2017_2018年高考数学总复习_参数方程

2017-2018年高考数学总复习:参数方程
参数方程
消参：t 为参数：代入法； 2
2
cos sin 1θθθ+=为参数：
； 考点一。

参数方程化普通方程
（1）求普通方程:（1）⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2＋t ，
y ＝2－2t (t 为参数)； （2）⎩⎨
⎧
x ＝sin α，
y ＝cos α＋1
(α为
参数)；
解：（1）的普通方程为2x ＋y －6＝0. （2）曲线C ：x 2
＋(y －1)2
＝1。

（3）若斜率为1的直线过C ：28,8.
x t y t ⎧=⎨=⎩的焦点.且与圆()2224x y r -+=相切.求r 。

解：抛物线的方程为x y 82=.焦点坐标是)0,2(F .所以直线的方程是2-=x y .圆心到直线的距离为r=2.
（4）直线⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝t cos α，y ＝t sin α
(t 为参数)与圆⎩⎪⎨
⎪
⎧
x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ
(φ为参数)相切.求直线
的倾斜角α。

解：直线y ＝x tan α=kx .圆：(x －4)2
＋y 2
＝4.则21
4d 2=+=k k .即3
3k ±
=.∴α＝π
6或
5π6
. （5）圆C 1.直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ.ρcos ⎝
⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.设P 为C 1的圆心.Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝t 3
＋a ，y ＝b 2
t 3
＋1(t ∈R 为参数).
求a .b 的值．
解：圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2
＝4.直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
由⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
＋(y －2)2
＝4，x ＋y －4＝0，
得⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 1＝0，y 1＝4，
⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2＝2，y 2＝2.
.P 点与Q 点的直角坐标分别为
(0,2).(1,3)．故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.由参数方程可得y ＝b 2x －ab
2
＋1.所
以⎩⎪⎨⎪⎧
b
2＝1，
－ab
2＋1＝2，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝2.
考点二.普通方程化参数方程
直线：上任意点的向量）
与）（过倾斜角，l :t ,P :(sin cos t x P b a l t b y a θθ
θ⎩⎨⎧+=+= 圆：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r x r b y a 椭圆：⎩⎨⎧==θθsin cos x b y a 双曲线：⎪⎩⎪⎨⎧==
θ
θtan cos x b y a 抛
物线：⎩⎨⎧==pt
y t 2p 2x 2
（1）求参数方程: （1）x 2
4＋y
2
9＝1； （2）设直线经过点
(1,5),倾斜角为 ；
(3)x=1；
解：（1）曲线C 的参数方程为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ(θ为参数)．（2
）直线
的参数方程为
( t 为参数)
(3)点p ）（0,1,2πα=,则参数方程为：⎪⎩
⎪⎨⎧
∙+=∙+=t y t 2sin 02cos 1x ππ.即为参数）
t t y (1x ⎩⎨⎧==。

（4）P,Q 都在为参数）
t t
y t
(sin 2cos 2x ⎩⎨
⎧==上.对应的参数分别为αα2,t ==t .M 为PQ 中点. 求：（1）M 轨迹的参数方程； （2）M 到原点的距离为d 的函数.判断d 是否过原点？ 解：（1）)2sin 2,2cos 2(),sin 2,cos 2P ααααQ （.则为参数）
：αααα
α(2sin sin 2cos cos x M ⎩
⎨
⎧+=+=y ； （2）0cos 22)2sin (sin )2cos (cos 2
2=+=+++=αααααd .则πα=.故过原点。

考点三。

圆与直线.圆与圆
命题点1.圆与直线.圆与圆弦长：（AB ＝２ｒ－ｄ）
（1）已知曲线C ：ρ=6sinθ.直线l ：为参数）.则直线l 与曲线C 相交
所得的弦的弦长为 ．
解：曲线C ：9)3(,6x 2
2
2
2
=-+=+y x y y 即.直线l:x-2y+1=0.则
4592,55
1
32-0d =-=∴=+⨯=
AB 。

