，c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，则3a ＋2b ＋c 的最大值为________． 答案 133
3 解析 由柯西不等式可知，
(a ＋2b ＋3c )·⎣
⎡⎦
⎤(3)2＋12＋⎝⎛⎭⎫132≥(3a ＋2b ＋c )2， ∵a ＋2b ＋3c ＝13， ∴(3a ＋2b ＋c )2≤1693
， ∴3a ＋2b ＋c ≤1333
， 当且仅当a 3
＝2b 1＝3c 13
时取等号， 又∵a ＋2b ＋3c ＝13，
∴a ＝9，b ＝32，c ＝13
时，
3a ＋2b ＋c 取得最大值1333
. 二、解答题
6． (2012·江苏)已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518
. 证明 因为3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )－(2x －y )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，
由题设知|x ＋y |<13，|2x －y |<16
， 从而3|y |<23＋16＝56，所以|y |<518
. 7． (2013·福建)设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12
∉A ， (1)求a 的值；
(2)求函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|的最小值． 解 (1)因为32∈A ，且12
∉A ， 所以⎪⎪⎪⎪32－2<a ，且⎪⎪⎪
⎪12－2≥a ， 解得12<a ≤32
.又因为a ∈N *，所以a ＝1. (2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，
当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x ≤2时取到等号，
所以f (x )的最小值为3.
8． 设a ，b ，c 均为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥2 3. 证明 因为a ，b ，c 是正实数，由算术—几何平均不等式可得
1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3
， 即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc . 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc . 而3abc ＋abc ≥23abc
·abc ＝23， 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥23，
当且仅当a ＝b ＝c ＝63时取等号．
9． 设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|.
(1)解不等式f (x )>0；
(2)若f (x )＋3|x －4|>m 对一切实数x 均成立，求m 的取值范围．
解 (1)当x ≥4时，由f (x )＝2x ＋1－(x －4)＝x ＋5>0，得x >－5，所以x ≥4；
当－12
≤x <4时，由f (x )＝2x ＋1＋x －4＝3x －3>0， 得x >1，所以1<x <4；
当x <－12
时，由f (x )＝－2x －1＋x －4＝－x －5>0， 得x <－5，所以x <－5.
综上，原不等式的解集为{x |x >1或x <－5}．
(2)f (x )＋3|x －4|＝|2x ＋1|＋2|x －4|≥|2x ＋1－2x ＋8|＝9，当－12
≤x ≤4时等号成立．所以m <9.
故m 的取值范围是(－∞，9)．
10．已知f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|，不等式f (x )<4的解集为M .
(1)求M ；
(2)当a ，b ∈M 时，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |.
(1)解 f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，
2x ，x >1.
当x <－1时，由－2x <4，得－2<x <－1；
当－1≤x ≤1时，f (x )＝2<4；
当x >1时，由2x <4，得1<x <2.
∴综上可得－2<x <2，即M ＝(－2,2)．
(2)证明 a ，b ∈M ，即－2<a <2，－2<b <2，
∴4(a ＋b )2－(4＋ab )2＝4(a 2＋2ab ＋b 2)－(16＋8ab ＋a 2b 2)＝(a 2－4)(4－b 2)<0， ∴4(a ＋b )2<(4＋ab )2，
∴2|a＋b|<|4＋ab|.。