2020-2021学年珠海市高一上学期期末数学试卷(附答案解析)

2020-2021学年珠海市高一上学期期末数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）
1.设集合A={x|x2−x−2≤0}，B={x|−2<x≤1}，则A∪B=()
A. [−1,1]
B. (−2,2]
C. [−1,2]
D. [−2,2]
2.已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的大小为()
A. 1
B. 1或4
C. 4
D. 2或4
3.下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的函数是()
A. y=x2+2
B. y=|x|+1
C. y=−|x|
D. y=e|x|
4.在下列给出的四个结论中，正确的结论是()
A. 已知函数f(x)在区间(a,b)内有零点，则f(a)f(b)<0
B. 若a+b=1，则3是3a与3b的等比中项
C. 若e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是不共线的向量，且m⃗⃗⃗ =e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ，n⃗=3e1⃗⃗⃗ −6e2⃗⃗⃗ ，则m⃗⃗⃗ //n⃗
D. 已知角α终边经过点(3,−4)，则cosα=−4
5
5.若函数y=log a(x+1)(a>0,a≠1)的图象过定点，则x值为()
A. −1
B. 0
C. 1
D. 无法确定
6.已知曲线y=Asinωx+a(A>0,ω>0)在区间[0,2π
ω
]上截直线y=2及y=−1所得的弦长相等且不为0，则a的值是()
A. 1
2B. 1 C. 2
3
D. 2
7.函数y=x12和y=−log2x在同一坐标系内的大致图象是()
A. B. C. D.
8.向量，且若则
的值为()
A. B. C. D.
9.设函数的值域为R，则常数的取值范围是
A. B. C. D.
10.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，
且，若，则()
A. B. C. D.
11.的值为
A. B. C. D. ．
12.设定义在(0,+∞)上的单调函数f(x)对任意的x∈(0,+∞)都有f(f(x)−log2x)=6，若x0是方程
f(x)−f′(x)=4的一个解，且x0∈(a,a+1)，a∈N，则a等于()．
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
二、单空题（本大题共8小题，共24.0分）
13.已知方程x2+xlog26+log23=0的两根为α，β，则2α+β=______ ．
14.圆内接四边形ABCD中，cosA+cosB+cosC+cosD=______ ．
−1+t(其中t为常数).若a=−ef(−e)，
15.设定义在R上的奇函数f(x)满足：x≤0时，f(x)=1
e x
b=f(1)，c=2f(2)，则a，b，c的大小关系是______.(用“<”连接)
16.函数的图象可以先由的图象向平移个单位，然后把所得
的图象上所有点的横坐标为原来的倍(纵坐标不变)而得到．
17.已知A有限集合，，若的子集个数分别为，且，则__．
18.下列说法：
①线性回归方程ŷ=b̂x+â必过(x,y)；
②命题“∀x≥1，x2+3≥4”的否定是“∃x<1，x2+3<4”
③相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；
④在一个2×2列联表中，由计算得K2=8.079，则有99%的把握认为这两个变量间有关系；
其中正确的说法是______(把你认为正确的结论都写在横线上)
本题可参考独立性检验临界值表：
P(K 2≥k)
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
19. 已知f(x)是奇函数，满足f(x +2)=−f(x)，f(1)=2，则f(2015)+f(2016)= ______ ． 20. 已知向量a ⃗ =(2,sinθ)，b ⃗ =(cosθ,−1)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则sin(θ+π
4)cos(θ+π
4)=______． 三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
21. 已知a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−2,1)，m ⃗⃗⃗ =a ⃗ +(t +2)b ⃗ ，n ⃗ =k a ⃗ +t b ⃗ (k ∈R)． (1)若t =1，且m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，求k 的值； (2)若t ∈R ，且m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =5，求证：k ≤2．
22. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知A ，B ，C 成等差数列，且cosAsinC =√3−1
4
，
求内角C ．
23. 已知函数f(x)=2x +a
2x +1(a ∈R)，
(1)确定实数a 的值，使f(x)为奇函数； (2)在(1)的基础上，判断f(x)的单调性并证明； (3)在(1)的基础上，求f(x)的值域．
24. 如图所示，A(m,√3m)和B(n,−√3n)两点分别在射线OS ，OT(点S ，T 分别在
第一，四象限)上移动，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，O 为坐标原点，动点P 满足OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (Ⅰ) 求mn 的值；
(Ⅱ) 求动点P 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．
25. 已知函数f(x)=
e 2x −m e x 是定义域为R 的奇函数，其中m 是常数．
(Ⅰ)判断f(x)的单调性，并用定义证明；
(Ⅱ)若对任意x ∈[−3,1]，有f(tx)+f(2t −1)≤0恒成立，求实数t 的取值范围．
参考答案及解析
1.答案：B
解析：解：∵集合A ={x|x 2−x −2≤0}={x|−1≤x ≤2}， B ={x|−2<x ≤1}，
∴A ∪B ={x|−2<x ≤2}=(−2,2]． 故选：B ．
求出集A ，B ，由此能求出A ∩B ．
本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.答案：B
解析：解：设扇形的弧长为：l ，半径为r ，所以2r +l =6， S 面积=1
2lr =2，
所以解得：{l =4r =1或{l =2
r =2
，
所以扇形的圆心角的弧度数是α=l
r =4或1． 故选：B ．
根据题意设出扇形的弧长与半径，通过扇形的周长与面积，即可求出扇形的弧长与半径，进而根据公式α=l
r 求出扇形圆心角的弧度数．
本题考查弧度制下，扇形的面积及弧长公式的运用，注意与角度制下的公式的区别与联系．
3.答案：C
解析：解：对于A ，y =x 2+2是偶函数，且在(0,+∞)上是单调递增的，所以不符合题意； 对于B ，y =|x|+1是偶函数，且在(0,+∞)上是单调递增的，所以不符合题意； 对于C ，y =−|x|是偶函数，且在(0,+∞)上是单调递减的，所以满足题意； 对于D ，y =e |x|是偶函数，且在(0,+∞)上是单调递增的，所以不符合题意． 故选：C ．
根据基本初等函数的奇偶性与单调性，对选项中的函数进行判断即可． 本题考查了基本初等函数的单调性与奇偶性的应用问题，是基础题目．
4.答案：C
解析：
本题考查了平面向量共线定理以及函数零点和等比数列、三角函数的定义应用问题，是综合题，但又是基础题．
A，举例说明函数f(x)在区间(a,b)内有零点，不一定有f(a)f(b)<0；
B，举例说明a+b=1时3不是3a与3b的等比中项；
C，根据平面向量共线定理的定义判断即可；
D，根据余弦值的定义计算即可．
解：对于A，函数f(x)在区间(a,b)内有零点，不一定有f(a)f(b)<0，
如f(x)=x2在(−1,1)内有零点，但f(−1)⋅f(1)=1>0，所以A错误；
对于B，当a+b=1时，令a=1，b=0，则3a=3，3b=1，
则3不是3a与3b的等比中项，所以B错误；
对于C，若e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是不共线的向量，且m⃗⃗⃗ =e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ ，n⃗=3e1⃗⃗⃗ −6e2⃗⃗⃗ ，
则m⃗⃗⃗ =3n⃗，即m⃗⃗⃗ //n⃗，所以C正确；
对于D，角α终边经过点(3,−4)，则r=√32+(−4)2=5，
cosα=x
r =3
5
，所以D错误．
故选：C．
5.答案：B
解析：解：因为y=log a x的图象恒过(1,0)点，
又y=log a(x+1)的图象是把y=log a x的图象左移1个单位得到的，
所以y=log a(x+1)的图象必过定点(0,0)．
故选B．
根据对数函数的图象恒过(1,0)点，然后利用函数图象的平移即可得到答案．本题考查了对数的运算性质，考查了函数图象的平移，是基础题．
6.答案：A
解析：解：曲线y=Asinωx+a(A>0,ω>0)的图象关于直线y=a的对称，又截直线y=2及y=−1所得的弦长相等，
所以，两条直线y=2及y=−1关于y=a对称，
所以a=2−1
2=1
2
．
故选：A．
由曲线y=Asinωx+a的性质：在一个周期上截直线y=2与y=−1所得的弦长相等且不为0，
可知两条直线关于y=a对称，由此对称性可求出a的值．