（2）圆C ：22
(6)25x y ++=.直线l ：cos sin x t y t α
α
=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于
,A B
.||AB =.求l 的斜率．
解：直线：y=kx,1
6d 2+-=k k
,101k 36-25222
=+∴k ,则315±
=k 。

（3）为参数）：t t y a t (22x C 1⎩⎨
⎧-=+=.为参数）：θθ
θ
(sin 21cos 2x C 1⎩⎨
⎧+==y .若C 1、C 2有公共点.求a 的取值范围．
解：直线：x+2y-2a=0, 曲线：4)1(x 2
2
=-+y .则5151,24
122d +≤≤-∴≤+-=
a a 。

（4）已知曲线1C ：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=θ
θ
sin 10cos 102y x （θ为参数）.曲线2C ：θθρsin 6cos 2+=. 求
相交弦长．
解：由⎪⎩⎪⎨
⎧=+-=θ
θ
sin 10cos 102y x 得
10)2(22=++y x ∵θ
θρsin 6cos 2+=∴
θρθρρsin 6cos 22+=.
∴y x y x 6222+=+.即10)3()1(2
2=-+-y x ∴曲线2C 的直角坐标方程为
10)3()1(22=-+-y x .
两圆公共弦所在直线方程：两圆方程相减即：x+y-1=0,d=
2229-102AB 2
3==∴，. 命题点2：直线与圆.圆与圆距离最值：（圆心到直线距离±ｒ .两圆心距±ｒ）
（1）设点A.B 分别在曲线1C ：3cos 4sin x y θ
θ=+⎧⎨=+⎩
（θ为参数）和曲线2C ：1ρ=上.则||AB 的
最小值为 ．
解：曲线1C 的方程是22(3)(4)1x y -+-=.曲线2C 的方程是22
1x y +=.两圆外离.所以
||AB
113-=．
（2）求1C ：1)1x 22=+-y （上一点到2C
：12(112
x t t y t ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数）
的最小距离。

解：C 2化成x+y-22-1=0.由几何性知：距离最小=d-r=
11-2
22=.
考点四。

参数方程应用
命题点1：用直线参数方程t 求距离： （提示：直线l 与曲线Cj 交于A,B 两点：
1.如果直线无参数方程.先求参数方程： θθ⎧
⎨⎩
ｘ＝ａ＋ｔｃｏｓ（ｔ为参数）
ｙ＝ｂ＋ｔｓｉｎ .l 过P （a,b ）,倾斜角θ .t:P 与l 上任一点向量；
2
．如果有参数方程先化为标准型：⎧
⎪⎧⎪
⇒⎨⎨⎩⎪⎪⎩
ｍｔｘ＝ａ＋ｍｔｙ＝ｂ＋ｎｔｎｔ （t 为参数）
2.将参数方程代入曲线一般式方程.整理成关于t 的一元二次方程； 3．判断点P 与曲线位置关系：
１２
ｃ
ＰＡＰＢ＝ｔｔ＝ａ
.
１２ＡＢ＝ｔ－ｔ ；
12
+M =-22a
b ｔｔＰ＝ｔ＝(M 为AB 中点); １２ｂ
ＰＡ＋ＰＢ＝ｔ＋ｔ＝－ａ
（点在曲线外）；１２ＰＡ＋ＰＢ＝ｔ－ｔ（点在曲线内）
） （1）l ：（t 为参数）.C ：
.设C 与l 交于点A 、B.若点
P .求|PA|+|PB|．
解：圆：5)5(x 22=-+y .将l 参数方程代入：0423t 2
=+-t .则
|PA|+|PB|=23t 21=+t .
（2）已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6
π
α=
.设l 与圆42
2=+y x 相交与两点,A B .求
PB PA ∙的值.
解：直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ
⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩.
即1112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
．把直线1112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入
422=+y x .
得2221
(1)(1)4,1)202
t t t ++=+-=.122t t =-. 则PB PA ∙=2． （3）已知l:01)sin cos =+-ααρ（,曲线为参数）：ααα(sin 3cos 2x C ⎩
⎨
⎧==y .若l 与x 轴的交点为P.l 与C 交点为A,B.求PB PA ∙的值。

