2019年第章随机型时间序列预测方法.ppt

(2) d=2,
n 1
n 1
X n X1 X j1 X k X jk
j 1
j 1
第5章
nk
同理, 有 X jk = Xk+ 2 X jk
j 1
nk
Xn=Xk+(n-k)(Xk-Xk-1)+ (n k j 1)Yk j n>k≥2 j 1
2 Xn= (Xn)= Xn - Xn-1 = Xn –2 Xn-1 +Xn-2 (p, d, q)
Φp(B) dXn=Θq(B)εn （5.8）
第5章
对这类非平稳的序列,我们假定n从1开始Xn才有定义, 并且假定Xn的前d个随机变量X1, X2, …, Xd是均值为0、方
差有限且与{ d Xn}不相关,因而也与εn不相关。序列{Xn} 可用它的初值X1, X2, …, Xd及平稳序列{Yn|Yn= d Xn, n=1,
如,对于MA (1)模型,其特征方程为1-θ1λ=0于是特征 根为θ-11,从而可逆性条件为| θ1 |<1。在此条件下,由
Xn=(1-θ1B)εn
εn=(1-θ1B) –1 Xn=


1k Bk X n 1k X nk (5.6)
k 0
k 0
第5章
5.1.4 自回归移动平均（ARMA） 在建立一个实际时间序列模型时,可能既有自回归部分,
第5章
由式(5.1)知,如果： (1) 能够证明式(5.1) (2) 能够确定p (3) 能够确定模型参数φ1, …, φp,那么, 式(5.1)去掉εn项后
Xˆ n1 φ1Xn+φ2Xn-1+…+φpXn-p+1 , 由 此 进 行 预测就很容易了。可惜的是, 并非所有时间序列都能用式 (5.1)的AR (p)模型来表示。因此，我们还要考虑其它模型。
Φp(B) 12 Xn=Θq(B) 12 εn
来描述。 (1-φ1B)(1-B)(1-B12)Xn=(1-θ1B)(1-B12)εn 就描述了一个既有线性发展趋向,又含月度周期变动的 随机型时间序列模型。如果能预测到Xn的长期趋势f(n),则 Xn-f(n)就是零均值了。
第5章
5.2 ARMA
本节简要介绍ARMA序列的自相关函数和偏相关函数及 其性质,并讨论它们与模型参数间的关系。AR (p)和MA (q)
第5章
其中Ctk=t!/(k! / (t-k)!)。我们不去推导上述公式,仅 仅讨论两种最简单的情况。
(1) d=1,ห้องสมุดไป่ตู้
Xn= Xn -Xnn1-1+ Xn-1-Xn-2+…+X2-X1+X1
=X + Y1 j 1 jn1k
=Xk+
Yk j
j 1
n>k≥1
从而式（5.9）成立。
可以证明, 对任意的平稳AR(p)模型,Xn都可由过去各期
的误差来线性表示。平稳性保证Φ p(B)的逆算子存在,但
一般为无穷阶的,即
p (B) anBn ， 从 而
X n ( anBn )n。这里只讨论平稳n0的AR (p)模型。
n0
注： 式(5.3)中假定了序列Xn是负向无穷的。
由此定义{Xn}的自相关函数为
建模流程图如图5.1所示。
第5章
确 定 基本 模 型 形式 模 型 识 别 (选 择 一 个 试 验 性 模 型 ) 参 数 估 计 (估 计 试 验 性 模 型 参 数 )
诊 断 检验 ， 模 型 合适 否 ？
合适 利 用 模型 预 测
不合适
图5.1 随机型时间序列预测方法建模流程
第5章
定义5.1 时间序列{Xn|n=0, ±1, ±2, …}称为平稳的,如 果它满足：
其中{εn}是白噪声序列。称满足上式的模型为q阶移动 (Moving average model of order q),简记为MA
(q)。与AR (p)模型类似,式(5.4)可写成如下的算子形式：
Xn=Θq(B)εnΘq(B)=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq (5.5)
第5章
称Θq(λ)=0为MA(q)模型的特征方程；它的q个根称 为MA(q)的特征根。如果MA(q)的特征根都在单位圆外, 则称此MA(q)模型是可逆的。
又有移动平均部分,如： Xn-φ1Xn-1 -…-φpXn-p=εn-θ1εn-1-…-θqεn-q (5.7) 或者写成算子形式：
Φp(B)Xn=Θq(B)εn 简记此模型为ARMA (p, q),括号中的第一个数据p是自 回归阶数,第二个数据q是移动平均的阶数,故称之为(p, q)阶 的自回归移动平均模型。实际应用中, p、q的值很少超过3。
第5章
不失一般性,对一个平稳时间序列{Xn, n=0, 1, …},可以假 设它的均值为0。若不然,运用零均值化方法对序列进行一次
平移变换,亦即令 X n X n C, n 0,1,..., X n是一个零均值
的平稳序列。这样做,便于下面进行统一讨论。
我们可把所要研究的对象,比如某商品的月销售量,看作 为一个随机时间序列{Xn}。将手中所有的观察值{x1, x2, …, xN},如为最近5年这种商品的月销售量统计数据,看作为这个 随机时间序列的一个样本。若要想预测未来某一时期这种商 品的月销售量,关键的问题是要掌握随机序列{Xn}的统计特 性。但是,我们并不了解{Xn}的统计特性,而手中只有{Xn}的 一个样本。所以,需要我们做的工作就是根据手中的样本去 估计{Xn}的概率特性,也就是建立时间序列{Xn}的统计模型, 用它来近似实际时间序列,从而做出对未来的预测。
