专项测试(3)椭圆离心率—高考二轮解析几何选填题(解析几何篇)专项测试(解析版)

高考二轮解析几何选填题专项测试（3）——椭圆离心率
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2020·山东济南高三期中）已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的上顶点为A ，左､右两焦点分别为1F ､
2F ，若12AF F △为等边三角形，则椭圆C 的离心率为（ ）
A ．
1
2
B ．
2
C ．
13
D ．
3
【答案】A
【分析】由题意得出1212AF AF F F ==，可得出2a c =，从而可求出椭圆C 的离心率. 【详解】设椭圆C 的焦距为2c ，由于12AF F △为等边三角形，则12
1
22AF AF AF AF a ⎧=⎪⎨
+=⎪⎩，
12AF AF a ∴==，由题意可得2a c =，因此，椭圆C 的离心率为
1
2
c a =. 2．（2020·长沙市·湖南师大附中高三）若1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，当12PF PF ⊥，且
1230PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）
A 1
B
C 1
D 【答案】C
【分析】根据题意可知1290F PF ∠=︒，2160PF F ∠=︒，12||2F F c =，求得1||PF 和2||PF ，进而利用椭圆定义建立等式，求得a 和c 的关系，则离心率可得.
【详解】依题意可知1290F PF ∠=︒，12||2F F c =，1230PF F ∠=︒，112PF F F ∴=
=，
21212PF F F c =
=，由椭圆定义可知1221)PF PF a c +==，1c
e a
∴==. 3．（2020·河南洛阳高三）若椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，线段F 1F 2被抛物线
22(0)y bx b =>的焦点分成5:3的两段，则此椭圆的离心率为（ ）
A ．
1617
B
C ．
45
D
【答案】D
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，依据条件列出比例式，得到,b c 的关系式，进而求得离心率.
【详解】由题意，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点坐标分别为12(,0),(,0)F c F c -，抛物线22(0)
y bx b =>的焦点坐标为(,0)2b F ，因为线段F 1F 2被抛物线22y bx =的焦点分成5:3的两段，可得
5232
b c b c +
=-，解得2c b =，又由222a b c =+，可得2254c a =
，所以c e a =
==
【点睛】求解椭圆的离心率的三种方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ；
2、齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；
3、特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
4．（2021·全国高三专题练习）如图，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，P 为
椭圆C 上一点，212PF F F ⊥，直线1PF 与y 轴交于点Q ，若||4
b
OQ =
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A
．
2
B
C ．
12
D ．
23
【答案】B
【分析】由题可得212OQ PF =，代入点P 的横坐标x c =可得2b y a =，则有2
24
b b
a =，解得2a
b =，即
可由此求出离心率.
【详解】设2F 的坐标为(,0)c ，由2//OQ PF ，可得212OQ PF =，代入点P 的横坐标x c =，有22
221c y
a b
+=，
可得2b y a =，则有224b b a =，得2a b =，则椭圆C
的离心率为22
c
e a a b ==
==
5．（2021·湖南株洲市·高三一模）已知ABCDEF 为正六边形，若A 、D 为椭圆W 的焦点，且B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则椭圆W 的离心率为（ ） A
1 B
1
C
D
【答案】A
【分析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，则1c OA ==
，由21AF FD a +==a ，从而可得椭圆的离心率.
【详解】设正六边形ABCDEF 的边长为1，如图，由A 、D 为椭圆W 的焦点，则在椭圆中，1c OA == 由B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则在直角三角形ADF
中，DF =
==
由椭圆的定义可得：21AF FD a +==
a =
，所以1c e a ===
6．（2021·浙江高三学业考试）如图，椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的右焦点为,,F A B 分别为椭圆的上､下顶
点，P 是椭圆上一点，//,||||AP BF AF PB =，记椭圆的离心率为e ，则2e =（ ）
A ．
2
B C ．
12
D 【答案】B
【分析】首先求直线AP 方程，并求点P 的坐标，根据22
2PB AF a ==，整理为关于,a c 的齐次方程，
再求2e .
