三射线定理及其典型应用

三射线定理及其典型应用
2015年10月21日 意琦行 数海拾贝
三射线定理 如图，、、分别是从出发的三条射线，、、分别为、、，二面角（记其大小为
）满足：
三射线定理描述了异面共边的两个角的另外两边构成的角（空间斜角）与这两个角形成的二面角（空间正角）之间的数量关系，因此往往用来求二面角的大小或者空间斜角的大小．三射线定理中的基本图形又称为三面角．
证明 如图，过射线上一点作垂直于的平面，射线、分别与该平面相交于、
两点．
方法一 利用空间向量
根据已知，有
PA PB PC P ∠APC ∠BPC ∠APB αβθA −PC −B φcos θ=cos α⋅cos β+sin α⋅sin β⋅cos φ.
PC H PC PA PB M N ⋅PM −→−−−PN −→−−=(+)⋅(+)
PH −→−−HM −→−−−PH −→−−HN −→
−−−=P +⋅H 2HM −→−−−HN
−→−−−=P +HM ⋅HN ⋅cos φ,H
2
又
于是两边同除以得方法二 利用余弦定理
在三角形和三角形中分别应用余弦定理，有
两式相减得
移项整理即得．
三射线定理的记忆 可以借助两角差的余弦公式记忆，当时，三射线定理退化为两角和与差的余弦公式．当时，三射线定理变成著名的三余弦定理：接下来通过两道例题说明该定理在空间求角时的作用．
例1 （知斜求正）如图，在直角三角形中，为直角，，，、分别是、上的点，且，，将沿折起到的位置，使．求平面与平面所成锐角的余弦值．
⋅=PM ⋅PN cos θ,
PM
−→−−−PN −→
−−PM ⋅PN cos θ=cos α⋅cos β+sin α⋅sin β⋅cos φ.
MNP MNH MN 2MN 2=M +N −2⋅MP ⋅NP ⋅cos θ,
P 2P 2=M +N −2⋅MH ⋅NH ⋅cos φ,
H 2H 20=2P −2⋅MP ⋅NP ⋅cos θ+2⋅MH ⋅NH ⋅cos φ,
H 2φ=0,πφ=π2
cos θ=cos α⋅cos β.
ABC C BC =3AC =6D E AC AB DE ∥BC DE =2△ADE DE △DE A 1D ⊥CD A 1CD A 1BE A 1
解 这是一道由2012年高考北京卷理科数学第16题改编的习题．如图，在底面里分别延长和，交于（实际上就是在未折叠的三角形还原在直观图中），于是所求的锐角就是二面角的大小．
我们可以利用三面角中解决问题．令，，，，而
于是
解得
BCDE CD BE A ABC C −A −B A 1A −DE A 1∠AD =αA 1∠EA =βA 1∠CAB =θC −A −B =φA 1cos α=,cos β=,cos θ=,2√22√5√25
√=⋅+⋅⋅cos φ,25
√2√22√5√2√23√5√cos φ=.6√3
事实上，取的中点，则即为二面角的平面角．
例2（知正求斜）如图，在长方形中，，，为中点，
为线段（端点除外）上一动点．现将沿折起，使平面与平面垂直．在平面内过点作，为垂足．设，则的取值范围是_______．
解 这是2009年高考浙江卷理科数学第17题．
我们可以利用三面角解决问题．令，，，且，于是可得即
于是
其取值范围不难求得为．
接下来给出两道练习题．
练习1、如图，是半径为的球的球心，点、、在球面上，、、两两垂直，、分别是大圆弧与A A 1M ∠DME C −A −B A 1ABCD AB =2BC =1E DC F EC △AFD AF ABD ABC ABD D DK ⊥AB K AK =t t A −DKF ∠DAK =α∠FAK =β∠DAF =θD −AK −F =π2
cos ∠DAF =cos ∠DAK ⋅cos ∠FAK ,
=⋅,DA AF AK AD DF AF
AK =,AD 2DF
(,1)12
O 1A B C OA OB OC E F AB AC
的中点，则点
、在该球面上的球面距离是_______．
练习2、如图，一个正四面体和一个正四棱锥的所有棱长均为，将正四面体与正四棱锥组合起来，使得正四面体的其中一个面与正四棱锥的一个侧面重合．问得到的多面体有多少个面？
参考答案
练习1、练习2、组合体为三棱柱，有个面．
更多的内容可以参考：
《每日一题[46] 三射线定理》
《每日一题[154] 折叠中的二面角》
《每日一题[202] 又见三射线》
《每日一题[255] 代表平面—出击！》
E F 1π3
5
每日一题[46] 三射线定理
2015年3月5日 意琦行 数海拾贝
已知二面角为，，，，与成角，则异面直线与所成角的余弦值为________．
正确答案是．事实上，我们有一般的结论（三射线定理）．
如图，、、分别是从出发的三条射线，、、分别为、、，则二面角（记其大小为）满足：
证明如下：
过射线上一点作垂直于的平面，射线、分别与该平面相交于、两点，则
α−AB −β120∘CD ⊂αCD ⊥AB EF ⊂βEF AB 30∘CD EF
14
PA PB PC P ∠APC ∠BPC ∠APB αβθA −PC −B φcos θ=cos α⋅cos β+sin α⋅sin β⋅cos φ.
