高中数学立体几何单元测试卷(精选)

高一2011-2012学年度单元测试题
数 学 立体几何部分
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分），考生作答时请将答案答在答题纸上，答在试卷或草纸上无效，考试时间120分钟，满分150分。

参考公式：柱体体积V Sh =，其中S 为柱体底面积，h 为柱体的高。

球体体积34
3V R π=
，其中π为圆周率，R 为球体半径。

椎体体积1
3
V Sh =，其中S 为锥体底面积，h 为锥体的高。

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列说法正确的是
A.两两相交的三条直线共面
B.两条异面直线在同一平面上的射影可以是一条直线
C.一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线和该平面平行
D.不共面的四点中，任何三点不共线
2.设平面α∥平面β，A ∈α，B ∈β，C 是的中点，当A ，B 分别在α，β内运动时，那么所有的动点C A.不共面
B.当且仅当A ，B 在两条相交直线上移动时才共面
C.当且仅当A ，B 在两条给定的平行直线上移动时才共面
D.不论A ，B 如何移动都共面
3.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.2 B.1 C.
23 D. 1
3
第3题图 第4题图 4.如图所示，在等腰梯形中，22，∠60°，E 为中点。

将△与△分别沿，向上折起，使A ，B 重合于点P ，则三
棱锥P －的外接球的体积为 A.
4327π
B. 62π
C. 68π
D. 624
π 5.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
A.若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥α
B.若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥α
C.若l ∥α，m ⊂α，则l ∥m
D.若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 第6题图 6.如图所示，在斜三棱柱－A 1B 1C 1中，∠90°，1⊥，则C 1在底面上的射影H 必在 A.直线上 B.直线上 C.直线上 D.△内部
7.如图所示，正方体－A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ， 且
1
2
，则下列结论中错误的是 A. ⊥ ∥平面
C.三棱锥的体积为定值
D.△的面积与△的面积相等 第7题图
9.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于 A.
2S S B. 2S S π C. 4
S
S D. 4S S π 10.如图所示，若Ω是长方体－A 1B 1C 1D 1被平面截去几何体B 1－C 1后得到的几何
体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段1上异于B 1的点，且∥A 1D 1，则下列结论中 不正确的是
∥ B.四边形是矩形 C.Ω是棱柱 D.Ω是棱台 第10题图
11.如图所示，定点A 、B 都在平面α内，定点P ∉α，⊥α，C 是α内异于A 和B 的动点，且⊥。

那么，动点C 在平面α内的轨迹是
A.一条线段，但要去掉两个点
B.一个圆，但要去掉两个点
C.一个椭圆，但要去掉两个点
D.半圆，但要去掉两个点
第11题图 第12题图
12.如图所示，在单位正方体－A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P ，使得1P 最短，则1P 的最小值为 22+ B.
26
2
C.22
D.2
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题～第24题为平行选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）
13.如图所示，四棱柱－A 1B 1C 1D 1的底面为正方形，侧棱与底面边长均为2a ， ∠A 1∠A 160°，则侧棱1和截面B 1D 1的距离是
14.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为103 第13题图
第14题图 第15题图
15.如图所示，在正三角形中，E 、F 分别是、的中点，⊥，⊥，⊥，D 、H 、G 为垂足，若将正三角形绕旋转一周所得的圆锥的体积为V ，则其中有阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比是 16.判断下列命题的正确性，并把所有正确命题的序号都填在横线上
A
B
C
A 1
B 1
C 1
B
D
A 1
1
B 1
C D
C
A
P
F
E
④若直线a ⊥平面α，直线b ∥平面α，则直线b ⊥直线a 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）
在直三棱柱－A 1B 1C 1中，1⊥1，1=1，2. （1）求证：A 1C 1⊥；
（2）求点B 1到平面1的距离.
18.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P －中，底面为直角梯形，，∠90°，
12
，，Q 为的中点． （1）求证：⊥平面；
（2）若点M 在棱上，设，试确定t 的值，使得平面．
19.（本小题满分12分）
如图，四边形为正方形，⊥平面，∥，
12
． （1）证明：⊥平面；
（2）求棱锥Q －的的体积与棱锥P —的体积的比值．
20.（本小题满分12分）
在长方体－A 1B 1C 1D 1中，11，底边上有且只有一点M 使 得平面D 1⊥平面D 1.
（1）求异面直线1与D 1M 的距离； （2）求二面角M －D 1C －D 的大小.
21.（本小题满分12分）
已知正四棱锥P －的底面边长和侧棱长均为13，E 、F 分别是、上的点， 且
8
5
==FD BF EA PE . （1）求证：直线∥平面； （2）求直线与平面所成的角；
已知斜三棱柱－A 1B 1C 1的侧面1C 1C 是边长为2的菱形， ∠B 160°， 侧面1C 1C ⊥底面，∠90°，二面角1为30°. （1）求证：⊥1C 1C ；
（2）求1与平面1C 1C 所成角的正切值；
（3）在平面1B 1B 内找一点P ，使三棱锥1C 为正三棱锥，并求 该棱锥底面1C 上的高.
23.（本小题满分12分）
如图，四边形是正方形，⊥平面，，2， （1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成的角的大小；
（3）求平面与平面所成的二面角（锐角）的大小。

