第2章微分方程及其应用

第2章 微分方程及其应用
第一节 微分方程的概念
第二节 一阶微分方程 第三节 二阶常系数线性微分方程 第四节 微分方程应用举例
2.1 微分方程的概念
2.1.1 微分方程的定义 定义：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程．特 别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，这时的微分方 ． 程就称为常微分方程
dy f ( x ) d x 其中g ( y ) 0 g ( y)
（2）两边积分：

dy g ( y)

f ( x )dx
（3）计算上述不定积分，得通解.
例2 求 y ' xy 0 的通解．
解
方程变形为
分离来自百度文库量得
dy xy , dx
dy xd x y 0 , y dy y xd x ,
对上述方程分离变量得
dv dt , mg kv m
两边积分得
dv dt mg kv m ，
可得
1 t ln | mg kv | C1 k m
k
R kv
，
P mg
整理得
t mg 1 kC1 m v Ce C e . k k
所以，函数 y C1e x +C2 e 2 x 是所给微分方程的解．又因 为， 这个解中有两个独立的任意常数， 与方程的阶数相 同，所以它是所给微分方程的通解．
由初始条件 y (0) 0 ， 我们得C1 C 2 0 ， 由初始条件
y(0) 1，得C1 2C 2 1 . 所以C 2 1 ，C1 1 ．于是，满
x 2x 足所给初始条件的特解为 y e e ．
设 定义1 （线性相关，线性无关） 函 数 y1 ( x ), y 2 ( x ) 是定义在区间 (a, b) 内的函数，若存在两个不全为零的数
k1 , k 2 ，使得对于 (a, b) 内的任一 x 恒有
k1 y1 k 2 y 2 0
y cos xdx sin x C1 ,
y (sin x C1 )dx cos x C1 x C2 ,
1 y ( cos x C1 x C2 )dx sin x C1 x 2 C2 x C3 . 2
2. y f ( x, y) 型的微分方程 .
2
这类方程的解法是变量替换法.其解法步骤如 下:
令
u y dy du , 则y ux, ux , x dx dx
代入原方程,得
du ux f u dx
du dx f u u x
分离变量,得
两边积分,得

du dx f u u x
解出
u , 再将 u
方程的特点：方程右端不显含未知函数 y . 方程的解法：令 y p (x) ,则 y p(x) 代入方程得
p ( x ) f ( x , p ( x )) .
这是一个关于自变量 x 和未知函数 p (x) 的一阶微 分方程,若可以求出其通解 ( x, C1 ) ,则 y ( x, C1 ) 再积分一次就能得原方程的通解.
y 形如 dy f( ) dx x
的微分方程,称为齐次微分方程. 2 ( xy y 2 )dx ( x 2xy)dy 0 是齐次 例如:微分方程 方程,因此方程可化为
y y 2 dy xy y x x y 2 f dx x 2 xy y x 1 2 x
x 2 y 2 Cx 2 (C为任意常数）。
2.2.3 一阶线性微分方 程
定义 形如 dy P( x) y Q( x) 的方程,称为一阶线性 dx 方程,其中 P( x), Q( x) 为已知函数.
当 Q( x) 0 时,有 程； 当 Q ( x) 0 时,称 程.
dy P( x) y 0 称其为齐次线性方 dx dy P( x) y Q( x) 为非齐次线性方 dx
两边积分得 求积分得
1 2 ln | y | x C1 , 2
1 x 2 C1 2
1 x2 2
所以 即
| y | e
e C1 e
Ce
1 x2 2
,
y eC1 e
1 x2 2
1 x2 2
(C eC1 ) ,
方程通解为 y Ce
（ C 为任意常数）.
例 3 设降落伞从跳伞塔下落，所受空气阻力与速度 成正比，降落伞离开塔顶 (t 0) 时的速度为零．求降落 伞下落速度与时间 t 的函数关系.
解 设降落伞下落 速度为 v(t ) 时伞所受空气阻力为
kv （负号表示阻力与运动方向相反， k 为常数） ．另外，
伞在下降过程中还受重力 P mg 作用，故由牛顿第二定律 dv mg kv 且有初始条件：v |t 0 0 于是， 所给问题归 dt 结为求解初值问题 dv m mg kv, dt v |t 0 0, 得m
一阶常微方程的初始条件为 y ( x 0 ) y 0 ,其中 x 0 ，
y 0 是两个已知数.
二阶微分方程的初始条件为 y ( x 0 )
y0 , y ( x 0 ) y 0 .
例1
验证函数 y C1e x C2 e 2 x ( C1 , C2 为任意常数)
为二阶微分方程 y 3 y 2 y 0 的通解，并求该方程满 足初始条件 y (0) 0, y (0) 1的特解．
成立，则称函数 y1 , y2 在(a, b) 内线性相关，否则称为线性 无关．
y y1 , y2 线性相关的充分必要条件是 1 在( a, b) 区间内 y2 y 恒为常数． 若 1 不恒为常数， y1 , y2 线性无关． y1 则 当 y2
与 y 2 线性无关，函数 y C1 y1 C 2 y 2 中含有两个独立 的任意常数 C1 和C2 ．
微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高 阶数定义为该微分方程的阶数．
线性微分方程：当微分方程中所含的未知函数及其各阶 导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程．在线性 微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则 称这样的微分方程为常系数线性微分方程．
2.1.2 微分方程的解： 定义：如果将函数 y y ( x ) 代入微分方程后能使方程成
所以,齐次方程（2）的通解为
,即
y Cx
ln y ln Cx
(3)
将通解中的任意常数 C 换成待定函数C (x ) ,即令
y C ( x ) x 为方程（ 1 ）的通解 , 将其代入方程 (1) 得
xC '( x ) ln x .于是
所以
1 C ( x) ln x , x ln x 1 C ( x) dx ln xd ln x (ln x) 2 C , x 2
为恒等式，这个函数就称为该微分方程的解． 微分方程的解有两种形式：一种不含任意常数；一种 含有任意常数．如果解中包含任意常数，且独立的任意常 数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为常微分方程 的通解，不含有任意常数的解，称为微分方程的特解．
初始条件： 用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值 作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件．
例4
求方程 2 xyy 1 ( y) 2 的通解.
解 因为方程 2 xyy 1 ( y) 2 不显含未知函数 y,所 以令 y p (x) ,则 y( x) p( x) ，将其代入所给方程,得
解
y C1e x C2 e 2 x , y C1e x 2C2e2 x ,
y C1e x 4C2e2 x ,
将 y, y , y 代入方程 y 3 y 2 y 0 左端，得
C1e x 4C2 e 2 x 3(C1e x 2C2 e 2 x ) 2(C1e x C2 e 2 x ) ( C 1 3C 1 2 C 1 ) e x ( 4 C 2 6 C 2 2 C 2 ) e 2 x 0 ,
y x ln x 例1 求方程 y 的通解. x 1 y y ln x 解 原方程变形为 x 此方程为一阶线性非齐次方程.
首先对(1)式所对应的齐次方程求解 1 y y 0 x dy d x 方程(2)分离变量得 y x
(1)
(2)
两边积分得 ln y ln x ln C
求积分得
lu sin u lux luC 即 sinu Cx(C为任意常数）
例: 求 y dx xdy y x 解 原方程可化为
2 2
2