本题考查了三角函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的应用问题，是基础题目．
7.答案：C
解析：解：函数y=x12是增函数，定义域为：x≥0；y=−log2x是对数函数y=log2x关于x对称的图象，正确选项为：C．
故选：C．
利用对数函数与幂函数的图象判断即可．
本题考查函数的图象的判断，掌握基本函数的图象是解题的关键．
8.答案：B
解析：
本题考查向量的数量积及其运算性质，考查向量的模，考查两角和差公式，解题的关键求得
．
根据向量的数量积公式结合两角差的余弦公式得，再由可得
，可得的值，进而得的值．
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
故选B．
9.答案：C
解析：试题分析：由于已知中给定的函数是分段函数，因此求解值域要分别求解值域，再取其并集，那么可知，当x>2时，f(x)>，当x，则根二次函数的性质，那么f(x)=，那么值域为R，可知并集为R，因此利用数轴法表示得到a的范围是，故选C．
考点：本试题主要是考查了分段函数的值域。

点评：解决该试题的关键是理解分段函数的值域是各段函数值域的并集。

同时要熟练的运用对数函数和二次函数的性质得到值域，属于中档题。

10.答案：C
解析：试题分析：设与同方向的单位向量分别为，依题意有，又，，则，所以.故选C．
考点：平面向量的基本定理
11.答案：C
解析：试题分析：
．
考点：1、三角恒等变换；2、诱导公式及三角函数值．
12.答案：B
解析：
本题考查函数的零点的判断，涉及导数的运算和性质，属中档题．
由题意可得f(x)−log2x为定值，设为t，代入可得t=4，进而可得函数的解析式，化方程有解为函
有零点，易得F(1)<0，F(2)>0，由零点的判定可得答案．数F(x)=f(x)−f′(x)−4=log2x−1
xln2
解：根据题意，对任意的x∈(0,+∞)，都有f[f(x)−log2x]=6，
又由f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，
则f(x)−log2x为定值，
设t=f(x)−log2x，则f(x)=t+log2x，
又由f(t)=6，可得t+log2t=6，
可解得t=4，故f(x)=4+log2x，f′(x)=1
xln2
，
又x0是方程f(x)−f′(x)=4的一个解，
所以x0是函数F(x)=f(x)−f′(x)−4=log2x−1
xln2
的零点，
分析易得F(1)=−1
ln2<0，F(2)=1−1
2ln2
=1−1
ln4
>0，
故函数F(x)的零点介于(1,2)之间，故a=1．
故选B．
13.答案：1
6
解析：解：由韦达定理可得：α+β=−log26，
所以2α+β=2−log26=(2log26)−1=1
6
．
故答案为：1
6
．
先由韦达定理得到α+β的值，再利用对数的运算性质即可求出结果．
本题主要考查了韦达定理的应用，考查了对数的运算性质，是基础题．
14.答案：0
解析：解：∵四边形ABCD为圆内接四边形
∴A+C=B+D=180°，
因此cosB=−cosD，cosA=−cosC，
可得cosA+cosB+cosC+cosD=(cosA+cosB+cosC)+(cosB+cosD)=0
故答案为：0
根据圆内接四边形的性质，得A+C=B+D=180°，结合诱导公式得到cosB与cosD互为相反数，且cosA与cosC互为相反数，由此可得本题答案．
本题求圆内接四边形的四个内角的余弦之和．着重考查了圆内接四边形的性质、三角函数的诱导公式等知识，属于基础题．
15.答案：
解析：解：∵f(x)是R上的奇函数，且x≤0时，f(x)=1
e x
−1+t；
∴f(0)=1−1+t=0；
∴t=0；
∴x≤0时，f(x)=1
e x
−1；
∴xf(x)=x
e x
−x；
∴(xf(x))′=1−x
e x
−1；
∵x≤0；
∴1−x≥1，0<e x<1；
∴1−x
e x
>1；
∴1−x
e x
−1>0；
∴xf(x)在(−∞,0]上单调递增；
又xf(x)是R上的偶函数；
∴xf(x)在[0,+∞)上单调递减；
a=−ef(−e)=ef(e)，b=f(1)=1f(1)，c=2f(2)，且e>2>1；
∴ef(e)<2f(2)<1f(1)；
∴a<c<b．
故答案为：a<c<b．
根据f(x)是R上的奇函数，并且x≤0时，f(x)=1
e x
−1+t即可得出f(0)=t=0，从而得出x≤0时，
f(x)=1
e x −1，从而得出xf(x)=x
e x
−x，求导得出(xf(x))′=1−x
e x
−1，根据x≤0即可得出(xf(x))′>
0，从而得出函数xf(x)在(−∞,0]上单调递增，并容易得出xf(x)为R上的偶函数，从而得出xf(x)在[0,+∞)上单调递减，从而a=ef(e)，且b=1f(1)，c=2f(2)，从而得出a，b，c的大小关系．
考查奇函数、偶函数的定义，基本初等函数的求导，以及根据导数符号判断函数单调性的方法，不等式的性质，以及偶函数在对称区间上的单调性．
16.答案：左，，缩短，