24.（本小题满分12分）
如图，已知正三棱柱—A 1B 1C 1的各棱长都为a ，P 为A 1B 上的点。

（1）试确定PB P A 1的值，使得⊥；
（2）若
3
2
1 PB P A ，求二面角P ——C 的大小； （3）在（2）条件下，求C 1到平面的距离
1．答题前，考生务必清楚地将自己的姓名、准考证号和座位号填写在相应位
置。

2．选择题填涂时，必须使用2B 铅笔按
填涂；非选择题必须使用0.5毫
米的黑色墨迹签字笔作答。

3．考生必须在答题卡各题目的规定答题区域内答题，超出答题区域范围书
写的答案无效。

4．保持答题卡清洁、完整、严禁折叠，严禁使用涂改液和修正带。

姓 名： 班 级： 考 场： 座位号：准考证号
18.（本小题满分12分）
请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框19.（本小题满分12分）
高一2011-2012单元检测题参考答案及评分标准
一、选择题，每小题5分，选错或不选不得分
二、填空题，每小题5分，第16题选错或少选都不得分 13 14.
3 15.
5
8
16.②④ 三、解答题，考生必须写出解题步骤或证明步骤，只写答案不得分，答题前不写“解”或“证明”字样的扣一分，写了不给分，答题纸上未标注选择哪一道题选做题的不得分，答案答错区域的不得分，超出答题区域的答案不予以审批。

17.（本小题满分10分）
证明：（1）连结B A 1，则11AB B A ⊥
又∵11BC B A ⊥∴⊥1B A 平面11BC A ∴ 111C A AB ⊥………4分
又∵111BB C A ⊥ ∴⊥11C A 平面1ABB
∴AB C A ⊥11 …………………4分 （2）由（1）知AC AB ⊥ ∵1AC AB ⊥ ∵1=AB 2=BC
∴3=
AC 21=AC
∴11=∆ABC S …………………6分 设所求距离为d ∵1
11
1ABB C ABC B V V --=
∴11113
1
31C A S d S ABB ABC ⋅=⋅∆∆ ∴
32
1
31131⋅⋅=⋅⋅d ∴23=d …………10分 18.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ） ，
1
2
，Q 为的中点， ∴ 四边形为平行四边形， ∴ ． ∵ ∠90° ∴∠90° 即⊥． ∵ ，Q 为的中点， ∴⊥． ∵ ∩，
∴⊥平面． ……………………6分 （Ⅱ）当1时，平面． 连接，交于N ，连接． ∵
12
， ∴四边形 为平行四边形，且N 为中点， 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D B C B A 题号 7 8 9 10 11 12 答案
D
B
D
D
B
A
C
A 1
B 1
C 1
∴ 平面． ……………………12分 19.（本小题满分12分）
解：（I ）由条件知为直角梯形
因为⊥平面，所以平面⊥平面，交线为.
又四边形为正方形，⊥，所以⊥平面，可得⊥.
在直角梯形中可得，则⊥ 所以⊥平面. ………………6分 （）设.
由题设知为棱锥Q —的高，所以棱锥Q —的体积 由（I ）知为棱锥P —的高，而
，△的面积为
，
所以棱锥P —的体积为
故棱锥Q —的体积与棱锥P —的体积的比值为1.…………12分 20.（本小题满分12分）
证明:(1)过D 作M D DH 1⊥于H
∵平面⊥DM D 1平面MC D 1且平面 DM D 1平面M D MC D 11= ∴⊥DH 平面MC D 1 ∴MC DH ⊥
又∵1DD MC ⊥ ∴⊥MC 平面DM D 1 ∴DM MC ⊥…………………2分 又∵满足条件的M 只有一个
∴以CD 为直径的圆必与AB 相切， 切点为M ，M 为的AB 中点 ∴
AD CD =2
1
∴2=CD ………4分 ∵⊥MC 平面DM D 1，∴M D MC 1⊥
又∵MC CC ⊥1，所以MC 为异面直线1CC 与M D 1的公垂线段 CM 的长度为所求距离 2=CM …………………6分
（2）取CD 中点E ，连结ME ，则⊥ME 平面CD D 1 过M 作C D MF 1⊥于F ，连结EF ，则1CD EF ⊥
∴MFE ∠为二面角D C D M --1的平面角…………………9分 又∵1=ME ,530=
MF 在MEF Rt ∆中630
sin ==∠MF ME MFE
∴6
30
arcsin
=∠MFE …………………12分 21.（本小题满分12分） 证明：（1）连结AF 并延长与BC 交于G ∵ADF ∆∽GBF ∆
∴
85
==FA GF FD BF ∴FA
GF
EA PE =
B
D
A 1
1
B 1
C E
F
H
B
D C
O
E
F
G
∴EF ∥PG ………………5分 又∵⊄EF 平面PBC
∴EF ∥平面PBC ……………6分
（2）∵EF ∥PG
∴EF 、PG 与平面ABCD 所成的角相等…………………8分 设AC 、BD 交于O ，连结PO 、OG
∵ABCD PO 平面⊥，∴PGO ∠为所求的角……………9分
∵
85=
=AD BG FD BF ∴85
13⨯=BG 在OBG ∆中
1781322851322132851322132
2=⨯⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
⨯+⎪⎭⎫
⎝⎛=OG …………10分 又∵13=PA 2213=
OA ∴22
13=OP 在POG Rt ∆中 3417
4
178
132
213
tan ===∠OG PO PGO
∴3417
4
arctan =∠PGO …………………12分
22.（本小题满分12分）
证明：（1）∵平面⊥C C BB 11平面ABC
平面 C C BB 11平面BC ABC = 又∵BC AC ⊥ ⊂AC 平面ABC ∴⊥AC 平面C C BB 11…………………4分
（2）取1BB 的中点D ，则1BB CD ⊥ ∵⊥AC 平面C C BB 11 ∴1BB AD ⊥
∴CDA ∠为二面角C BB A --1的平面角 ∴︒
=∠30CDA ∵3=
CD ∴1=AC …………………6分
连结C B 1，则C AB 1∠为1AB 与平面C C BB 11所成的角 在1ACB Rt ∆中 2
1
tan 11==∠C B AC C AB …………………8分 （3）在CD 上取一点O 使
2
1
=OC DO ，过O 作AC 的平行线与AD 交于P ，则点P 为所求 …………………10分 ∵AC ∥OP ∴⊥OP 平面C BB 1且O 是正C BB 1∆的中心 ∴C BB P 1-为正三棱锥
A 1
∴所求高为3
1
31==
AC OP …………………12分 23.（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图1，取的中点E ，连，。

