基于广义bent函数的最优跳频序列的构造

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在现代通信系统中，跳频码分多址（F H M C）扩频系统具有抗干扰、抗截获的能力，并能做到频谱资源共享，所以在蓝牙、超宽频、雷达等当中都得到了广泛的应用。

在跳频多址扩频系统中，当接收器解调来自发送器传送的信号时，会受不明信号的干扰。

为了防止相互干扰和区别彼此信号，采用的跳频序列的汉明互相关值和非平凡的汉明自相关值应尽可能小，同时还要求序列的数目比较多以容纳尽可能多的用户。

但是，跳频序列集的参数受限于一些理论界
[1-3]
，因此构造关于这些界的最优跳频序
列集成了设计的热点。

近年来，人们利用各种数学工具构造了很多性能良好的跳频序列[3-10]，这些跳频序列均具有最优的汉明相关性能。

b e n t函数是一类特殊的布尔函数,因其具有非线性性和稳定性，故在密码学和通信等领域有很重要的应用，但它们数量少、不平衡且无相关免疫性。

于是人们又将bent函数的概念逐步拓广到了广义bent函数上。

文献[11]提出了利用完全非线性函数构造跳频序列的方法。

给定一个完全非线性函数，利用其方法可以得到一个具有良好汉明自相关值的跳频序列。

本文根据一些特殊的广义bent函数是完全非线性函数，在文献[11]的基础上利用特殊的广义bent函数构造出一类最优跳频序列，并说明一些已有的最优跳频序列是其特例。

1 基本概念
设},...,,{110−=v f f f F 为频隙集。

任意一个序列{}110,...,,−=l x x x X )10,(−≤≤∈l i F x i 称为F 上长度为l 的跳
频序列；给定两个跳频序列X 与Y ，
其周期汉明相关函数)(,t H Y X 定义为
)(,t H Y X =∑−=+1
0],[l i t i i y x h ,10−≤≤l t (1)
这里，],[t i i y x h +=
≠=++.
,0;
,1t i i t i i y x y x (2)
若Y X =，)(,t H X X 称为序列X 的汉
明自相关函数，简记为)(t H X 。

设S 是F 上的长度为l 的跳频序列的集合。

对于任意的Y X ,S ∈，
令)(X H =1
1max −≤≤l t )
}({t H X
(3)),(Y X H =Y
X l t ≠−≤≤,10max )}({,t H Y X (4))(S M =max{S X ∈max )
}({X H ,Y X S Y X ≠∈,,max
)
},({Y X H } (5)L e m p el和G r e e n b e r g e r 于1974年给出了序列X 的最大汉明相关值)(X H 的一个下界。

引理1[1]（Le m p el-Gree n b erger界）设X 是F 上的长度为l 的任意跳频序列，则
)(X
H (6)其中，v F =，b 是l 模v 的最小非
负整数， x 表示大于或等于x 的最小整数。

一个跳频序列X 称为最优的，
如果序列X 的最大汉明相关值满足上面的界。

关于跳频序列族，Pe n g和Fa n 在2004年给出了如下一个理论界。

引理2[2](P e n g -F a n 界)设S 是F 上的长度为l 的
n 个跳频序列的集合，
定义
则
)(S M )(7))(S M
≥一个跳频序列族S 称为最优的，如果序列族S 的最大汉明相关值)(S M 满足引理2中的其中一个界。

以下令),,(λv l
表示在大小为v 的频隙集F 上的序列长为l 且最大汉明相关值为
λ 的一个跳频序列；令),,,(λv n l 表
示在大小为v 的频隙集F 上的序列长为l 的n 个
跳频序列构成的最大汉明相关值为λ 的序
列族。

2 基于广义bent函数构造最优跳频序
列族
定义1[12]对于正整数≥q ≥2，
我们以下用q ζ 表示复数
q
i e
π2 (i
=1
−)。

q Z 上的m
元
广义布尔函数f =),...,,(21m x x x f :m
q Z →q
Z 叫做广义bent函数，是指对于每个y ∈m
q Z ,
|)(|y W f =
||
)(∑∈⋅-m q
Z x y x x f q
ζ
=2m
q (8)
当q =2时，f 叫做bent函数。

定义2[13]函数f 称为完全非线性函数，
如果对于任意的非零元w ∈m
q Z ，当x 取遍m q Z 中所有元素时,)(w x f +-)(x f 取到q
Z 中每个元素的次数相等。

定理1[13]一个完全非线性函数f 是广义
bent函数；当q 是素数时，广义bent函数是完全非线性函数。

构造1令p 为素数，m 为正整数，f 是
一个从m
p Z 到p Z 的广义bent函数。

定义一个
在p Z 上的长度为q =m
p 的跳频序列X ：
X =)}1(),...,1()
,0({−q f f f (9)那么X 是一个),,(1−m p p q 跳频序列，并
且可证明关于L-G ∈界是最优的。

