专项测试(3)椭圆离心率—高考二轮解析几何选填题(解析几何篇)专项测试(解析版)

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高考二轮解析几何选填题专项测试(3)——椭圆离心率
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(2020·山东济南高三期中)已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的上顶点为A ,左、右两焦点分别为1F 、
2F ,若12AF F △为等边三角形,则椭圆C 的离心率为( )
A .
1
2
B .
2
C .
13
D .
3
【答案】A
【分析】由题意得出1212AF AF F F ==,可得出2a c =,从而可求出椭圆C 的离心率. 【详解】设椭圆C 的焦距为2c ,由于12AF F △为等边三角形,则12
1
22AF AF AF AF a ⎧=⎪⎨
+=⎪⎩,
12AF AF a ∴==,由题意可得2a c =,因此,椭圆C 的离心率为
1
2
c a =. 2.(2020·长沙市·湖南师大附中高三)若1F ,2F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上一点,当12PF PF ⊥,且
1230PF F ∠=︒,则椭圆的离心率为( )
A 1
B
C 1
D 【答案】C
【分析】根据题意可知1290F PF ∠=︒,2160PF F ∠=︒,12||2F F c =,求得1||PF 和2||PF ,进而利用椭圆定义建立等式,求得a 和c 的关系,则离心率可得.
【详解】依题意可知1290F PF ∠=︒,12||2F F c =,1230PF F ∠=︒,112PF F F ∴=
=,
21212PF F F c =
=,由椭圆定义可知1221)PF PF a c +==,1c
e a
∴==. 3.(2020·河南洛阳高三)若椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2,线段F 1F 2被抛物线
22(0)y bx b =>的焦点分成5:3的两段,则此椭圆的离心率为( )
A .
1617
B
C .
45
D
【答案】D
【分析】先求出抛物线的焦点坐标,依据条件列出比例式,得到,b c 的关系式,进而求得离心率.
【详解】由题意,椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点坐标分别为12(,0),(,0)F c F c -,抛物线22(0)
y bx b =>的焦点坐标为(,0)2b F ,因为线段F 1F 2被抛物线22y bx =的焦点分成5:3的两段,可得
5232
b c b c +
=-,解得2c b =,又由222a b c =+,可得2254c a =
,所以c e a =
==
【点睛】求解椭圆的离心率的三种方法:
1、定义法:通过已知条件列出方程组,求得,a c 得值,根据离心率的定义求解离心率e ;
2、齐次式法:由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程,然后转化为关于e 的一元二次方程求解;
3、特殊值法:通过取特殊值或特殊位置,求出离心率.
4.(2021·全国高三专题练习)如图,已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,P 为
椭圆C 上一点,212PF F F ⊥,直线1PF 与y 轴交于点Q ,若||4
b
OQ =
,则椭圆C 的离心率为( )
A