解析：试题分析：的图象向左平移可得的图象，然后再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，即可得到函数的图象．
考点：三角函数图象的变换．
17.答案：2
解析：试题分析：不妨设集合A中的元素个数为，则集合B中的元素个数有，所以，，因此，故所求的值为2．
考点：1.集合的元素个数；2.整数幂的运算．
18.答案：①④
解析：解：线性回归方程ŷ=b̂x+â必过(x,y)，故①正确；
命题“∀x≥1，x2+3≥4”的否定是“∃x≥1，x2+3<4”，故②错误；
相关系数|r|越小，表明两个变量相关性越弱，故③错误；
由K2=8.079>6.635，则有99%的把握认为这两个变量间有关系，故④正确．
∴正确的说法是①④．
故答案为：①④．
由线性回归方程恒过
本题考查命题的真假判断与应用，考查线性回归方程与命题的否定，是基础题．
19.答案：−2
解析：解：f(x)=−f(x+2)=f(x+4)；
∴f(x)是周期为4的周期函数；
∴f(2015)+f(2016)=f(−1+504×4)+f(0+504×4)=f(−1)+f(0)；
∵f(x)是奇函数；
∴f(0)=0，f(−1)=−f(1)=−2；
∴f(2015)+f(2016)=−2．
故答案为：−2．
根据f(x+2)=−f(x)便可得到f(x)是周期为4的周期函数，从而可以得出f(2015)+f(2016)=
f(−1)+f(0)，而根据f(x)为奇函数便可求出f(−1)=−2，f(0)=0，这样即可得出f(2015)+
f(2016)的值．
考查周期函数的定义，以及奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0．
20.答案：−3
10
解析：解：向量a⃗=(2,sinθ)，b⃗ =(cosθ,−1)，若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =2cosθ−sinθ=0，故tanθ=2．
故sin(θ+π
4)cos(θ+π
4
)=1
2
sin(2θ+π
2
)=1
2
cos2θ
=1
2⋅cos2θ−sin2θ
cos2θ+sin2θ
=1
2
⋅1−tan2θ
1+tan2θ
=1
2
⋅1−4
1+4
=−3
10
，
故答案为：−3
10
．
利用两个向量垂直的性质求得tanθ的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，二倍角公式的应用，属于基础题．
21.答案：解：(1)当t=1时，m⃗⃗⃗ =a⃗+3b⃗ =(−5,5)，n⃗=k a⃗+b⃗ =(k−2,2k+1)，
∵m⃗⃗⃗ //n⃗，
∴5(k−2)=−5(2k+1)，解得k=1
3
，
证明：(2)m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=[a⃗+(t+2)b⃗ ]⋅(k a⃗+t b⃗ )
=k a⃗2+t(t+2)⋅b⃗ 2+(kt+2k+t)a⃗⋅b⃗ =5k+5t(t+2)，
∵m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=5，
∴5k+5t(t+2)=5，
∴k=−t2−2t+1=−(t+1)2+2≤2．
解析：(1)根据向量的坐标运算和向量的平行即可求出k的值，
(2)根据向量的坐标运算和向量的垂直可得k=−t2−2t+1，根据二次函数的性质即可证明．本题考查了向量的坐标运算和向量的平行和垂直，以及二次函数的性质，属于中档题．22.答案：解：∵A，B，C成等差数列，
∴2B=A+C，又A+B+C=180°
∴B=60°，A+C=120°，①
∴sin(A−C)=sinAcosC−cosAsinC
=sinAcosC+cosAsinC−2cosAsinC
=sin(A+C)−2cosAsinC
=√3
2−2×√3−1
4
=1
2
∴A−C=30°，②
由①②解得C=45°
解析：由已知易得A+C=120°，结合已知和三角函数公式可得A−C=30°，联立可得C值．本题考查两角和与差的正弦函数，涉及等差数列和解三角形，属中档题．
23.答案：解：(1)∵函数f(x)为奇函数，
∴f(−x)=f(x)恒成立．
∵函数f(x)=−2x +a 2x +1
(a ∈R)， ∴2−x +a
2−x +1=−2x +a
2x +1，
∴(a +1)(2x +1)=0，
∴a =−1．
(2)判断结论：函数f(x)在R 上单调递增．
证明：由(1)知：f(x)=2x −1
2x +1=1+−2
2x +1， 在R 上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，
f(x 2)−f(x 1)=(1+
−22x 2+1)−(1+−22x 1+1) =22x 1+1−22x 2+1
=2(2x 2−2x 1)(2x 2+1)(2x 1+1)．
∵x 1<x 2，
∴0<2 x 1<2 x 2，
∴f(x 2)−f(x 1)>0，
∴f(x 2)>f(x 1).
