江苏省海门实验学校苏教版高中数学2-1：3.1空间向量(1) 导学案

空间向量(一)

—--空间向量及其线性运算、共面向量定理编制:邱明朗审核：陈燕华日期：4/15

【学习目标】

1．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；2．理解空间向量共线的充要条件，共面的充要条件

【教学重点】:空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质【教学难点】：空间向量的线性运算及其性质

一、复习回顾,感受数学

1．基本概念：向量、向量的模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量、平行向量。

2．基本运算：

（1）向量的运算及其性质

//a b ⇔ ；(向量表示） 若),(),,(2

211y x b y x a ==

，则//a b ⇔ ；（坐标表示）

（3）两个非零向量垂直 ⑴ a b ⊥⇔ ；（向量表示) ⑵ 若),(),,(2

2

1

1

y x b y x a ==

，则a b ⊥⇔ ；（坐标表示） 二、小组合作，建构数学

1．空间向量的概念：

在空间,我们把具有大小和方向的量叫做空间向量 注:⑴空间的一个平移就是一个向量

⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量

⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示

2．空间向量的运算

学必求其心得，业必贵于专精

定义：与平面向量运算一样,空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 b a AB OA OB

+=+= b a OB OA BA -=-= )(R a OP ∈=λλ

运算律：

⑴加法交换律:a b

b a

+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a

++=++ ⑶数乘分配律：b a b a

λλλ+=+)(

3．共线向量

与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a

//． 当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时,表示a

、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．

4．共线向量定理

共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a

//b 的充要条件是存在实数λ，使a

＝λb .

5．共面向量的定义

一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量；

理解:若b a ,为不共线且同在平面α内，则p 与b a ,共面的意义是p 在α内或α//p

6．共面向量的判定

平面向量中，向量b 与非零向量a 共线的充要条件是a b λ=，类比到空间向量，

即有共面向量定理 如果两个向量b a ,不共线,那么向量p 与向量b a ,共面的充要条件是存在有序实数组),(y x ，使得b y a x p +=

这就是说，向量p 可以由不共线的两个向量b a ,线性表示。

三、学习展示,运用数学

例1、如图，在三棱柱1

1

1

C B A ABC -中,M 是1

BB 的中点，化简下列各式,并

在图中标出化简得到的向量： （1）1

BA CB +;

(2）1

2

1AA CB AC ++;

(3）CB AC AA --1

例2、如图在长方体/

/

/

B D CA OADB -中,1,2,4,3======OK OJ OI O

C OB OA ，点E,F

学必求其心得，业必贵于专精

A /

B

D

分别是/

/

,B D DB 的中点,设k OK j OJ i OI ===,,，试用向量k j i ,,表示OE 和OF

例3、 如图,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在平面互相垂直,点M,N 分别在对角线BD ，AE 上,且

BM =平面CDE

例4、设空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若点P 满足向量关系OC z OB y OA x OP ++=（其中x+y+z=1），试问：P 、A 、B 、C 四点是否共面?

变式训练：空间四边形ABCD 中，连接AC ，BD ，△BCD 的重心为G ，若BC z BD y BA x AG ++=，求x ，y ，z 的值。

四、课堂巩固

1． 已知空间四边形ABCD ,连结,AC BD ，设,M G 分别是,BC CD 的中点，化

简下列各表达式，并标出化简结果向量:

（1）AB BC CD ++；

B

C

D

M

G

A

学必求其心得，业必贵于专精

（2）1()2

AB BD BC ++；

（3）1()2

AG AB AC -+．

2．已知非零向量2

1

e ，e 不共线，如果212121

3382e e AD ，e e AC ，e e

AB -=+=+=,

求证：A 、B 、C 、D 共面。

3。已知平行四边形ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量

OC k OG ，OB k OF ，OA k OE ===，OD k OH =.求证:（1）四点

E 、

F 、

G 、

H 共

面；（2）平面AC//平面EG.