则称AR (p)模型是稳定的或平稳的。称上式为平稳性条件。
第5章
这里应引起读者注意的是,平稳时间序列{Xn}是指Xn的 均值为常数(我们设其为0)且自相关函数为齐次的随机时间 序列,而平稳的AR(p)则指它满足平稳性条件：Φp(λ)=0的根 均在单位圆外。这两种“平稳”是两个不同的概念。如,对 于AR(1)模型,
有些时间序列常呈现出一种特殊的非平稳性,称之 为齐次非平稳性： 只要进行一次或多次差分就可以将 其化为平稳序列。差分的次数称为齐次化的阶。这样 的时间序列可用求和自回归移动平均模型来描述。
第5章
Xn= Xn - Xn-1 =(1-B) n,
=1-B 。 n
2 Xn =(1-B)2Xn=(1-2B+B2)Xn=Xn-2 Xn-1 +Xn-2
第5章
对ARMA (p, q)模型,我们总假定Φp(B)和Θq(B)（作为变 量是B的多项式）无公共因子,分别满足平稳性条件和可逆性 条件。如果Φp(B)满足平稳性条件,称ARMA (p, q) 是平稳的； 如果Θq(B)满足可逆性条件,称ARMA (p, q)是可逆的。对平稳 的ARMA (p, q) 模型,Xn可表示为过去各期误差εn, εn-1, εn-2, … 的线性组合；对可逆的ARMA (p, q) 模型, εn可表示为过去各 期数据Xn, Xn-1, Xn-2, …的线性组合。由于自回归模型不存在其 它自变量,不受模型变量“相互独立”假定条件的约束,因此， 用AR模型及其原理可以构成多种模型,以消除或改进普通回 归预测中由于自变量选择、多重共线性、序列相关等原因所 造成的困难。
Φp(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp 则式(5.1)
Φp(B) Xn=εn
(5.2)
称多项式方程Φp(λ)=0为AR (p)模型的特征方程,它的p个根 λ1, λ2, , λp称为模型的特征根。特征根可能是实数,也可能是复 数。如果这p个特征根都在单位圆外,即
|λi|>1
i=1, 2, …, p
第5章
5.1.2 自回归(AR)模型 (Autoregressive Model)
Xn=φ1Xn-1+φ2Xn-2+…+φpXn-p+εn (5.1) 式中, φ1, …, φp为模型参数；Xn为因变量; Xn-1, Xn-2, …, Xn-p 为“自”变量。这里“自”变量是同一(因此称为“自”)变量, 但 属 于 以 前 各 个 时 期 的 数 值 , 所 谓 自 回 归 即 是 此 含 义 。 {εn, n=0,±1, …}是白噪声序列,即E(εn)=0, E(εnεn+k )=σ2εδk0
ARMA (p, q)序列的特例,但AR (p)和MA (q)序列 有它们自己独特的性质,本节就AR (p)、MA (q)、ARMA (p, q)三类模型分别进行讨论。首先给出自相关函数的定义。
设{Xn}是一个零均值的平稳时间序列,定义{Xn}的自协方
γk=γ-k=E［XnXn-k］ k≥0
第5章
第5章
第5章 随机型时间序列预测方法
5.1 随机型时间序列模型 5.2 ARMA模型的相关分析 5.3 模型的识别 5.4 ARMA序列的参数估计 5.5 模型的检验与预报 思考与练习
第5章
5.1
5.1.1 所 谓 随 机 时 间 序 列 , 是 指 {Xn|n=0, ±1, ±2, …,
±N, …},这里对每个n, Xn都是一个随机变量。以下我们 简称为时间序列。
对于ARIMA (p, d, q)序列,它可以通过d阶差分化成 平稳的ARMA (p, q)序列,从而化成了前面三类模型。但 这种将ARMA推广到ARIMA的非平稳序列是非本质性 的,所以本章也就不再详细讨论了。
第5章
5.1.6 对于含有季节性周期的时间序列,也可用季节差分
的方法将之化成平稳序列。例如,对月度波动,可以用月
1-φ1λ=0 特征根λ1=φ-11,从而AR(1) 的平稳性条件是| φ1 |<1。 在条件|φ1|<1的情况下,
N 1
X n n 1X n1 ... 1kkn 1Nnk (5.3)
k 0
第5章
由于εk表示第k期的预测误差,因此上式表示对平稳
的AR(1) 模型,Xn可由过去各期的误差线性表示。其实
第5章
5.1.3 移动平均（MA）
式(5.3)说明在平稳的AR (p)模型中,Xn可由过去各期误差 的线性组合表示,而当AR (p)模型非平稳时,线性表示就难 以成立了。移动平均模型就是当Xn可由过去有限期的误差线 性表示的情形。
Xn =εn-θ1εn-1-θ2εn-2-…-θqεn-q
(5.4)
第5章
5.1.5 求和自回归移动平均(ARIMA) 前面介绍的三类模型仅适用于描述平稳的时间序
列,而实际应用中遇到的时间序列往往是非平稳的,尤其 是在经济管理中遇到的时间序列。尽管从实际应用的 角度看,用适当的自回归模型去近似一个稳定或不稳定 的时间序列,在理论和方法上都是可行的,但我们常用差 分化的方法将非平稳的序列化成平稳序列来求解。
2, …}表达。事实上,由于差分的逆运算是求和运算,所以
d 1
nd
X n
Cind i1i X d
C Y n j1
i
d j
i0
j 1
d 1
nd