∴函数f(x)在R 上单调递增．
(3)∵f(x)=2x −12x +1=1+−22x +1，
∴2x >0，
∴2x +1>1，
∴0<12x +1<1，
∴−2<−2
2x +1<0，
∴−1<1+−22x +1<1，
∴函数f(x)的值域为：(−1,1)．
解析：本题(1)根据函数的奇偶性得到函数解析式满足的条件，解恒等式，求出a 的值；(2)利用函数单调性定义，判断并证明函数的单调性，得到本题结论；(3)对原函数解析式进行变形，变成部分分式，根据指数函数的值域，求出原函数值域，得到本题结论．
本题考查了函数的奇偶性、单调性和值域，本题难度不大，属于基础题．
24.答案：解：(Ⅰ)由题，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(m,√3m)⋅(n,−√3n)=−2mn =−12
． 所以mn =14.(4分)
(Ⅱ)设P(x,y)(x >0)，由OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得：(x,y)=(m,√3m)+(n,−√3n)=(m +n,√3m −√3n)，
(6分)
令{x =m +n y =√3m −√3n 则x 2−y 23
=4mn ，(8分) 又mn =14，所以，动点P 的轨迹方程为x 2−y 23=1(x >0).(10分)
表示以原点为中心，焦点在x 轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2−y 23=1右支．(12分)
解析：(I)由向量数量积OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12
的坐标运算即可求得m ⋅n 的值； (II)欲求P 点的轨迹C 的方程，设点P(x,y)，只须求出其坐标x ，y 的关系式即可，由题意向量关系将x ，y 用m ，n 表示，最后消去m ，n 得到一个关系式，即得点P 的轨迹方程．
本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求直线方程的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．
25.答案：解：(Ⅰ)f(x)是R 上的增函数，证明如下：
由f(x)是奇函数，所以f(x)+f(−x)=0，
∴e x −m e x +e −x −m e −x =0，化为(1−m)(e x +1
e x )=0， ∴m =1，
∴f(x)=e x −e −x ，
设x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=e x 1−e −x 1−e x 2+e −x 2=(e x 1−e x 2)(1+1e x 1+x 2)，
由于y =e x 是增函数，所以e x 1<e x 2，
∴f(x 1)−f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，
∴函数f(x)是R 上的增函数；
(Ⅱ)由于f(x)是R 上的奇函数，所以由f(tx)+f(2t −1)≤0恒成立，可得f(tx)≤−f(2t −1)=f(1−2t)，
∴tx ≤1−2t ，(x +2)t ≤1，
当x ∈[−3,1]时，上式恒成立，则{(−3+2)t ≤1(1+2)t ≤1，解得−1≤t ≤13，
∴实数t 的取值范围为[−1,13]．
解析：(Ⅰ)f(x)是R 上的增函数，利用单调性的定义直接证明即可；
(Ⅱ)问题等价于(x +2)t ≤1对任意x ∈[−3,1]恒成立，则{(−3+2)t ≤1(1+2)t ≤1
，解出即可． 本题考查函数奇偶性及单调性的综合运用，考查单调性的证明及不等式的恒成立问题，属于基础题．。