PC H PC PA PB M N −→−−−−→−−−→−−−→−−−−→−−−→
−−−
又
于是两边同除以得
在今天的这道试题中，应用三射线定理，有
于是所求值为．⋅PM −→−−−PN −→−−=(+)⋅(+)
PH −→−−HM −→−−−PH −→−−HN −→−−−=P +⋅H 2HM −→−−−HN −→
−−−=P +HM ⋅HN ⋅cos φ,
H 2⋅=PM ⋅PN cos θ,
PM −→−−−PN −→−−PM ⋅PN cos θ=cos α⋅cos β+sin α⋅sin β⋅cos φ.
cos θ=cos ⋅cos +sin ⋅sin ⋅cos =−,
30∘90∘30∘90∘120∘
141
4
每日一题[154] 折叠中的二面角
2015年6月22日 意琦行 数海拾贝
2015年高考浙江卷理科数学第8题（选择压轴题）：
如图，已知三角形，是的中点，沿直线将三角形折成三角形，所成二面角的平面角为，则（
）
A ．
B ．
C ．
D ．正确答案是B．
得到答案是容易的，可以取以下两种极端情形进行排除：
ABC D AB CD ACD CD A ′−CD −B A ′α∠DB ⩽α
A ′∠D
B ⩾α
A ′∠C
B ⩽α
A ′∠C
B ⩾α
A
′
当时，显然，而
，排除D；
当时，显然，而
，排除A、C．
下面证明选项B
是正确的．
如图，在平面内过作线段垂直于，且
，亦为的中点．设在折叠过程中，的对应点为，则根据二面角的平面角的定义有．若线段与线段重合，那么就有，命题成立；
若线段不于线段重合，那么和分别位于直线两侧，于是和分别位于平面两侧．进而在三角形和三角形中，且，于是．而在三角形和三角形中，且，于是，于是命题成立．
注 也可以利用三射线定理
结合，有
α=π∠DB =∠ADB =πA ′∠CB =∠ACB <πA ′α=0∠DB =∠DB >0A ′A ′′∠CB =∠CB >0A ′A ′′ABC D MN CD AB =MN D MN M M ′α=∠DN M ′MN AB ∠DN =∠DB M ′A ′MN AB A B MN A ′B DN M ′DB A ′DB M ′D =D M ′A ′B >B A ′M ′∠DB >∠DB A ′M ′DB M ′DN M ′DN =DB B >N M ′M ′∠DB >∠DN M ′M ′cos ∠DB =cos ∠DC cos ∠BDC +sin ∠DC sin ∠BDC cos α,A ′A ′A ′∠DC +∠BDC =πA ′1+cos ∠DB =(1+cos α)⋅sin ∠DC sin ∠BDC ,
A ′A
′
因此
考虑到余弦函数在内单调递减，于是命题成立．cos ∠DB ⩽cos α,
A ′[0,π
]
每日一题[202] 又见三射线
2015年8月9日 意琦行 数海拾贝
2014年全国高中数学联赛山东省预赛第5题：
已知直角三角形的两条直角边，，为斜边上一点，将将此三角形折成直二面角，当时，二面角的值为_______
．
正确答案是．
如图，在平面内过作直二面角的棱的垂线交边于，则．
于是在平面中过作二面角的棱的垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角，且．根据每日一题[46] 三射线定理，有
于是
ABC AC =2BC =3P AB CP A −CP −B AB =7√P −AC −B arctan 2√PCB P A −CP −B CP BC E EP ⊥ACP PAC P P −AC −B AC D DE ∠PDE P −AC −B tan ∠PDE =EP PD
cos ∠ACB =cos ∠ACP ⋅cos ∠BCP ,
+−
222
解得
如图．
因此所求二面角的值为．=cos ∠ACP ⋅sin ∠ACP ,A +B −A C 2C 2B 22⋅AC ⋅BC
∠ACP =,π4P −AC −B arctan 2√
每日一题[255] 代表平面—出击！
2015年10月1日 意琦行 数海拾贝
已知平面和相交形成的四个二面角中的其中一个为
，则在空间中过某定点与这两个平面所成的线面角均为的直线条数为_______．
正确答案是．
解 我们知道，研究空间的角度问题时，平面与其他空间图形所成的角度往往依托其法线进行计算．换句话说，平面的法线是平面方向的代表．
在这个问题中，设平面与平面过点的法线分别为、，则．而此时条件直线与两个平面所成的线面角为可以转化为直线与直线、所成的角均为．
如图，平面上的两条直线（所成角为）的平分线——为互相垂直的两条直线——在运动过程中始终保持与两条直线所成的角相等，且该
角的取值范围分别为以及．因此当，而与两条直线所成角均为时对应的直线为条．
αβ60∘P 30∘l 3αβP m n ⟨m ,n ⟩=60∘l 30∘l m n 60∘θ[,]θ2π2[,]π−θ2π2
θ=60∘60∘3
下面给出一个练习题．将一个水平放置的正方形绕直线向上转动到，再将所得正方形绕直线向上转动到，则平面与平面所成二面角的正弦值
是_______．（）提示 可以化为法线问题后应用三射线定理，可以参考 每日一题[46]三射线定理，以及 每日一题[202] 又见三射线定理．ABCD AB 45∘ABC 1D 1ABC 1D 1BC 145∘B A 2C 1D 2B A 2C 1D 2ABCD 3√2。