解：l:x-y+1=0,则P （-1,0）.倾斜角为：4π.故l 参数方程为：为参数）
t t y t (2222
1x ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=.
C 化为：
13
4x 2
2=+y .将l 代入曲线C
中.093
2
t 271222(4)t 221-3222=--=++t t ，即）（
. 故PB PA ∙7
18
t 21=
=t 。

（4）过点
)23,23(
P 且倾斜角为α直线l 与曲线1:2
2=+y x C 交于两点N M ,.求
PN
PM 11+ 的取值范围.
解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ααsin 23cos 23t y t x t (为参数）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=ααsin 23cos 23
t y t x t (为参数）代入
122=+y x .得
02)sin 3cos 3(2
=+++t t αα .
36
)6
sin(0>
+
⇒>∆π
α.
(
]
3
,2)6
sin(32)sin 3cos 3(1111212121∈+=+=+=+=+παααt t t t t t PN PM
（5）直线l:⎩
⎨⎧-=--=t y t 322x (t 为参数）与曲线1)2-y (22=-x 交于A,B 两点.求AB 的值。

解：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-===--=u
t t y u t 23222323221-2-)t 221-2-2x （代入曲线方程：
10,40104u 21212-==+∴=--u u u u u .则
142u 4)u (u AB 2122121=-+=-=u u u 。

命题点2。

用曲线参数方程求表达式最值：（先求圆.椭圆的参数方程.将其代入表达式.利用三角函数求最值）
（1）已知点(,)P x y 是圆22
2x y y +=上的动点.求2x y +的取值范围。

解：设圆
参数方程
c o 1s
i n
x y θθ
=⎧⎨
=+⎩
.
22cos sin 1)1
x y θθθϕ+=++=+
+121x y ≤+≤.
（2）点()P x y ，是椭圆2
213
x y +=上的一个动点.求S x y =+的最大值． 解：椭圆22
13x y +=
的参数方程为 (sin x y θθθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数）.设P
的坐标为,sin θθ）
.其中02θπ≤<.
因此1sin sin )2sin()23S x y πθθθθθ=+=+=+=+。

所以,当6
π
θ=是.S 取最大值2。

命题点3：用曲线参数方程求点到直线距离最值：（先求圆.椭圆参数方程.将其代入点到直线距离公式.求最值）
（1）C ：22x 1y +=３.l ：22)4
(cos =-π
θρ.点P 为C 上的动点.求点P 到直线l 距离的最小值.并求P 坐标。

解：直线：
x+y-4=0,P ,sin )αα,
则d ===
当,ππ
αα３ｓｉｎ（＋）＝１即＝，则Ｐ（３
６
２ 。

(2)C:194x 2
2=+y .直线l:⎩
⎨⎧-=+=t y t 222x (t 为参数）.求过C 上任意一点P 作与l 夹角为30度的直线交l 于A 点.求PA 最大值。

解：PA = 30sin l P d
=的距离到.C 的参数方程为：⎩
⎨⎧==θθsin 3cos 2x y （θ为参数）.l 的一般方程为
2x+y=6. 则d=
5
6
sin 3cos 22-+⨯θϑ=
5
6
)(sin 5-+ϕθmax=
5
11.故PA max=55
22.
命题点4：用曲线参数方程求两点距离最值：（必须一个动点.一个定点.椭圆参数方程代入两点距离公式）
(1) 已知极坐标方程：ρθρ
５＋４ｃｏｓ＋
＝０２ 的曲线C 上点A.椭圆２
２ｙｘ＋＝１９ 上点B.求ＡＢ 最大值。

解：圆：２
２
３
（ｘ＋２）＋ｙ＝２
.圆心（-2,0）.椭圆参数方程：θ
θ⎧⎨⎩
ｘ＝ｃｏｓｙ＝３ｓｉｎ .代入两
点距离公式：
=
当θ１
ｃｏｓ＝时，ｄ最大＝，则ＡＢ最大＝ｄ＋ｒ＝２４
２。