证明：对于∀t
∈}1,...,2,1{−q ,∀b ∈
p Z ,都有
|q Z i ∈{:)(t i f +-)(i f =}b |=1
−m p (10)
所以)(X H =1−m p 。

可验证)(X H 正好达到L-G界。

构造2f 同构造1，π为p Z 上的任意置换，如下定义跳频序列族S 为：
S =:{i X =i }1,...,1,0−p (11)
其中i X 定义为
i X =),()0({i f π+),...,
()1(i f π+)}()1(i q f π+− (12)
那么S 为一个),,,(1−m p p p q 跳频序列族，并且可证明关于P-F界是最优的。

证明：对于任意的j i ,∈,...,1,0{}1−p ，有
当j i =时，由构造1的证明可知)(i X H =1−m p ；
当j i ≠时，显然)0(,j i X X H =0;当∀t
∈
}1,...,2,1{−q ,∀b
∈p Z ,都有
|q Z x ∈{:)]()([i t x f π++-(
)([x f π+-)()([j x f π+=}b | =|q Z x ∈{:)(t x f +-)(x f =b π-π
+-)(x f =b )(i π-)(j π+|=1-m p (13)
所以)(S M =1−m p 。

可验证)(S M 正好达到P-F界。

推论1[14]设p 是一个素数，如下定义跳频序列族S =:{i X =i }1,...,1,0−p ,其中
)(x X i =)(x f +i
p )(mod 2p ，x ≤0≤12
−p (14)
基于广义bent函数的最优跳频序列的构造①
徐善顶1 曹喜旺2
（1.南京工程学院数理部 江苏南京 211167; 2.南京航空航天大学数学系 江苏南京 211106）
摘 要：基于广义bent函数，构造了一类新的跳频序列族。

根据广义bent函数在特定情况下的性质，证明了所构造的跳频序列（族）关于其相关界是最优的，并指出一些先前的结论是此定理的推论。

最后给出了几个最优跳频序列的例子，并附上跳频图作为参考。

关键词：跳频序列 汉明相关 最优序列族 广义bent函数中图分类号：TN914 文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2013)12(c)-0203-02
①基金项目：国家自然科学基金项目(A010206);南京工程学院校级科研基金项目(QKJA201307)。

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而)(⋅f 是下面定义的2
p Z 上的函数：
=)(x f )]()([221x g x x p +π)(mod 2p ，x
)]2x )(mod 2p ，21x px x +=，p Z x x ∈21, (15)
那么上面所构造的跳频序列族是最优的。

证明：在文献[15]中已经证明上面定义的函数
)(⋅f 是广义bent函数。

因为
p pZ 同构于p Z ，
故定义在2
p Z 上的广义b e nt函数也是从2
p
Z 到p Z 的广义bent函数，所以例1其实是构造2的一种推论。

推论2设p 是一个奇素数，如下定义跳频序列族S =:{i X =i }1,...,1,0−p ，
其中)(x X i =)(x f +)(i π)(mod p ，x ≤0≤1-n
p )(mod p ，x ≤0≤1-n p (16)
而)(⋅f 是下面定义的从n
p Z 到p Z 上的
函数：
当n 为偶数时，即m n 2=时，令
=x 112x p m -+…+12-m px +m x 2,∀i x p Z ∈
,则
=)(x f ),...,,(221m x x x f =11+m x x +2x
x )...,2m x =11+m x x +22+m x x +…+m m x x 2)(mod p (17)
当为n 奇数时，令
=x 11x p n -+…+1-n px +n x ,∀i x p Z ∈
,则
=)(x f ),...,,(21n x x x f =x
),...,,(21n x x x f =21x +22x +…+2
n x )(mod p (18)
那么上面所构造的两类跳频序列族都是最优的。

证明：在文献[13]已经证明n 是奇数或偶数时，上面定义的函数)(⋅f 都是广义bent函数，所以由构造2可知推论成立。

例设5=p ，令
=)(x f 21x
+
22x
+
23
x )(mod p ,=x 12
x p +2px +3x ,321,,x x x p Z ∈ 22x
+
23
x )(mod p ,=x 12
x p +2px +3x ,321,,x x x p Z ∈
(19)如下定义跳频序列
S =:{i X )(x X i =)(mod p ,103-≤≤p x ,}10-≤≤
p i ),103-≤≤p x ,}10-≤≤p i (20)则该序列族共有5个序列，长度为125，
最大汉明相关值为25。

下附5=p 时跳频图作为参考(如图1):
3 结语
基于某些特殊广义b e nt函数，得到一类最优的跳频序列族。

与文章[14]相比可以得到更多的最优跳频序列（族）。

当然即使广义b e nt函数没有映射到素域中，其实构造出的部分跳频序列也具有某种最优性。

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