【详解】()()0,,,0B b F c -，则BF b k c
=
，所以直线:b
AP y x b c =+，与椭圆方程联立
()2
2
2
2
20a c x a cx ++=，所以点P 的横坐标是222
2a c x a c =-+，3
22b y a c =-+，即2322222,a c b P a c
a c ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，2
2
232
2
222222a c b PB a b a a c a c ⎛⎫⎛⎫=⇒+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
，整理为：6244264321c a c a c a --+=，两边同时除以
6a 得：64243210e e e --+=，()()242
1410e e e -+-=，210e -≠，所以42410e e +-=，得
2e =
2e =（舍）. 7．（2021·全国高三专题练习）设椭圆C ：22
214
x y a +=(2a >)的左､右焦点分别为1F ，2F ，
直线l ：y x t =+交椭圆C 于点A ，B ，若1F AB 的周长的最大值为12，则C 的离心率为（ ）
A B C ．
3
D ．
59
【答案】B
【分析】先利用椭圆的定义求出1F AB 的周长的最大值可得a 的值，根据椭圆方程即可求,b c 得值，进而可求离心率.
【详解】1F AB 的周长等于112222AB AF BF AB a AF a BF ++=+-+-()224a AB AF BF =+-+，因为
22AF BF AB +≥当且仅当2,,A B F 三点共线时等号成立，所以()22444a AB AF BF a AB AB a +-+≤+-=，
即1F AB 的周长的最大为4a ，所以412a =，解得：3a =，由椭圆的方程可得：24b =，所以
c ===C 的离心率为c e a =
=
， 【点睛】求椭圆离心率的方法：
（1）直接利用公式c e a =；（2）利用变形公式e =；
（3）根据条件列出关于,a c 的齐次式，两边同时除以2a ，化为关于离心率的方程即可求解.
8．（2020·安徽马鞍山市·马鞍山二中）设F 是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点，P 是C 上的点，
圆2
2
2
9
a x y +=与直线PF 交于A ，B 两点，若A ，B 是线段PF 的两个三等分点，则C 的离心率为（ ）
A B C D 【答案】D
【分析】取AB 中点H ，椭圆另一个焦点为E ，连结PE 根据平面几何的知识、勾股定理及中位线的性质得5a d =，即可求解. 【详解】如图，
取AB 中点H ，椭圆另一个焦点为E ，连结PE .
A 、
B 三等分线段PF ，H ∴也是AB 中点，
即OH AB ⊥ 设OH d =，则2PE d =，22PF a d =-，
3
a d
AH -=，在Rt OHA 中，222OA OH AH =+，解得5a d =.
在Rt OHF 中，45FH a =
，5a OH =，OF c =，由222OF OH FH =+，化简得221725a c =，c a =.
即C . 二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全对得5分，对而不全得3分，否则得0分）．
9．（2020·云南高三期中）椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>，1F ，2F 分别为左、右焦点，1A ，2A 分别为左、
右顶点，P 为椭圆上的动点，且12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥恒成立，则椭圆C 的离心率可能为（ ） A ．
1
2
B ．
22
C ．
33
D ．
3 【答案】AC
【分析】设()00,P x y ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，则()100,PF c x y =---，()200,PF c x y =--，
()100,PA a x y =---，()200,PA a x y =--，再由12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥可得2230a c -≥，从而可求
出离心率的范围
【详解】设()00,P x y ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，则()100,PF c x y =---，()200,PF c x y =--，
()100,PA a x y =---，()200,PA a x y =--．因为22
2212120022PF PF PA PA x y a c ⋅+⋅=+--
2
2
22220
0222b x b x a c a ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭
22
2222022330c x a c a c a =+-≥-≥恒成立，所以离心率3c e a =≤．
10．（2020·广西南宁市·南宁三中）已知椭圆C ：22
221x y a b
+=(0a b >>)的左右焦点分别1F 、2F ，过1F 且
斜率为2的直线交椭圆E 于P 、Q 两点，若12PF F △为直角三角形，则该椭圆C 的离心率e =（ ）.