2
B
C .
12
D .
23
【答案】B
【分析】由题可得212OQ PF =,代入点P 的横坐标x c =可得2b y a =,则有2
24
b b
a =,解得2a
b =,即
可由此求出离心率.
【详解】设2F 的坐标为(,0)c ,由2//OQ PF ,可得212OQ PF =,代入点P 的横坐标x c =,有22
221c y
a b
+=,
可得2b y a =,则有224b b a =,得2a b =,则椭圆C
的离心率为22
c
e a a b ==
==
5.(2021·湖南株洲市·高三一模)已知ABCDEF 为正六边形,若A 、D 为椭圆W 的焦点,且B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上,则椭圆W 的离心率为( ) A
1 B
1
C
D
【答案】A
【分析】设正六边形ABCDEF 的边长为1,则1c OA ==
,由21AF FD a +==a ,从而可得椭圆的离心率.
【详解】设正六边形ABCDEF 的边长为1,如图,由A 、D 为椭圆W 的焦点,则在椭圆中,1c OA == 由B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上,则在直角三角形ADF
中,DF =
==
由椭圆的定义可得:21AF FD a +==
a =
,所以1c e a ===
6.(2021·浙江高三学业考试)如图,椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为,,F A B 分别为椭圆的上、下顶
点,P 是椭圆上一点,//,||||AP BF AF PB =,记椭圆的离心率为e ,则2e =( )
A .
2
B C .
12
D 【答案】B
【分析】首先求直线AP 方程,并求点P 的坐标,根据22
2PB AF a ==,整理为关于,a c 的齐次方程,
再求2e .
【详解】()()0,,,0B b F c -,则BF b k c
=
,所以直线:b
AP y x b c =+,与椭圆方程联立
()2
2
2
2
20a c x a cx ++=,所以点P 的横坐标是222
2a c x a c =-+,3
22b y a c =-+,即2322222,a c b P a c
a c ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,2
2
232
2
222222a c b PB a b a a c a c ⎛⎫⎛⎫=⇒+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
,整理为:6244264321c a c a c a --+=,两边同时除以
6a 得:64243210e e e --+=,()()242
1410e e e -+-=,210e -≠,所以42410e e +-=,得
2e =
2e =(舍). 7.(2021·全国高三专题练习)设椭圆C :22
214
x y a +=(2a >)的左、右焦点分别为1F ,2F ,
直线l :y x t =+交椭圆C 于点A ,B ,若1F AB 的周长的最大值为12,则C 的离心率为( )
A B C .
3
D .
59
【答案】B
【分析】先利用椭圆的定义求出1F AB 的周长的最大值可得a 的值,根据椭圆方程即可求,b c 得值,进而可求离心率.
【详解】1F AB 的周长等于112222AB AF BF AB a AF a BF ++=+-+-()224a AB AF BF =+-+,因为
22AF BF AB +≥当且仅当2,,A B F 三点共线时等号成立,所以()22444a AB AF BF a AB AB a +-+≤+-=,
即1F AB 的周长的最大为4a ,所以412a =,解得:3a =,由椭圆的方程可得:24b =,所以
c ===C 的离心率为c e a =
=
, 【点睛】求椭圆离心率的方法:
(1)直接利用公式c e a =;(2)利用变形公式e =;
(3)根据条件列出关于,a c 的齐次式,两边同时除以2a ,化为关于离心率的方程即可求解.
8.(2020·安徽马鞍山市·马鞍山二中)设F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点,P 是C 上的点,
圆2
2
2
9
a x y +=与直线PF 交于A ,B 两点,若A ,B 是线段PF 的两个三等分点,则C 的离心率为( )
A B C D 【答案】D
【分析】取AB 中点H ,椭圆另一个焦点为E ,连结PE 根据平面几何的知识、勾股定理及中位线的性质得5a d =,即可求解. 【详解】如图,
取AB 中点H ,椭圆另一个焦点为E ,连结PE .
A 、
B 三等分线段PF ,H ∴也是AB 中点,
即OH AB ⊥ 设OH d =,则2PE d =,22PF a d =-,
3
a d
AH -=,在Rt OHA 中,222OA OH AH =+,解得5a d =.
在Rt OHF 中,45FH a =
,5a OH =,OF c =,由222OF OH FH =+,化简得221725a c =,c a =.
即C . 二、不定项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,全对得5分,对而不全得3分,否则得0分).
9.(2020·云南高三期中)椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>,1F ,2F 分别为左、右焦点,1A ,2A 分别为左、
右顶点,P 为椭圆上的动点,且12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥恒成立,则椭圆C 的离心率可能为( ) A .
1
2
B .
22
C .
33
D .
3 【答案】AC
【分析】设()00,P x y ,1(,0)F c -,2(,0)F c ,则()100,PF c x y =---,()200,PF c x y =--,
()100,PA a x y =---,()200,PA a x y =--,再由12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥可得2230a c -≥,从而可求
出离心率的范围
【详解】设()00,P x y ,1(,0)F c -,2(,0)F c ,则()100,PF c x y =---,()200,PF c x y =--,
()100,PA a x y =---,()200,PA a x y =--.因为22
2212120022PF PF PA PA x y a c ⋅+⋅=+--
2
2
22220
0222b x b x a c a ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭
22
2222022330c x a c a c a =+-≥-≥恒成立,所以离心率3c e a =≤.
10.(2020·广西南宁市·南宁三中)已知椭圆C :22
221x y a b
+=(0a b >>)的左右焦点分别1F 、2F ,过1F 且
斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点,若12PF F △为直角三角形,则该椭圆C 的离心率e =( ).
A 1
B .3
C 2
D .3
【答案】CD
【分析】分两类:212
PF F π
∠=和122
F PF π
∠=
,设22PF =,由1PF 的斜率求得12PF F △中其他两边,
得2,2a c ,即可得离心率.
【详解】当212
PF F π
∠=
时,设22PF =,则由于12tan 2PF F ∠=,∴121F F =,1PF =

