圆的标准方程(2)
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求圆心为C(a, b), 半径为r的圆 的方程. (x a)2 + ( y b)2 = r2 称之为圆的标准方程.
3. 特殊位置的圆的方程: 圆心在原点: x2 + y2 = r2 (x a)2 + y2 = r2 圆心在x轴上: 圆心在y轴上: x2+ (y b)2 = r2
回答问题：
圆的标准方程
北师大版必修2
问题： (1) 求到点C(1, 2)距离为2的点的 轨迹方程. (x 1)2 + ( y 2)2 = 4 (2) 方程(x 1)2 + ( y 2)2 = 4表 示的曲线是什么？ 以点C(1, 2)为圆心， 2为半径的圆.
1.圆的定义： 平面内与定点的距离等于定长的 点的集合(轨迹)叫做圆. 2.圆的标准方程:
练习：点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4 的内部，求实数 a 的取值范围. 3 <a<1
5
例2 求满足下列条件的圆的方程： (1) 圆心在 x 轴上，半径为5，且过 点A(2， 3).
(x 6)2 + y2 = 25或(x + 2)2 + y2 = 25
(2) 过点A(3，1)和B( 1，3)， 且圆心在直线3x y 2 = 0上.
1. 说出下列圆的方程：
(1) 圆心在原点,半径为3.
(2) 圆心在点C(3, 4), 半径为7.
2. 说出下列方程所表示的圆的圆 心坐标和半径： (1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36 圆心C( 7, 4), r = 6 (2) x2 + y2 4x + 10y + 28 = 0 圆心C(2， 5), r = 1 2 + y 2 = m2 (3) (x a) 圆心C(a, 0), r = |m|
例4 (教材P76.例3) 如图表示某圆拱桥的 y 一孔圆拱的示意图. P2 P 该 圆 拱 跨 度 AB = 20m， 拱高OP = 4m，A A1 A2 O A3 A4 在建造时每隔4m需 约为3.86m 用一个支柱支撑，求 支 柱 A2P2 的 长 度 ( 精 确到0.01m).
B
x
例5 (教材P75例2)已知圆的方程 x2 + y2 = r2，求经过圆上一点M(x0， y0)的切线方程． 看书，并思考P76旁批“想一想”．
(x 2)2 + ( y 4)2 = 10 (3)求以点C(1，3)为圆心，并且和 直线3x 4y 7 = 0相切的圆的方程. (x 1)2 + (y 3)2 =
256 25
练习
求满足下列条件的圆的方程： (1) 经过点A(3，5)和B(3，7)， (x + 2)2 + y2 = 50 并且圆心在 x 轴上.
小结： 点和圆之间存在有三种位置关系： 若已知圆的半径为r，点P(x0，y0)和 圆心C 之间的距离为d，则
P在圆上 d=r (x0 a)2 +( y0 b)2 =r2 d>r (x0 a)2 +(y0 b)2 >r2 P在圆外 P在圆内 d<r (x0 a)2 +(y0 b)2 < r2
(2) 经过点A(3，5)和B(3，7)， x2 + ( y 6)2 = 10 并且圆心在 y 轴上. 3).
(3) 经过点P(5，1)，且圆心在C(8， (x 8)2 + ( y + 3)2 = 25
例3 求圆心在C(1， 2)，半径为 的 5 2 圆被x 轴所截得的弦长 . 法1(方程法) 圆的方程为 (x 1)2 + ( y + 2)2 = 20， 令y = 0，x 1 = 4，可得弦长为8. 法2(几何法) 根据半弦、半径、弦心 距组成直角三角形求(这里，弦心距等 于圆心C的纵坐标的绝对值)．
一般地，过圆(x +(y 上一点M(x0，y0)的切线方程为
2 a) 2 b)
=
2 r
(x0 a)(x a) + ( y0 b)( y b) = r2．
小结:
本课研究了圆的标准方程推导过 程，对于这个方程必须熟记并能灵活 应用. 从三道例题的解题过程，我们 不仅仅要理解和掌握解题的思想方法， 也要学会从中发现和总结出规律性的 内在联系.