A 1
B ．3
C 2
D ．3
【答案】CD
【分析】分两类：212
PF F π
∠=和122
F PF π
∠=
，设22PF =，由1PF 的斜率求得12PF F △中其他两边，
得2,2a c ，即可得离心率．
【详解】当212
PF F π
∠=
时，设22PF =，则由于12tan 2PF F ∠=，∴121F F =，1PF =
∵
1222a PF PF =+=，1221c F
F ==，∴椭圆C 的离心率为222c c e a a ====，
当122
F PF π
∠=
时，设22PF =，则由于12tan 2PF F ∠=，∴11PF =，12F F =
∵1223a PF PF =+=，122c F F ==，∴椭圆C 的离心率为22c c e a a =
==
11．（2020·湖北武汉市·高三）已知椭圆()22
22:10x y M a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆M
与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四点，且从1F ，2F ，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为（ ）
A ．
2
B ．
2
C ．
1
2
D ．
1
2
【答案】BC
【分析】结合椭圆的对称性，只需要考虑三种情况，即以D 、C ，2F 作为三角形的三个顶点；以C 、1F 、
2F 作为三角形的三个顶点或以C 、A 、2F 作为三角形的三个顶点，分别根据图形列出关于以a 、b 、c 的
齐次式，化简求离心率.
【详解】①如图，若以D 、C ，2F 作为三角形的三个顶点，则2DC CF ⊥，由勾股定理可得，
()()2
2
22a
b a a
c ++=+，由222b a c =-，可得220c ac a +-=，即210e e +-=，因为01e <<，解得
e =
；
②如图，若以C 、1F 、2F 作为三角形的三个顶点，则12CF CF ⊥，故245OCF ∠=︒，则2
c e a =
=
；
③如图，若以C 、A 、2F 作为三角形的三个顶点，
则22CF AF ⊥，245CF O ∠=︒，则2
c e a =
=
；
12．（2020·的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>，12,A A 分别为左、右顶点，1B ，2B 分别为上、下顶点，1F ，2F 分别为左、右焦点，P 为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）
A ．2
112212A F F A F F ⋅= B ．11290F B A ∠=︒
C ．1PF x ⊥轴，且21//PO A B
D ．四边形221AB A B 的内切圆过焦点1F ，2F
【答案】BD
【分析】先求出椭圆的顶点和焦点坐标，对于A ，根据椭圆的基本性质求出离心率判断A ；对于B ，根据勾股定理以及离心率公式判断B ；根据21PO A B k k =结合斜率公式以及离心率公式判断C ；由四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 得出内切圆的半径为c
，进一步得出ab = D.
【详解】∵椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，∴121212(,0),,0),(0,),(0,),(,0),(,)(0A a A a B b B b F c F c ---
对于A ，若2
112212A F F A F F ⋅=，则22
()(2)a c c -=，∴2a c c -=，∴1
3
e =
，不满足条件，故A 不符合条件；对于B ，11290F B A ︒
∠=，∴222
211112A F B F B A =+∴2222
()a c a a b +=++，∴220c ac a +-=
∴210e e +-=，
解得e =
12
e =（舍去），故B 符合条件；对于C ，1PF x ⊥轴，且21//PO A B ，
∴2
,
b
P c a
⎛⎫
- ⎪⎝
⎭
∵21PO A B k k =∴2
b c a
b a =--，解得b
c =∵222a b c =+
，∴a =
∴2c e a ===
，不满足题意，故C 不符合条件；对于D ，四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F 即四边形1221A B A B 的内切圆的半径为c
，∴ab =422430c a c a -+=，∴42310e e -+=
，解得2e =
（舍去）或232e =
，∴1
2
e =，故D 符合条件． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
13．（2020·四川成都市·成都七中高三）已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，左焦点(,0)F c -，右顶点(,0)A a ，
上顶点(0,)B b ，满足0FB AB =，则椭圆的离心率为____________.