1222a PF PF =+=,1221c F
F ==,∴椭圆C 的离心率为222c c e a a ====,
当122
F PF π
∠=
时,设22PF =,则由于12tan 2PF F ∠=,∴11PF =,12F F =
∵1223a PF PF =+=,122c F F ==,∴椭圆C 的离心率为22c c e a a =
==
11.(2020·湖北武汉市·高三)已知椭圆()22
22:10x y M a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,若椭圆M
与坐标轴分别交于A ,B ,C ,D 四点,且从1F ,2F ,A ,B ,C ,D 这六点中,可以找到三点构成一个直角三角形,则椭圆M 的离心率的可能取值为( )
A .
2
B .
2
C .
1
2
D .
1
2
【答案】BC
【分析】结合椭圆的对称性,只需要考虑三种情况,即以D 、C ,2F 作为三角形的三个顶点;以C 、1F 、
2F 作为三角形的三个顶点或以C 、A 、2F 作为三角形的三个顶点,分别根据图形列出关于以a 、b 、c 的
齐次式,化简求离心率.
【详解】①如图,若以D 、C ,2F 作为三角形的三个顶点,则2DC CF ⊥,由勾股定理可得,
()()2
2
22a
b a a
c ++=+,由222b a c =-,可得220c ac a +-=,即210e e +-=,因为01e <<,解得
e =

②如图,若以C 、1F 、2F 作为三角形的三个顶点,则12CF CF ⊥,故245OCF ∠=︒,则2
c e a =
=

③如图,若以C 、A 、2F 作为三角形的三个顶点,
则22CF AF ⊥,245CF O ∠=︒,则2
c e a =
=

12.(2020·的椭圆为“黄金椭圆”.如图,已知椭圆C :22
221(0)x y a b a b
+=>>,12,A A 分别为左、右顶点,1B ,2B 分别为上、下顶点,1F ,2F 分别为左、右焦点,P 为椭圆上一点,则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有( )
A .2
112212A F F A F F ⋅= B .11290F B A ∠=︒
C .1PF x ⊥轴,且21//PO A B
D .四边形221AB A B 的内切圆过焦点1F ,2F
【答案】BD
【分析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标,对于A ,根据椭圆的基本性质求出离心率判断A ;对于B ,根据勾股定理以及离心率公式判断B ;根据21PO A B k k =结合斜率公式以及离心率公式判断C ;由四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 得出内切圆的半径为c
,进一步得出ab = D.
【详解】∵椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>,∴121212(,0),,0),(0,),(0,),(,0),(,)(0A a A a B b B b F c F c ---
对于A ,若2
112212A F F A F F ⋅=,则22
()(2)a c c -=,∴2a c c -=,∴1
3
e =
,不满足条件,故A 不符合条件;对于B ,11290F B A ︒
∠=,∴222
211112A F B F B A =+∴2222
()a c a a b +=++,∴220c ac a +-=
∴210e e +-=,
解得e =
12
e =(舍去),故B 符合条件;对于C ,1PF x ⊥轴,且21//PO A B ,
∴2
,
b
P c a
⎛⎫
- ⎪⎝