∵，
21，，2
1
， ∴，且
∴四边形是平行四边形， ∴ 。

又∵⊄平面，⊂平面，
∴平面 …………………………3分 （Ⅱ）如图1，⊥平面， ⊂平面， ∴⊥。

又∵⊥， ∴⊥平面。

∵⊂平面， ∴平面⊥平面。

过B 作⊥于F ，则⊥平面，连， 则为在平面上的射影。

∴∠是直线与平面所成的角。

不妨设2，则在△中，BD BF 21=， ∴∠6
π ∴直线与平面所成的角是
6
π
………7分 （Ⅲ）解：如图3，分别延长，，设∩，连， 则平面∩平面
过A 作⊥于N ，连。

∵⊥平面， ∴⊥ ∴∠是平面与平面所成
的二面角的平面角（锐角） …………………………9分 在△中，2
2
tan ==
∠NA MA MNA ， ∴∠
2
2
∴平面与平面所成的二面角（锐角） 大小是
2
2
…………………………………………12分 24.（本小题满分12分）
解法一：（1）当
11=PB
P
A 时，⊥ 取的中点D ′，连结′、′ ∵△为正三角形， ∴′⊥。

当P 为A 1B 的中点时，′1A ， ∵A 1A ⊥底面， ∴′⊥底面， ∴⊥ ……………………2分 （2）当
3
2
1=PB P A 时，过P 作⊥于D ，
如图所示，则⊥底在
过D 作⊥于E ，连结，则⊥
∴∠为二面角P ——B 的平面角。

又∵1A ， ∴
231==PA BP DA BD ， ∴a AD 5
2
= ∴ .5
3
235260sin a a AD DE =⨯=
︒⋅= 又∵
a PD A A PD 5
3
,5
3
1=
∴= ∴ 3tan ==
∠DE
PD
PED ∴∠60° 即二面角P ——B 的大小为60° …………………………6分 （3）设C 1到面的距离为d ，则11ACC P PAC C V V --= ∵1A ∴平面A 1C ∴即为P 点到平面A 1C 的距离。

又a a a DE PD 5
32)53()53(2222=+=+2 ∴
DE S d S ACC PAC ⋅=⋅∆∆13
1
31 ∴a a d a a 5
3
)21(31)5322
1(312⋅=⋅⋅
解得 2
a d =
即C 1到平面的距离为
a 2
1
…………………………12分。