【学生卷】初中七年级数学下册第六单元《实数》经典练习题(课后培优)

一、选择题
1．对于任意不相等的两个实数a ，b ，定义运算：a ※b ＝a 2﹣b 2+1，例如3※2＝32﹣22+1＝6，那么（﹣5）※4的值为（ ）
A ．﹣40
B ．﹣32
C ．18
D ．10
2．64的算术平方根是（ ） A ．8 B ．±8 C ．22
D ．22± 3．在实数3-，-3.14，0，π，364中，无理数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
4．下列命题是真命题的是（ ）
A ．两个无理数的和仍是无理数
B ．有理数与数轴上的点一一对应
C ．垂线段最短
D ．如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等
5．下列实数中，是无理数的为（ ）
A ．3.14
B ．13
C ．5
D ．9
6．在0.010010001，3.14，π，10，1.51，27
中无理数的个数是（ ）． A ．5个 B ．4个 C ．3 D ．2个
7．定义运算：132x y xy y =-
※，若211a =-※，则a 的值为（ ） A ．12- B ．12
C ．2-
D ．2 8．如图，直径为1个单位长度的圆从A 点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B ，则点B 表示的数是（ ）
A ．1π-
B ．21π-
C ．2π
D ．21π+
9．下列计算正确的是（ ） A ．11-=- B ．2(3)3-=- C ．42=±
D ．31182-=- 10．如图，四个实数m ，n ，p ，q 在数轴上对应的点分别为M ，N ，P ，Q ，若0n q +=，则m ，n ，p ，q 四个实数中，绝对值最大的一个是（ ）
A ．p
B ．q
C ．m
D ．n
11．已知无理数m 的小数部分与5的小数部分相同，它的整数部分与5π-的整数部分相同，则m 为（ ） A ．5 B ．10 C ．51- D ．5π-
12．在下列实数3，0.31，3
π，27-，9，12-，38，1.212212221…(每两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
13．64的平方根为（ ）
A ．8
B ．8-
C ．22
D ．22± 14．若将2-，7，11分别表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ）
A ．2-
B ．7
C ．11
D ．无法确定 15．按照下图所示的操作步骤，若输出y 的值为22，则输入的值x 为（ ）
A ．3
B ．-3
C ．±3
D ．±9
二、填空题
16．已知一个正数的平方根是3a +和215a -．
（1）求这个正数．
（2）求12a +的平方根和立方根．
17．小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗
（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9．
问题：
（1）请归纳⊗运算的运算法则：两数进行⊗运算时， ；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算， ．
（2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗
[（﹣12）⊗0]； （3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证．
18．对于有理数a ，b ，定义一种新运算“”，规定a b a b a b =++-．
（1）计算()23-的值；
（2）①当a ，b 在数轴上的位置如图所示时，化简a
b ； ②当a b a
c =时，是否一定有b c =或者b c =-？若是，则说明理由；若不是，则举
例说明．
19．若a ，b 分别为11的整数部分和小数部分，则a-b 的值为__．
20．一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a ，b ，c ，d ，如果a b c d ≤≤≤，那么我们把这个四位正整数叫做进步数，例如四位正整数2347：因为2347<<<，所以2347叫做进步数．
（1）求四位正整数中的最大的“进步数”与最小的“进步数”的差；
（2）已知一个四位正整数的百位、个位上的数字分别是1、4，且这个四位正整数是“进步数”，同时，这个四位正整数能被7整除，求这个四位正整数．
21．求下列各式中的x ：
（1）29(1)25x -=
（2）3548
x += 22．比较大小：
312-___________12 23．根据如图所示的程序计算，若输出y 的值为16，则输入x 的值为 ______．
24．比较大小，填“＞”或“＜”号：
12_________512 25．任何实数a ，可用[a]表示不大于a 的最大整数，如[4]=4，31⎡=⎣，现对72进行如下
操作：72→72⎡⎣=8→82⎡=⎣→2⎤⎦=1，类似地：
（1）对64只需进行________次操作后变为1；
（2）只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．
26．“⊗”定义新运算：对于任意的有理数a 和b ，都有21a b b ⊗=+．例如：
2955126⊗=+=．当m 为有理数时，则(3)m m ⊗⊗等于________．
三、解答题
27．把下列各数在数轴上表示出来，并把它们按从小到大的顺序用“＜”连接：
1.5-380，134-
28．若求若干个相同的不为零的有理数的除法运算叫做除方，如
()()()()2223333÷÷-÷-÷-÷-，等。

类比有理数的乘方，把以上两式分别记作()32，()()43-，读作“2的括3次方”，“3-的括4次方”。

一般地，把
()()0n a a a a a a ÷÷÷
÷=≠，读作“a 的括n 次方”。

（1）直接写出计算结果：
()32= ，
()()4
3-= ， ()512⎛⎫-= ⎪⎝⎭ ；
（2）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：
一个非零有理数的括n 次方等于
（3）计算：()()
3324282÷+-⨯ 29．计算下列各题
（1）﹣2；
（2）﹣（结果保留2位有效数字）． 30．求满足下列条件的x 的值:
（1）3(3)27x +=-；
（2）2(1)218x -+=．。