∵21PO A B k k =∴2
b c a
b a =--,解得b
c =∵222a b c =+
,∴a =
∴2c e a ===
,不满足题意,故C 不符合条件;对于D ,四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c
,∴ab =422430c a c a -+=,∴42310e e -+=
,解得2e =
(舍去)或232e =
,∴1
2
e =,故D 符合条件. 三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在横线上)
13.(2020·四川成都市·成都七中高三)已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>,左焦点(,0)F c -,右顶点(,0)A a ,
上顶点(0,)B b ,满足0FB AB =,则椭圆的离心率为____________.
【答案】
2
【分析】利用数量积的坐标公式计算可得答案.
【详解】由0FB AB =可得,()(),,0c b a b ⋅-=,即222ac b a c ==-,则210e e +-=
,解得12
e =
14.(2020·江苏镇江市·高三期中)椭圆C :22
221x y a b
+=()0a b >>,以原点为圆心,半径为椭圆C 的半
焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切,则椭圆C 的离心率为________.
【答案】
1
2
【分析】由题意画出图形,利用等面积法可得关于a ,b ,c 的等式,结合隐含条件即可求得椭圆的离心率. 【详解】如图所示,过点O 作22OM A B ⊥,则290OMA ∠=︒,
由题意可得,
222211
22
OB OA A B OM ⋅=⋅,即a b c ⋅=,又由222a b c =+可得, ()()2222222a a c a a c c -=+-,整理可得442230a c a c +-=,因为c
e a
=,所以42310e e -+=,解得
232e =
,因为01e <<,所以1
2
e =
. 15.(2020·沙坪坝区·重庆八中高三)如图,过原点O 的直线AB 交椭圆C :22
221x y a b
+=(a >b >0)于A ,
B 两点,过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ,AQ 分别交椭圆
C 于点P ,Q ,连接BQ 交AP 于一点M ,若3
4
AM AP =,则椭圆C 的离心率是________.
【分析】设11(,)A x y ,22(,)Q x y ,根据已知条件得B 、P 、M 的坐标,AB AQ ⊥、B ,M ,Q 三点共线,
211211y y x x x y -=--以及1212y y x x +=+114y x ,由A ,Q 在椭圆上有22
2
1222212y y b x x a
-=--,联立所得方程即可求离心率. 【详解】设11(,)A x y ,22(,)Q x y ,则11(,)B x y --,11(,)P x y -,11,2y M x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭,由AB AQ ⊥,则
1212111212111y y y y y x x x x x x y --=-⇒=--- ①,由B ,M ,Q 三点共线,则BQ BM k k =,即1212y y x x +=+11
4y x ①. 又因为2211221x y a b +=,2222221x y a b +=,即2222
1212
22
0x x y y a b --+=,
222
12
22212
y y b x x a -=--①,将①①代入①得22
14b e a =⇒==. 16.(2020·北京海淀区·人大附中高三期中)椭圆C :22221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,
点P 在椭圆上且同时满足:
①12F F P 是等腰三角形;②12F F
P 是钝角三角形;③线段12F F 为12F F P 的腰; ④椭圆C 上恰好有4个不同的点P .则椭圆C 的离心率的取值范围是______.
【答案】113⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】由已知12F F P 是以12F F 为腰的等腰三角形,即点P 在以1F 为圆心,2c 为半径的圆上,结合圆与椭圆有两个交点,及12PF F ∠为钝角,结合余弦定理建立关于,a c 的不等式,解不等式即可求得结果. 【详解】如图,根据椭圆的对称性知,点P 及关于x 轴,y 轴,原点对称的其它3点,即为椭圆C 满足条件的4个不同的点.根据题意可知12F F P 是以12F F ,1F P 为两腰的等腰三角形,故1122F F F P c ==,即点P 在以1F 为圆心,12F F 为半径的圆上,由题知以1F 为圆心,2c 为半径的圆与椭圆有两个交点,即可存在两个满足条件的等腰12F F P ,此时必有11F P AF >,即2c a c >-,即3a c <,所以离心率13
e >
; 又12PF F ∠为钝角,则12os 0c PF F <∠,利用余弦定理知222
1122||||||F P F F F P <+,即
222(2)(2)(22)c c a
c <+-,整理得2220c ac a +-<
,两边同除以2a 得,2210e e +-<,解得:
01e <<
综上,可知椭圆C 的离心率的取值范围是
1
13
e <<。

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