【答案】
2
【分析】利用数量积的坐标公式计算可得答案．
【详解】由0FB AB =可得，()(),,0c b a b ⋅-=，即222ac b a c ==-，则210e e +-=
，解得12
e =
14．（2020·江苏镇江市·高三期中）椭圆C ：22
221x y a b
+=()0a b >>，以原点为圆心，半径为椭圆C 的半
焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆C 的离心率为________.
【答案】
1
2
【分析】由题意画出图形，利用等面积法可得关于a ，b ，c 的等式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率. 【详解】如图所示，过点O 作22OM A B ⊥，则290OMA ∠=︒，
由题意可得，
222211
22
OB OA A B OM ⋅=⋅，即a b c ⋅=，又由222a b c =+可得， ()()2222222a a c a a c c -=+-，整理可得442230a c a c +-=，因为c
e a
=，所以42310e e -+=，解得
232e =
，因为01e <<，所以1
2
e =
. 15．（2020·沙坪坝区·重庆八中高三）如图，过原点O 的直线AB 交椭圆C ：22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）于A ，
B 两点，过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ，AQ 分别交椭圆
C 于点P ，Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若3
4
AM AP =，则椭圆C 的离心率是________.
【分析】设11(,)A x y ，22(,)Q x y ，根据已知条件得B 、P 、M 的坐标，AB AQ ⊥、B ，M ，Q 三点共线，
211211y y x x x y -=--以及1212y y x x +=+114y x ，由A ，Q 在椭圆上有22
2
1222212y y b x x a
-=--，联立所得方程即可求离心率. 【详解】设11(,)A x y ，22(,)Q x y ，则11(,)B x y --，11(,)P x y -，11,2y M x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，由AB AQ ⊥，则
1212111212111y y y y y x x x x x x y --=-⇒=--- ①，由B ，M ，Q 三点共线，则BQ BM k k =，即1212y y x x +=+11
4y x ①. 又因为2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，即2222
1212
22
0x x y y a b --+=，
222
12
22212
y y b x x a -=--①，将①①代入①得22
14b e a =⇒==. 16．（2020·北京海淀区·人大附中高三期中）椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，
点P 在椭圆上且同时满足：
①12F F P 是等腰三角形；②12F F
P 是钝角三角形；③线段12F F 为12F F P 的腰； ④椭圆C 上恰好有4个不同的点P ．则椭圆C 的离心率的取值范围是______．
【答案】113⎛⎫
⎪⎝⎭
【分析】由已知12F F P 是以12F F 为腰的等腰三角形，即点P 在以1F 为圆心，2c 为半径的圆上，结合圆与椭圆有两个交点，及12PF F ∠为钝角，结合余弦定理建立关于,a c 的不等式，解不等式即可求得结果. 【详解】如图，根据椭圆的对称性知，点P 及关于x 轴，y 轴，原点对称的其它3点，即为椭圆C 满足条件的4个不同的点．根据题意可知12F F P 是以12F F ，1F P 为两腰的等腰三角形，故1122F F F P c ==，即点P 在以1F 为圆心，12F F 为半径的圆上，由题知以1F 为圆心，2c 为半径的圆与椭圆有两个交点，即可存在两个满足条件的等腰12F F P ，此时必有11F P AF >，即2c a c >-，即3a c <，所以离心率13
e >
； 又12PF F ∠为钝角，则12os 0c PF F <∠，利用余弦定理知222
1122||||||F P F F F P <+，即
222(2)(2)(22)c c a
c <+-，整理得2220c ac a +-<
，两边同除以2a 得，2210e e +-<，解得：
01e <<
综上，可知椭圆C 的离心率的取值范围是
1
13
e <<。