0
的通解.
dy y y 1 , dx x x y 令u , 即y ux, 代入方程，得 x du du dx ux u 1 u 2 ,即 , 2 dx x 1 u 积分，得u 1 u 2 Cx, 将u y y 回代，得通解为 x
将所求的C (x) 的代入式(3),得原方程的通解为
x y (ln x ) 2 Cx . 2
程
1. y ( n ) f ( x) 型的微分方程
方程解法：通过 n 次积分就可得到方程的通解.
例3 求方程 y ( 3) cos x 的通解 .
解 因为 y ( 3) cos x ,所以
p( x ) dx dx C . 两边积分得 C ( x) Q( x)e
将 C (x) 代入 y C ( x )e
p( x ) dx
得通解为
Q( x)e p( x )dx dx C e _ p( x )dx . y 上式称为一阶线性非齐次程的通解公式.
mg mg 0 Ce ， C 由初始条件得 0 即 ， 故所求特解为 k k k t mg v (1 e m ) . k
由此可见，随着 t 的增大，速度 v 逐渐变大且趋于 mg mg 常数 ，但不会超过 ，这说明跳伞后，开始阶段 k k 是加速运动，以后逐渐趋于匀速运动．
2.2.2 齐次微分方程
一阶线性微分方程的解法
（1） 先求齐次线性方程的解 dy P( x)dx , 分离变量得 y
两边积分得
即
y Ce
ln | y | P( x)dx C1 ,
.
P ( x ) dx
（2）常数变易法求非齐次线性方程的通解 P ( x )dx 令 y C ( x)e 为非齐次线性方程的解, 代入得 P ( x ) dx P ( x )dx . C ( x)e Q( x) ，即C( x) Q( x)e
上述求解方法称为常数变易法,用常数变易法求一阶非齐 次线性方程的通解的步骤为：
（1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通 解 . （2）根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性 方程的解(将所求出的齐次方程的通解中的任意常数 C 改 为待定函数 C (x) 即可). （3）将所设解代入非齐次线性方程,解出 C (x) ,并写 出非齐次线性方程的通解.
例: y y 求y tan 的通 x x
y 回代，便得原 x
方程的通解。
解
解 令y
u x
, 则 y u xu
代入原方程,得
u xu u tan u
分离变量,得
cos u dx du , 两边积 sin u x
分,得
cos u sin u dx
dx x
2.2 一阶微分方 2.2.1 可分离变量的微分方程
dy 形如 f ( x ) g ( y ) 的方程，称为可分离 dx
定义 2 变量的方程.
可分离变量方程的特点：等式右边可以分解成两个函数之 积，其中一个只是 x 的函数，另一个只是 y 的函数．
可分离变量方程的解法：
（1） 分离变量： 将该方程化为等式一边只含变量 y ， 而另一边只含变量 x 的形式，即