一个新的分数阶超混沌系统的同步

一个新的分数阶超混沌系统的同步
张一帆;张志明;李天增
【摘要】研究分数阶超混沌Lu系统的超混沌行为,给出在不同的参数下生成超混沌的最低阶数.并从理论和数值上研究Lu系统的同步,通过计算机数值仿真证明提出方法的正确性和有效性.
【期刊名称】《兰州理工大学学报》
【年(卷),期】2016(042)002
【总页数】5页(P148-152)
【关键词】计算机仿真;超混沌系统;同步;拉普拉斯变换
【作者】张一帆;张志明;李天增
【作者单位】河南牧业经济学院自动化与控制系,河南郑州450011;河南牧业经济学院软件学院,河南郑州450046;四川理工学院理学院,四川自贡643000
【正文语种】中文
【中图分类】O175
尽管分数阶微积分已经有三百年的历史,但是其在物理和工程上的应用在近几年才引起大家的关注[1-3].许多著名系统都有分数阶动力特性[4-5],例如电介质极化[6],电极电解液极化[7],粘弹性系统[8]等等.超混沌系统在物理、生物、信息、化学和其他方面都有广泛的应用[9-12],典型的分数阶超混沌系统有Chen系ssler系统[14] 等.众所周知,超混沌的同步是非常重要但是也是困难的[15-19].迄今为止,已经有了一些控制方法比如反馈控制器、非线性控制器等[20-23].
本文研究分数阶超混沌系统动力行为及其同步.给出在不同控制参数下系统能够产生超混沌的最低阶数.把单向耦合法应用到同步分数阶系统中,利用拉普拉斯理论给出驱动系统和响应系统同步条件.数值仿真证明方法的正确性和有效性.
本文采用Caputo分数阶算子[1],其被称为光滑的分数阶算子,定义如下:
式中:m为不小于q得最小整数,且Γ为Gamma函数t.
当求分数阶微分方程的数值解时,采用修正的预校估计法[1].为了解释这个方法,首先考虑下面的分数阶微分方程：
式中为Caputo分数阶算子,q为算子的分数阶数,为微分方程的初值.
上面的微分方程(2)等价于下面的Volterra积分方程[1]：
现在令h=T/N, tn=nh (n=0,1,…,N),则上面的积分方程(3)可以被离散化为下面形式：
式中
这种近似的误差为
式中:p=min(2,1+q).
本文主要考虑四维的分数阶非线性系统
式中:α(α∈(0,1])为算子的分数阶,x=(x1(t), x2(t), x3(t), x4(t))T为系统的状态变量,x(0)=(c1, c2, c3, c4)T为初始条件,且为Caputo分数阶算子[1].
下面主要研究四维分数阶系统的超混沌行为.文献[24]通过引入状态反馈控制器构建了一个简单的四维超混沌系统,具有如下形式：
式中:a=36,b=3,c=20为系统中的常数,d为系统的控制参数.系统(10)就称为超混沌系统.通过计算机数值仿真,发现当控制参数d满足-0.35≤d≤1.30时,系统能够产生超混沌[24].
考虑超混沌系统(10)的分数阶形式：
式中:α(α∈(0,1])为算子的分数阶,a,b,c为系统中的常数,d为系统的控制参数.通过
数值仿真发现对于不同的控制参数,系统产生超混沌吸引子的最低阶数不同,结论如下：
1) 控制参数d=1.3时,对于0.645≤α<0.877系统(10)是具有周期轨道,如图1，2；而对于0.877≤α≤1系统具有超混沌吸引子,如图3，4.
2) 控制参数d=0.5时,对于0.657≤α<0.833系统(4)具有周期轨道,如图5，6；而
对于0.833≤α≤1系统具有超混沌吸引子,如图7，8.
图4 当d=1.3,α=0.95时,系统(10)关于y-z-u的超混沌吸引子
图5 当d=0.5,α=0.8时系统(10)关于x-y-z的周期轨道
图6 当d=0.5,α=0.8时系统(10)关于y-z-u的周期轨道
图7 当d=0.5,α=0.9时系统(10)关于x-y-z的超混沌吸引子
通过上面方法,能够很容易地得到分数阶系统在不同的控制参数下产生超混沌的最
低阶数.
利用单向耦合法[25-26]设计出分数阶超混沌系统的同步方法.为了区分驱动和响应系统,对驱动系统的状态变量添加下标m,对响应系统的状态变量添加下标s.驱动系统和响应系统分别定义如下.驱动系统定义为
响应系统定义为
式中:k1,k2耦合强度.下面定义驱动系统(12)和响应系统(13)之间的状态误差
e1=xs-xm, e2=ys-ym, e3=zs-zm和e4=us-um.利用响应系统(12)和驱动系统(13)的差得到误差的分数阶动力方程：
对方程(14)两边同时进行拉普拉斯变换,令
利用拉普拉斯的性质
得
sαE1(s)-sα-1e1(0)=a(E2(s)-E1(s))+E4(s)
sαE2(s)-sα-1e2(0)=-L{xse3}-L{zme1}+
(c-k1)E2(s)
sαE3(s)-sα-1e3(0)=L{xse2}+L{yme1}-bE3(s)
sαE4(s)-sα-1e4(0)=L{xse3}+L{zme1}+
(d-k2)E4(s)
方程(15)又可以写成
和
利用拉普拉斯终值定理,可得
和
在本文中假设(k1-c)*(k2-d)≠0成立.如果E2(s)和E4(s)都是有界的,即|E2(s)|≤M和|E4(s)|≤M成立,则,又由方程(20), 则.又由于吸引子的特点,存在一个正数N,使得
|ym|≤N,|zm|≤N,|xs|≤N.因此,根据方程(22),可得.最终可得).这就意味着系统(12)和(13)实现了超混沌同步.
当进行数值仿真时, 超混沌系统的参数分别取为a=36,b=3,c=20,d=1.3,算子的分数阶取为α=0.9.从图3,4可知,分数阶系统为超混沌的.仍选用修正的预校估计法进行数值求解分数阶微分方程.选取驱动系统(12)和响应系统(13)的初始值分别为xm(0)=-2, ym(0)=2, zm(0)=-1, um(0)=1和xs(0)=4, ys(0)=-4, zs(0)=5,
us(0)=-5.为得到使两超混沌系统同步的最优耦合强度k1,k2,从k1=k2=0,步长为1的连续增加进行计算机仿真.最终得到以下结论：当k1=k2<3时,两系统不能达到同步；当3≤k1=k2<200时, 两系统能够很快的完成同步；当k1=k2>200时,两系统不能完成同步.更进一步,仿真发现耦合强度k1,k2的最优值大概为100.图9显示了当k1=k2=5时系统(12)和(13)的误差函数随时间的演化曲线；图10显示了当k1=k2=100时系统(12)和(13)的误差函数随时间的演化曲线；图11显示了当k1=k2=180时系统(12)和(13)的误差函数随时间的演化曲线.从图9～11和仿真结果可知,当耦合强度k1,k2越接近100,驱动系统和响应系统达到同步的时间越少,同
步效果也越好.
本文研究分数阶超混沌系统,给出系统在不同参数下产生超混沌的最低阶数.利用单向耦合法实现了系统的同步,并给出最佳的耦合强度.数值仿真证明方法的正确性和有效性.
致谢：本文得到四川理工学院校级项目(2012PY17, 2014PY06)的资助，在此表示感谢.
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