Cind i1i X k
C Y nk d 1
d 1
k j
i0
j 1
n>k≥d (5.9)
12 =1-B12对Xn作运算: 12 Xn = Xn -Xn-12
对季度波动,
4 Xn =(1-B4) Xn = Xn -Xn-4
消除数据中的季节性影响。鲍克斯—詹金斯季节模
Φp(B) d 12 Xn =Θq(B)εn
（5.10）
第5章
若取p=d=q=1, (1-φ1B)(1-B)(1-B12)Xn=(1-θ1B)εn 有时随机干扰项εn也是与季节相关的。这时,可以用模
第5章
这里

k0

1 0
k 0 k 0
也就是说, 随机序列{εn}的均值为0,方差为σ2ε,且互 不相关,它代表不能用模型说明的随机因素。假定E(Xt εn)=0, t<n,即随机影响与数据值无关。p为模型的阶数。
用AR (p)
第5章 引入向后推移算子B： BkXn=Xn-k, BkC=Ck=0, 1, …; C为常数
(1) 对任一n,E(Xn)=C,C是与n (2) 对任意的n和k, E［(Xn+k-C)(Xn-C)］=γk 其中γk与n无关。 γk称为时间序列{Xn}的自协方差函数,ρk= γk /γ0称为自相 关函数。平稳性定义中的两条也就是说时间序列的均值和 自协方差函数不随时间的变化而变化。显然,
γ-k =γk, ρ-k=ρk, k≥0