5. 圆的方程的求法: ①代入法 ②待定系数法 例1(1)已知两点P1(4, 9)和P2(6, 3)，求 以P1P2为直径的圆的方程. (x 5)2 + ( y 6)2 = 10
一般情形见P82.第3题. (2) 判断点M(6, 9)、N(3, 3)、Q(5, 3) 是在圆上，在圆内，还是在圆外. M在圆上，N在圆外，Q在圆内．
作业
1. 阅读教材P75—76．
2. 教材P77练习第1—4题及P81习 题7
3. 特殊位置的圆的方程: 圆心在原点: x2 + y2 = r2 (x a)2 + y2 = r2 圆心在x轴上: 圆心在y轴上: x2+ (y b)2 = r2
回答问题：
圆的标准方程
北师大版必修2
问题： (1) 求到点C(1, 2)距离为2的点的 轨迹方程. (x 1)2 + ( y 2)2 = 4 (2) 方程(x 1)2 + ( y 2)2 = 4表 示的曲线是什么？ 以点C(1, 2)为圆心， 2为半径的圆.
1.圆的定义： 平面内与定点的距离等于定长的 点的集合(轨迹)叫做圆. 2.圆的标准方程:
练习：点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4 的内部，求实数 a 的取值范围. 3 <a<1
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例2 求满足下列条件的圆的方程： (1) 圆心在 x 轴上，半径为5，且过 点A(2， 3).
(x 6)2 + y2 = 25或(x + 2)2 + y2 = 25
(2) 过点A(3，1)和B( 1，3)， 且圆心在直线3x y 2 = 0上.
1. 说出下列圆的方程：
(1) 圆心在原点,半径为3.
(2) 圆心在点C(3, 4), 半径为7.
2. 说出下列方程所表示的圆的圆 心坐标和半径： (1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36 圆心C( 7, 4), r = 6 (2) x2 + y2 4x + 10y + 28 = 0 圆心C(2， 5), r = 1 2 + y 2 = m2 (3) (x a) 圆心C(a, 0), r = |m|
例4 (教材P76.例3) 如图表示某圆拱桥的 y 一孔圆拱的示意图. P2 P 该 圆 拱 跨 度 AB = 20m， 拱高OP = 4m，A A1 A2 O A3 A4 在建造时每隔4m需 约为3.86m 用一个支柱支撑，求 支 柱 A2P2 的 长 度 ( 精 确到0.01m).
B
x
例5 (教材P75例2)已知圆的方程 x2 + y2 = r2，求经过圆上一点M(x0， y0)的切线方程． 看书，并思考P76旁批“想一想”．
(x 2)2 + ( y 4)2 = 10 (3)求以点C(1，3)为圆心，并且和 直线3x 4y 7 = 0相切的圆的方程. (x 1)2 + (y 3)2 =
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练习
求满足下列条件的圆的方程： (1) 经过点A(3，5)和B(3，7)， (x + 2)2 + y2 = 50 并且圆心在 x 轴上.
小结： 点和圆之间存在有三种位置关系： 若已知圆的半径为r，点P(x0，y0)和 圆心C 之间的距离为d，则
P在圆上 d=r (x0 a)2 +( y0 b)2 =r2 d>r (x0 a)2 +(y0 b)2 >r2 P在圆外 P在圆内 d<r (x0 a)2 +(y0 b)2 < r2
(2) 经过点A(3，5)和B(3，7)， x2 + ( y 6)2 = 10 并且圆心在 y 轴上. 3).
(3) 经过点P(5，1)，且圆心在C(8， (x 8)2 + ( y + 3)2 = 25
例3 求圆心在C(1， 2)，半径为 的 5 2 圆被x 轴所截得的弦长 . 法1(方程法) 圆的方程为 (x 1)2 + ( y + 2)2 = 20， 令y = 0，x 1 = 4，可得弦长为8. 法2(几何法) 根据半弦、半径、弦心 距组成直角三角形求(这里，弦心距等 于圆心C的纵坐标的绝对值)．
一般地，过圆(x +(y 上一点M(x0，y0)的切线方程为
2 a) 2 b)
=
2 r
(x0 a)(x a) + ( y0 b)( y b) = r2．
小结:
本课研究了圆的标准方程推导过 程，对于这个方程必须熟记并能灵活 应用. 从三道例题的解题过程，我们 不仅仅要理解和掌握解题的思想方法， 也要学会从中发现和总结出规律性的 内在联系.
5. 圆的方程的求法: ①代入法 ②待定系数法 例1(1)已知两点P1(4, 9)和P2(6, 3)，求 以P1P2为直径的圆的方程. (x 5)2 + ( y 6)2 = 10
一般情形见P82.第3题. (2) 判断点M(6, 9)、N(3, 3)、Q(5, 3) 是在圆上，在圆内，还是在圆外. M在圆上，N在圆外，Q在圆内．
作业
1. 阅读教材P75—76．
2. 教材P77练习第1—4题及P81习 题7